賈秀利, 王振華, 關(guān)麗紅

(1. 吉林工商學(xué)院 基礎(chǔ)部, 長(zhǎng)春 130062; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長(zhǎng)春 130012; 3. 長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022)

0 引 言

目前, 關(guān)于微分方程周期解問(wèn)題的研究已有許多結(jié)果[1-9]. 文獻(xiàn)[10]通過(guò)發(fā)展變分理論中求解自由問(wèn)題的技巧[11], 提出了等價(jià)變分方法, 并研究了如下二階自治微分方程

y″-U(y)=0

(1)

和二階非自治微分方程

y″-U(x,y)=0

(2)

的周期解問(wèn)題. 其基本思想是: 先將方程(1)和(2)的周期解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)變分問(wèn)題, 然后通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)淖儞Q求解等價(jià)變分問(wèn)題, 從而得到原方程的周期解.

基于上述思想, 本文進(jìn)一步考慮如下二階微分方程的周期解:

(p(t)x′(t))′-f(t,x(t))=0,

其中:p(t)是連續(xù)可微且以T>0為周期的正函數(shù);f(t,x)是連續(xù)函數(shù)且關(guān)于t以T為周期.

1 主要結(jié)果

考慮如下周期邊值問(wèn)題:

方程(3)的Lagrange函數(shù):

記

Ω∶={x∈C2([0,T],R)|x(0)=x(T),x′(0)=x′(T)}.

由經(jīng)典變分理論, 問(wèn)題(3)-(4)是變分問(wèn)題

(5)

滿(mǎn)足的必要條件. 因此, 如果能夠求解變分問(wèn)題(5), 即可得到邊值問(wèn)題(3)-(4)的解.

任取關(guān)于t以T為周期的連續(xù)可微函數(shù)S: R×R → R, 定義新的被積函數(shù)

和作用泛函

則對(duì)任意x∈Ω, 有

從而變分問(wèn)題(5)等價(jià)于變分問(wèn)題:

(6)

變分問(wèn)題(6)稱(chēng)為(5)的等價(jià)變分問(wèn)題. 為了使等價(jià)變分問(wèn)題(6)易于求解, 受Carathéodory方法[10-14]的啟發(fā), 下面將尋找S使得如下條件成立:

(H1) ?(t,x,y)∈R×R×R,

(7)

(H2) ?(t,x)∈R×R, 方程

(8)

有解y=y(t,x)滿(mǎn)足y(t+T,x)=y(t,x).

引理1假設(shè)連續(xù)可微函數(shù)S關(guān)于t以T為周期, 并且滿(mǎn)足條件(H1)和(H2). 記y=y(t,x)為方程(8)的解. 如果邊值問(wèn)題

有解x*(t), 則x*(t)是等價(jià)變分問(wèn)題(6)的極小化子. 因此,x*(t)是邊值問(wèn)題(3)-(4)的解.

證明: 假設(shè)x*是邊值問(wèn)題(9)-(10)的解. 由式(7),(8), 有

因此, 對(duì)任意的x∈Ω,

結(jié)論得證.

(11)

且S是Hamilton-Jacobi方程

(12)

的解, 其中Hamilton函數(shù)H: R×R×R → R的隱式定義如下:

(13)

根據(jù)式(13), 有

進(jìn)而, 式(12)有如下形式:

(14)

此外, 對(duì)于任意的(t,x)∈R×R,y→L(t,x,y)是一個(gè)凸函數(shù). 如果S是Hamilton-Jacobi方程(14)的解并且y(t,x)滿(mǎn)足式(11), 則(H1),(H2)成立. 基于上面的討論和引理1, 有:

定理1假設(shè)函數(shù)S: R×R → R是Hamilton-Jacobi方程(14)的解, 函數(shù)y: R×R → R滿(mǎn)足方程(11). 如果x*: (0,+∞) → R是邊值問(wèn)題

的解， 則x*(t)是等價(jià)變分問(wèn)題(5)的極小化子. 因此x*(t)是邊值問(wèn)題(3)-(4)的解.

2 應(yīng)用實(shí)例

為進(jìn)一步闡明本文方法的有效性, 考慮如下形式的邊值問(wèn)題:

記

f(t,x)=(p(t)q(t))′xk+kp(t)q2(t)x2k-1.

則

因此, 相應(yīng)的Lagrange函數(shù)為

根據(jù)前面的分析, 邊值問(wèn)題(15)-(16)是變分問(wèn)題

(17)

的必要條件, 其中

Ω={x∈C2([0,T],R)|x(0)=x(T),x′(0)=x′(T)}.

因此, 通過(guò)求解變分問(wèn)題(17), 即可得到邊值問(wèn)題(15)-(16)的解.

在此情形下, Hamilton-Jacobi方程(14)為

(18)

假設(shè)式(18)的解有如下形式:

S(t,x)=a0(t)+a1(t)x+…+a2k(t)x2k,

(19)

其中ai(t)(i=0,1,…,2k)是連續(xù)可微函數(shù)并且以T為周期. 則將式(19)代入式(18), 可得

進(jìn)而由式(11), 有

為了得到邊值問(wèn)題(15)-(16)的解, 考慮如下一階邊值問(wèn)題:

其解為

(20)

例1

例1中, 令

p(t)=sint,q(t)=cost,k=2,

[1] FENG Zi-xuan, XU Xu, JI Shu-guan. Finding the Periodic Solution of a Differential Equation via Solving Optimization Problem [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2009, 47(1): 37-39. (馮子玹, 徐旭, 冀書(shū)關(guān). 通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題尋找微分方程的周期解 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2009, 47(1): 37-39.)

[2] GUO Zhi-ming, YU Jian-she. Multiplicity Results for Periodic Solutions to Delay Differential Equations via Critical Point Theory [J]. J Differential Equations, 2005, 218(1): 15-35.

[3] HAN Xiao, JI Shu-guan, MA Zhong-hua. On the Existence and Multiplicity of Positive Periodic Solutions for First-Order Vector Differential Equation [J]. J Math Anal Appl, 2007, 329(2): 977-986.

[4] JI Shu-guan. Time Periodic Solutions to a Nonlinear Wave Equation withX-Dependent Coefficients [J]. Calc Var Partial Differential Equations, 2008, 32(2): 137-153.

[5] JI Shu-guan, LI Yong. Time Periodic Solutions to the One-Dimensional Nonlinear Wave Equation [J]. Arch Ration Mech Anal, 2011, 199(2): 435-451.

[6] JI Shu-guan, LI Yong. Periodic Solutions to One-Dimensional Wave Equation withX-Dependent Coefficients [J]. J Differential Equations, 2006, 229(2): 466-493.

[7] JIA Xiu-li, LU Xiu-shuang, JI Shu-guan. Existence of Periodic Solutions for Fourth Order Duffing Equations [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2007, 45(2): 219-220. (賈秀利, 盧秀雙, 冀書(shū)關(guān). 四階Duffing方程周期解的存在性 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2007, 45(2): 219-220.)

[8] LIANG Shu-qing. Existence of Non-collision Periodic Solutions for Second Order Singular Dynamical Systems [J]. Topol Methods Nonlinear Anal, 2010, 35(1): 127-137.

[9] WEI Yuan-hong, LIU Dong. Existence and Uniqueness of Periodic Solutions for Second-Order Differential Equations [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2010, 48(2): 229-230. (魏元鴻， 劉冬. 二階微分方程周期解的存在性和唯一性 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2010, 48(2): 229-230.)

[10] JI Shu-guan, SHI Shao-yun. Periodic Solutions for a Class of Second-Order Ordinary Differential Equations [J]. J Optim Theory Appl, 2006, 130(1): 125-137.

[11] Carathéodory C. Calculus of Variations and Partial Differential Equations [M]. New York: Chelsea Publishing Company, 1982.

[12] JI Shu-guan, LIU Zhen-xin, SHI Shao-yun. Carathéodory’s Method for a Class of Second Order Differential Equations on the Half-Line [J]. J Math Anal Appl, 2007, 325(2): 1306-1313.

[13] Carlson D A. Carathéodory’s Method for a Class of Dynamic Games [J]. J Math Anal Appl, 2002, 276(2): 561-588.

[14] Carlson D A. An Observation on Two Methods of Obtaining Solutions to Variational Problems [J]. J Optim Theory Appl, 2002, 114(2): 345-361.