王麗穎, 許曉婕

(1. 白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 白城 137000; 2. 中國石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院, 山東 青島 266555)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在流體力學(xué)、 黏彈性力學(xué)、 分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器、 各種電子回路、 電分析化學(xué)、 生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo)、 回歸模型, 特別是與分形維數(shù)有關(guān)的物理和工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-7]. 但目前的大部分結(jié)果都是研究線性分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題的可解性. 文獻(xiàn)[8]給出了如下三點(diǎn)邊值問題非線性項(xiàng)當(dāng)f(t,u)=k(t)/uλ時(shí)正解的存在性結(jié)果:

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[8]給定y∈C(0,1), 方程

(2)

引理2由式(2)定義的格林函數(shù)G(t,s)具有如下性質(zhì):

(3)

(4)

其中0

下面給出一些記號(hào). 如果對幾乎處處的t∈[0,1], 有b≥0,b∈L1(0,1)并且在一個(gè)正測集上是正的, 則稱b?0. R+表示正實(shí)數(shù)集, 如果f: [0,T]×R+→R是一個(gè)L1-Carathéodory函數(shù), 則稱f∈Car([0,1]×R+,R), 即f關(guān)于其第二個(gè)變量是連續(xù)的, 且對任意的0

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)下列條件成立, 則方程(1)至少存在一個(gè)正解:

(H1) 對任意的L>0, 存在一個(gè)函數(shù)φL?0, 使得對a.e.t∈(0,1)及所有的x∈(0,L],f(t,a(t)x)≥φL(t);

(H2) 存在g(x),h(x)和k(t)?0, 使得對a.e.t∈(0,1)及所有的x∈(0,∞), 0≤f(t,x)≤k(t){g(x)+h(x)}, 其中:g: (0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)且單調(diào)不增;f: [0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)且h/g單調(diào)不減;

證明: 令E=(C[0,1],‖·‖), 且Ω是如下定義的一個(gè)閉凸集:

Ω={x∈C[0,1]: 對所有的t∈[0,1],tα-1r≤x(t)≤tα-1R},

定義算子T:Ω→E,

則方程(1)是否存在解等價(jià)于x=Tx是否存在不動(dòng)點(diǎn).

令R,r是滿足條件(H3)的正常數(shù). 下面證明T(Ω)?Ω.

事實(shí)上, 對任意的x∈Ω和t∈(0,1), 由條件(H1)～(H3)可得

另一方面, 由條件(H2),(H3), 有

因此,T(Ω)?Ω.

標(biāo)準(zhǔn)證明可知T:Ω→Ω是全連續(xù)算子. 直接應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, 方程(1)至少存在一個(gè)正解x(t)∈C[0,1]. 證畢.

情形1)γ*=0. 作為定理1的應(yīng)用, 考慮γ*=0. 取r=ΦR1, 有:

推論1假設(shè)f(t,x)滿足條件(H1),(H2). 進(jìn)一步, 假設(shè):

(H3)′ 存在正常數(shù)R>0, 使得

R>ΦR1>0,

(5)

(6)

且

(7)

其中

則方程(1)至少存在一個(gè)正解.

例1假設(shè)方程(1)中的非線性項(xiàng)是

f(t,x)=k(s)(x-λ+μxν),

(8)

其中: 0<λ<1;ν≥0,μ≥0是非負(fù)參數(shù). 當(dāng)γ*=0,ω(λ)<+∞時(shí): 1) 如果λ+ν<1-λ2, 則對任意的μ≥0, 方程(1)至少存在一個(gè)正解; 2) 如果λ+ν≥1-λ2, 則對每個(gè)0≤μ<μ1, 方程(1)至少存在一個(gè)正解, 其中μ1是一個(gè)正常數(shù).

證明: 應(yīng)用推論1. 令

時(shí)至少存在一個(gè)正解.

令l(R)在R0點(diǎn)取極大值, 則

從而有

情形2)γ*>0. 此時(shí)只需令r=γ*.

推論2假設(shè)f(t,x)滿足條件(H1),(H2). 進(jìn)一步, 假設(shè):

如果γ*>0, 則方程(1)至少存在一個(gè)正解.

例2設(shè)方程(1)中的非線性項(xiàng)為式(8), 其中:λ>0;ν≥0;e(t)滿足γ*>0,ω(λ)<+∞.

1) 如果λ+ν<1, 則對任意的μ≥0, 方程(1)至少存在一個(gè)正解;

2) 如果λ+ν≥1, 則對任意的0≤μ<μ2, 方程(1)至少存在一個(gè)正解, 其中μ2為正常數(shù).

時(shí)至少有一個(gè)正解.

情形3)γ*≤0.

推論3假設(shè)f(t,x)滿足條件(H1),(H2). 進(jìn)一步, 假設(shè):

(H5) 存在兩個(gè)正常數(shù)R>r>0, 使得

R>ΦR1+γ*≥r>0,

(9)

(10)

(11)

其中

則方程(1)至少存在一個(gè)正解.

例3令方程(1)中的非線性項(xiàng)為式(8), 其中:k?0;λ>0;ν≥0. 如果γ*≤0,ω(λ)<+∞,

(12)

其中m0是如下方程的唯一解:

則方程(1)至少存在一個(gè)正解.

證明: 應(yīng)用推論3. 令g(x),h(x),k(t)與例1一致, 則條件(H2)成立且條件(H5)變?yōu)?/p>

γ*≥r-β1R-λ, (1+μRλ+ν)β2r-λ≤R

(13)

和ω(λ)<+∞. 如果固定R=(1+μRλ+ν)β2r-λ, 則第一個(gè)不等式等價(jià)于

令m=1/R, 則

求導(dǎo)可得

令F′(m)=0, 則有

定義Φ(m)為

易知Φ(m)在m∈[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù), 且當(dāng)m→+∞時(shí),Φ(m)→+∞. 因此Φ(m)=λ2β1存在唯一解m0滿足

(14)

即

(15)

同時(shí)有

即

(16)

因此, 由0<λ,ν<1和1-λ-ν-λ2>0可得

證畢.

顯然, 本文推廣了文獻(xiàn)[8]的結(jié)果.

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