趙亞男,夏 蘭,張曉穎

(1.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院,長(zhǎng)春 130022;2.吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

目前,對(duì)傳染病最直接的控制措施是對(duì)易感人群進(jìn)行預(yù)防接種,以減少疾病的發(fā)生率.當(dāng)種群中存在傳染病時(shí),設(shè)總種群(N)分為易感類(lèi)(S)和染病類(lèi)(I).若染病者恢復(fù)后不具有免疫力,即染病者恢復(fù)后又成為易感者,此時(shí)相應(yīng)的傳染病模型稱(chēng)為SIS模型,一般適用于由細(xì)菌引起的傳染病.引入隔離后,總種群(N)分為由易感個(gè)體組成的子種群(S)、 由已經(jīng)染病但未隔離的個(gè)體組成的子種群(I)和由已經(jīng)染病并被隔離的個(gè)體組成的子種群(Q).設(shè)被隔離者恢復(fù)后也不具有免疫力,此時(shí)相應(yīng)的傳染病模型稱(chēng)為SIQS模型.文獻(xiàn)[1]中提出了具有隔離項(xiàng)的傳染病模型:

(1)

這里:A,μ,β是正常數(shù);γ,δ,ε和α是非負(fù)常數(shù);A是單位時(shí)間內(nèi)因出生和移民而進(jìn)入易感染者S類(lèi)的數(shù)量,簡(jiǎn)稱(chēng)輸入率；μ是死亡率系數(shù)；β是雙線(xiàn)性疾病發(fā)生率系數(shù)；δ是隔離率系數(shù)；α是因病死亡率系數(shù)；γ和ε分別是從染病者類(lèi)I和隔離者類(lèi)Q到易感類(lèi)的恢復(fù)系數(shù).方程(1)的正不變集為

D={(S,I,Q):S≥0,I≥0,Q≥0,S+I+Q≤A/μ},

(2)

引理1[1]對(duì)方程(1),若R0≤1,則無(wú)病平衡點(diǎn)P0在D內(nèi)全局漸近穩(wěn)定;若R0>1,則無(wú)病平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定,地方病平衡點(diǎn)P*在D-{(S,I,Q)|I=0}內(nèi)全局漸近穩(wěn)定.

May[2]研究表明,環(huán)境白噪聲會(huì)不同程度地影響增長(zhǎng)率、 環(huán)境容納量、 競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)及系統(tǒng)的其他參數(shù),從而在一定程度上或多或少地呈現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象.文獻(xiàn)[3-4]通過(guò)Lyapunov泛函方法給出了模型中平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)模型中的平衡點(diǎn)做擾動(dòng),研究了在平衡點(diǎn)擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為.通過(guò)證明相應(yīng)線(xiàn)性系統(tǒng)平凡解的穩(wěn)定性可反映系統(tǒng)平衡點(diǎn)的隨機(jī)局部穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[6-8]研究了環(huán)境白噪聲對(duì)Lotka-Vloterra模型及延展形式的影響.

(3)

本文研究接觸率系數(shù)β在環(huán)境白噪聲干擾下的隨機(jī)傳染病系統(tǒng)SIQS正解的存在唯一性及漸近行為.

1 正解的存在性和唯一性

τm=inf{t∈[0,τe): min{S(t),I(t),Q(t)}≤1/m或 max{S(t),I(t),Q(t)≥m},

d(S+I+Q)=A-μ(S+I+Q)-α(I+Q)≤A-μ(S+I+Q).

(4)

于是

(5)

V(S,I,Q)=(S-1-logS)+(I-1-logI)+(Q-1-logQ).

用與文獻(xiàn)[9]類(lèi)似的方法可證結(jié)果成立.

Γ*={(S,I,Q):S>0,I>0,Q>0,S+I+Q≤A/μ}

是系統(tǒng)(3)的正不變集.

2 隨機(jī)系統(tǒng)無(wú)病平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性

下面假設(shè)Y(0)∈Γ*.

定理2如果R0≤1,設(shè)Y(t)=(S(t),I(t),Q(t))是系統(tǒng)(3)初值Y(0)∈Γ*的解,則系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0隨機(jī)大范圍漸近穩(wěn)定.

證明: 設(shè)x=S-A/μ,y=I,z=Q,則系統(tǒng)(3)可以寫(xiě)為

(7)

(8)

顯然函數(shù)V是正定的,設(shè)L是相應(yīng)于系統(tǒng)(7)的生成算子,則由It公式,得

易見(jiàn)LV是負(fù)定的,故當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(3)的平凡解P0是大范圍隨機(jī)漸近穩(wěn)定的.證畢.

3 隨機(jī)系統(tǒng)在P*附近的漸近行為

定理3如果R0>1,設(shè)Y(t)=(S(t),I(t),Q(t))是系統(tǒng)(3)初值Y(0)∈Γ*的解,則

證明: 因?yàn)镻*是系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn),則

A=βS*I*+μS*-γI*-εQ*,βS*I*+(μ+δ+γ+α)I*,δI*=(μ+ε+α)Q*.

(9)

對(duì)式(10)兩邊同時(shí)在0到t上取積分,得

(11)

證畢.

注2在一定條件下,系統(tǒng)(1)的解Y(t)=(S(t),I(t),Q(t))與系統(tǒng)地方病平衡點(diǎn)P*之間的距離用

表示,其中C是一個(gè)正常數(shù).雖然系統(tǒng)(3)沒(méi)有如確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但當(dāng)‖σ‖2充分小時(shí),可認(rèn)為存在近似的穩(wěn)定性,此時(shí)認(rèn)為疾病會(huì)流行.

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