徐義紅,張小榮,汪 濤

(南昌大學(xué) 數(shù)學(xué)系,南昌 330031)

集合的錐有效性是向量?jī)?yōu)化的重要組成部分.由于(弱)有效性范圍較大,收縮解的范圍即成為向量?jī)?yōu)化的一項(xiàng)主要工作,因此各種真有效性的概念被相繼引入[1-2],其中Henig有效性[1]是具有代表性的真有效性之一.Henig真有效點(diǎn)既保持了超有效點(diǎn)的主要特征,同時(shí)它僅要求序錐具有基,而且存在條件比超有效點(diǎn)弱得多,因而研究向量?jī)?yōu)化的Henig有效解已成為優(yōu)化理論的主要內(nèi)容[3-4].仇秋生[4]得到了Henig真有效點(diǎn)的若干等價(jià)條件,并討論了Henig真有效點(diǎn)與Benson真有效點(diǎn)間的關(guān)系;余國(guó)林等[5]在賦范線性空間中對(duì)集值映射引入了錐-Henig有效次梯度和Henig有效次微分的概念.

目前,用切導(dǎo)數(shù)研究集值優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件已取得一系列成果[6-9].Jahn等[7]提出了廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)并建立了二階最優(yōu)性條件.二階切集僅是閉集,通常不是錐,即使對(duì)于凸集,它的二階切集也未必是凸集.而廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)[7]是通過(guò)二階切集引進(jìn)的,因而廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)不具有廣義切上圖導(dǎo)數(shù)的某些性質(zhì).為克服此二階導(dǎo)數(shù)的某些局限性,李聲杰等[8]引進(jìn)了一種新的廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)----廣義二階組合切上圖導(dǎo)數(shù)(generalized second-order composed contingent epiderivative),在某種假設(shè)下證明了存在性定理,利用該導(dǎo)數(shù)得到了集值優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件,推廣了相關(guān)結(jié)論.廣義二階組合切上圖導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)[8]: 在某種假設(shè)下,它是嚴(yán)格正齊次和次可加的.

本文利用廣義二階組合切上圖導(dǎo)數(shù)建立集值優(yōu)化問(wèn)題Henig有效元高階導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)性條件.

1 基本概念

設(shè)X,Y為實(shí)賦范線性空間,Y*為Y的拓?fù)鋵?duì)偶空間.設(shè)M是Y的任一非空子集,用intM,clM和coneM分別表示M的內(nèi)部、 閉包和生成錐,其中

coneM={λm:λ≥0,m∈M}.

記C為Y中頂點(diǎn)在原點(diǎn)的閉凸點(diǎn)錐.如果0?clΘ且C=coneΘ,則凸子集Θ?C稱為C的基,δ=inf{‖θ‖|θ∈Θ}>0.設(shè)B是Y中的閉單位球,即B={y∈Y|‖y‖≤1}.對(duì)ε∈(0,δ),定義

Sε(Θ)=cone(Θ+εB),Cε(Θ)=clcone(Θ+εB).

引理1[10]設(shè)0≤ε1<ε2<δ,則Cε1(Θ){0}?intCε2(Θ).

引理2[2]設(shè)0<ε<δ,則Cε(Θ)是閉凸點(diǎn)錐.

定義1[1]設(shè)M是Y的非空子集,若存在ε∈(0,δ),使得

clcone(M-y0)∩-cl(Sε(Θ))={0},

則y0∈M稱為Henig有效點(diǎn),記為y0∈He(M,Θ).

設(shè)F:X→2Y是集值映射,F的有效域、 圖和上圖分別定義為:

?x∈X.

(1)

?x∈X.

定義5[12]設(shè)向量函數(shù)η:X×X→X,S是不變凸的,F:S→2Y為集值映射.如果?x1,x2∈S,?λ∈(0,1),有

λF(x1)+(1-λ)F(x2)?F(x2+λη(x1,x2))+C,

則稱F在S上關(guān)于η是C-預(yù)不變凸的.

2 Henig有效元的二階最優(yōu)性條件

考慮集值優(yōu)化問(wèn)題(P):

其中:S是X的非空子集;F:S→2Y是集值映射.

(2)

其中Cε0(Θ)=clcone(ε0B+Θ),B是Y中的閉單位球.

(3)

使得

(4)

(5)

由式(3),(4)知,存在N1∈,使得當(dāng)n>N1時(shí),

于是

?n≥N1.

(6)

又由于λn→+∞,因此存在N2∈,使得當(dāng)n>N2時(shí),λn≥2,因而

?n≥N2.

(7)

由式(6),(7)得vn∈-intCε(Θ)-C,?n≥max{N1,N2},又由-intCε(Θ)-C?-intCε(Θ)得

vn∈-intCε(Θ), ?n≥max{N1,N2}.

(8)

由式(5)知對(duì)任意的n≥max{N1,N2},存在K1(n)∈,使得

?n≥max{N1,N2}, ?k>K1(n),

于是

?n≥max{N1,N2}, ?k≥K1(n).

(9)

?-intCε(Θ)-C?-intCε(Θ),

?.

設(shè)

(10)

由引理2得0?-intCε(Θ),于是y*≠0.由int cone(εB+Θ)?cone(εB+Θ)得

y*∈-cone(εB+Θ).

因此存在λ1≥0,z*∈-(εB+Θ),使得y*=λ1z*.由y*≠0得λ1>0,于是y*/λ1=z*,由-(εB+Θ)?-cone(εB+Θ)得y*/λ1∈-cone(εB+Θ),再由式(10)得

所以

引理4設(shè)S?X是不變凸的,F:S→2Y在S上關(guān)于η是C-預(yù)不變凸的,(x0,y0)∈graphF,由式(1)定義的G(η(x,x0))滿足性質(zhì):

G(η(x,x0))?minG(η(x,x0))+C, ?x∈S,

則對(duì)任意的(x,y)∈graphF,有

F(x)-y0?DgF(x0,y0)(η(x,x0))+C.

因而

下證(xn,yn)∈epiF.由于F在S上關(guān)于η是C-預(yù)不變凸的,于是

所以(xn,yn)∈epiF,從而(η(x,x0),y-y0)∈Tepi F(x0,y0),即

y-y0∈G(η(x,x0))={y∈Y: (η(x,x0),y)∈T(epiF,(x0,y0))}.

由引理中條件,類似文獻(xiàn)[8]中命題2.4(i)的證明得

y-y0?DgF(x0,y0)(η(x,x0))+C,

于是

F(x)-y0?DgF(x0,y0)(η(x,x0))+C.

滿足

并存在ε0∈(0,δ),使得

(11)

及定義3、 定義4和式(11)得

(12)

由F關(guān)于η是C-預(yù)不變凸的及引理4得

于是

(13)

下證

?, ?x∈S.

(14)

z1+c1∈-int clcone(ε0B+Θ),

則

z1∈-c1-int clcone(ε0B+Θ)?-(C+int clcone(ε0B+Θ)).

由C=coneΘ得C?clcone(ε0B+Θ),于是

C+int clcone(ε0B+Θ)?int clcone(ε0B+Θ).

所以z1∈-int clcone(ε0B+Θ),從而

?,

這與式(12)矛盾.又由式(13),(14)得

?, ?x∈S,

于是

?,

因此

?.

(15)

取ε1=ε0/2,則由引理2得

[-clcone(ε1B+Θ)]{0Y}?-int clcone(ε0B+Θ).

再由式(15)得

[1] Henig M I.Proper Efficiency with Respect to Cones [J].Journal of Optimization Theory and Applications,1982,36(3): 387-407.

[2] Borwein J M,Zhuang D.Super Efficiency in Vector Optimization [J].Transactions of the American Mathematical Society,1993,338(1): 105-122.

[3] Zheng X Y.Proper Efficiency in Locally Convex Topological Vector Spaces [J].Journal of Optimization Theory and Applications,1997,94(2): 469-486.

[4] QIU Qiu-sheng.On Henig Proper Efficiency [J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2011,31(4): 482-488.(仇秋生.關(guān)于Henig真有效性 [J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2011,31(4)：482-488.)

[5] YU Guo-lin,LIU San-yang.The Henig Efficient Subdifferential of Set-Valued Mapping and Stability [J].Acta Mathematic Scientia,2008,28A(3): 438-446.(余國(guó)林,劉三陽(yáng).集值映射的Henig有效次微分及其穩(wěn)定性 [J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2008,28A(3)：438-446.)

[6] CHEN Guang-ya,Jahn J.Optimality Conditions for Set-Valued Optimization Problems [J].Mathematical Methods of Operations Research,1998,48(2): 187-200.

[7] Jahn J,Khan A A,Zeilinger P.Second-Order Optimality Conditions in Set Optimization [J].Journal of Optimization Theory and Applications,2005,125(2): 331-347.

[8] LI Sheng-jie,Zhu S K,Teo K L.New Generalized Second-Order Contingent Epiderivatives and Set-Valued Optimization Problems [J].Journal of Optimization Theory and Applications,2012,152: 587-604.

[9] XU Yi-hong,XIAO Ming-li.The Super Efficient Generalized Gradiant of Set-Valued Map [J].Journal of Nanchang University: Engineering &Technology,2008,30(2): 127-130.(徐義紅,肖明麗.集值映射的超有效廣義梯度 [J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào): 工科版,2008,30(2)：127-130.)

[10] LI Zhong-fei,WANG Shou-yang.Connectedness of Super Efficient Sets in Vector Optimization of Set-Valued Maps [J].Mathematical Methods of Operations Research,1998,48(2): 207-217.

[11] Aubin J P,Frankowska H.Set-Valued Analysis [M].Basel: Birkhauser,1990.

[12] SHENG Bao-huai,LIU San-yang.Kuhn-Tucker Condition and the Wolfe Duality of Preinvex Set-Valued Optimization [J].Applied Mathematics and Mechanics: English Edition,2006,27(12): 1655-1664.