王俊彥,高順川,王春紅

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)人文信息學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部,長(zhǎng)春 130122;2.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春 130022;3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所,長(zhǎng)春 130012)

關(guān)于發(fā)展包含的反周期問題目前已有許多研究結(jié)果[1-6].本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上考慮更一般情況下,當(dāng)集值函數(shù)取非凸值時(shí)發(fā)展包含解的存在性.

設(shè)H是可分的Hilbert空間,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空間結(jié)構(gòu),且連續(xù)地緊嵌入H.等同H及其對(duì)偶,有V→H→V*,所有嵌入都是連續(xù)的、 稠的.三元組(V,H,V*)稱為“發(fā)展三元組”.設(shè)I=[0,b]是一個(gè)閉區(qū)間.記X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中p>1,1/p+1/q=1;‖·‖X表示X中的范數(shù);(·,·)表示空間H的內(nèi)積;〈·,·〉表示(V,V*)中的對(duì)偶對(duì);《·,·》表示(X,X*)中的對(duì)偶對(duì);Pk(R)表示實(shí)數(shù)集所有非空緊子集的全體.

考慮如下發(fā)展包含的反周期邊值問題：

(1)

其中:A:I×V→V*是一個(gè)非線性半連續(xù)算子;映射G:I×H→2V*{?}是一個(gè)集值映射.考慮方程(1)在G(t,x)為非凸值情況下解的存在性.假設(shè)：

不失一般性,對(duì)于所有的t∈I,設(shè)A(t,0)=0;H(F)：G:I×H→Pk(V*)是一個(gè)集值映射,滿足：

1) (t,x)→G(t,x)是圖像可測(cè)的；

2) 對(duì)幾乎所有的t∈I,都有x→G(t,x)是下半連續(xù)的；

定理1若假設(shè)(H1)～(H3)及H(F)成立,則問題(1)至少存在一個(gè)解x∈Wpq(I),且解集是一致有界的.

證明: 設(shè)N:Lp(I,H)→2Lq(I,V*)為集值映射G的Nemitsky算子,定義如下:

N(x)={v∈Lq(I,V*):v(t)∈G(t,x(t))} a.e.I.

為證明x→d(w,N(x))是上半連續(xù)的,只需證明對(duì)任意的λ≥0,水平集Uλ={x∈Lq(I,V*):d(w,N(x))≥λ}在Lq(I,V*)中是閉的.設(shè){xn}n≥1?Uλ并假設(shè)在Lq(I,V*)中xn→x,則存在子列,不妨設(shè)其為xn→xa.e.于I.由1)知,x→d(w,F(t,x))為一個(gè)上半連續(xù)+函數(shù).因此,由Fatou引理,有

于是x∈Uλ,進(jìn)而可知N(·)是下半連續(xù)的.根據(jù)連續(xù)選擇定理知,存在連續(xù)函數(shù)f:Lp(I,H)→Lq(I,V*),使得f(x)∈N(x).

因此,原問題求解可轉(zhuǎn)化為該方程的不動(dòng)點(diǎn)問題:x=L-1°f(x).由f的連續(xù)性,可知L-1°f:Lp(I,H)→Lp(I,H)是緊算子.下面證明集合

Γ={x∈Lp(I,H):x=σL-1°f(x),σ∈(0,1)}

是有界集.設(shè)x∈Γ,則有

由2)得

(2)

兩邊積分得

因此,Γ在Wpq中是有界集.又由于Wpq(I)→Lp(I,H)是連續(xù)嵌入的,故Γ在Lp(I,H)中是有界集.根據(jù)Leray-Shauder定理可知,存在一個(gè)x∈Wpq(I),使得x=L-1°f(x),即x為問題(1)的解.

[1] Okochi H.On the Existence of Anti-periodic Solutions to a Nonlinear Evolution Equation Associated with Odd Subdifferential Operators [J].J Funct Anal,1990,91(2): 246-258.

[2] LIU Qing.Existence of Anti-periodic Mild Solutions for Semilinear Evolution Equations [J].J Math Anal Appl,2011,377(1): 110-120.

[3] WANG Yan.Antiperiodic Solutions for Dissipative Evolution Equations [J].Math Comput Modelling,2010,51: 715-721.

[4] CHEN Yu-qing,WANG Xiang-dong,XU Hai-xiang.Anti-periodic Solutions for Semilinear Evolution Equations [J].J Math Anal Appl,2002,273(2): 627-636.

[5] CHEN Yu-qing,Nieto J J,O’Regan D.Anti-periodic Solutions for Evolution Equations Associated with Maximal Monotone Mappings [J].Applied Mathematics Letters,2011,24(3): 302-307.

[6] ZHANG Yu-mei,CHENG Yi,WANG Jing-hua.Anti-periodic Boundary Value Problem for a Class of Evolution Equation in Banach Space [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2012,50(4): 715-716.(張育梅,程毅,王靖華.Banach空間中發(fā)展方程的反周期邊值問題 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版,2012,50(4): 715-716.)

[7] Zeidler E.Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: Ⅰ.Fixed-Point Theorems [M].Berlin: Springer-Verlag,1984.

[8] Zeidler E.Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: Ⅱ.Linear Monotone Operators [M].New York: Springer-Verlag,1990.