姜波瀾，閆云聚，徐 斌

（西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，陜西 西安710072）

引 言

對于處于惡劣振動環(huán)境中的工程結構，為了控制結構振動水平，需要準確分析和預測結構的動力學特性并對結構進行動態(tài)設計。進行環(huán)境振動試驗，需要試驗夾具能夠反映或模擬實際結構的動力學邊界條件，是一個結構動力學邊界設計問題。但是，對于復雜結構的系統(tǒng)整體進行動力學分析或動力學特性試驗，工作量和試驗費用巨大。而控制結構動力學特性及響應的一個主要手段是對結構進行動態(tài)設計，即根據(jù)結構所處的動力學環(huán)境按照功能、強度、動態(tài)特性等要求進行設計，使其不但滿足結構的靜力學要求，而且具有良好的動力學特性，達到控制結構振動水平的目的。結構動態(tài)設計與傳統(tǒng)的基于靜力準則的結構設計方法不同，通常需要用動力學優(yōu)化的方法來設計，使結構的特性達到“最優(yōu)”，減小結構振動問題對產(chǎn)品的影響，提高其安全可靠性。Zarghamee和Tayor提出了頻率優(yōu)化的概念［1］。Hemez研究了固有頻率和振型約束條件下結構重量最小化的問題［2］。陳集豐對具有基頻、一階振型節(jié)點位置約束的結構優(yōu)化問題進行了研究［3］，并對特征向量和振型節(jié)點位置的靈敏度進行了分析，并進行了實驗驗證。顧松年等對結構動力學邊界模擬時振型的優(yōu)化進行了研究［4］，給出了一種振型修正的方法。徐斌等對在隨機載荷激勵下桁架結構的拓撲優(yōu)化進行了研究［5］?？偟目磥恚Y構動力學特性設計多集中于結構的頻率優(yōu)化設計，同時以固有頻率和振型為目標或約束條件的優(yōu)化設計，是結構動力學特性優(yōu)化設計中較難的部分，有關的研究工作或成果較少。

通常結構的邊界條件對結構系統(tǒng)的動力學特性影響明顯，且結構邊界條件的參數(shù)對結構動力學特性的影響也比結構內(nèi)部參數(shù)更為敏感，因此在一定程度上對結構系統(tǒng)動力學特性的要求可通過邊界條件的設計來達到。由于邊界條件的設計變量數(shù)一般要比結構內(nèi)部的參數(shù)少，并且有的結構因設計功能和特定的性能約束內(nèi)部結構不易改變時，利用邊界條件的動力學設計來滿足結構的動力學特性是一個有效的設計方法。結構動力學特性設計，是一個逆特征值問題，由于其求解的復雜性，目前只能解決簡單結構模型的逆特征值解問題，還難以應用到復雜結構動力學特性設計的問題。進行結構動力學特性設計的另一類可行的方法是采用“正問題”的處理方法，即根據(jù)實際結構在設計的約束條件范圍內(nèi)可能變更的方案，不斷修改設計參數(shù)，通過優(yōu)化設計的方法確定滿足結構動力學特性要求的方案。

本文采用“正問題”的處理思想，提出了將結構的固有頻率和振型作為動力學特性設計的約束準則，并且將結構動力學優(yōu)化的思想應用于結構邊界動力學優(yōu)化設計，應用基于ICM的準則法對剛架機翼骨架模型的邊界進行了拓撲優(yōu)化。

1 基本理論

以結構固有頻率為約束條件，用范數(shù)表示的振型差最小為優(yōu)化準則，將優(yōu)化問題表示為

對于結構動力學設計問題，其動力學方程

式中K和M為結構的質(zhì)量和剛度矩陣，λj＝，fj和φoj是設計結構的第j階固有頻率和振型。

引入設計變量ti，可分別求得結構的第j階固有頻率和振型對第i個設計變量ti的偏導數(shù)為

特征向量對設計變量ti的偏導數(shù)表達式很復雜，通常將它用結構系統(tǒng)的各階特征向量展開，可表示為

計算系數(shù)

2 基于ICM方法單元靈敏度分析

隋允康等人提出的ICM（independent，continuous，mapping）方法意為獨立連續(xù)映射?！蔼毩ⅰ奔啊斑B續(xù)”是指拓撲變量獨立于低層次變量且為區(qū)間［0，1］上的連續(xù)值，即在ICM方法中定義了獨立連續(xù)的拓撲變量；“映射”是指通過映射及反演的過程，使獨立連續(xù)的拓撲變量逼近離散拓撲變量，完成拓撲變量“離散－連續(xù)－離散”的轉(zhuǎn)化。ICM方法能將拓撲優(yōu)化設計變量從依附于截面、厚度等低層次變量中抽象出來，使之成為獨立的層次，能體現(xiàn)出拓撲優(yōu)化的特征，而且可以較好的求得頻率。

本文采用過濾出少數(shù)識別單元剛度和單元質(zhì)量，單元性質(zhì)識別參數(shù)采用如下公式

式中

對結構邊界動力學設計問題有

式中MB和KB分別為設計結構邊界的質(zhì)量和剛度矩陣；MA和KA為除邊界外的結構內(nèi)部的質(zhì)量和剛度矩陣；λi＝4π2f2，φ為設計結構的固有頻率和

jj

振型矩陣。由式（3）和（4）可分別求出結構固有頻率和振型對設計變量的導數(shù)，并且有

3 基于ICM準則法動力學優(yōu)化

在式（1）中提出的優(yōu)化模型是一個有約束的單目標優(yōu)化問題，構造其拉格朗日函數(shù)

對上式兩邊同時對設計變量t求導可得

由式（11）第1式可得

其中，目標函數(shù)和約束函數(shù)的偏導數(shù)為：

式中 ?f／?ti由式（3）可得到，而?φoj／?ti則可由式（4）與（5）得到，于是

在實際的結構設計中，一般是以前幾階頻率作為約束，在計算拉格朗日乘子時，最大的困難是對多約束條件的集合，在迭代過程中如果單獨考慮每階頻率的約束，迭代過程花費時間較長，因此，通過一個加權因子處理多階頻率約束即按每階頻率約束的貢獻將αij加權處理，即

式中ηi表示多約束條件下的綜合指數(shù)，λj為加權系數(shù)，它取決于單頻率約束的滿足程度，值越大，表示該階頻率約束對綜合指數(shù)ηi的貢獻越大，其表達式如下

在優(yōu)化過程中，每次迭代所需要改變的拓撲變量集合為

拓撲變量每次迭代的變化值Δti是一個很重要的參量，拓撲變量的變化值過小，優(yōu)化結果越精確，但是計算成本會隨之加大；相反，變化值過大，收斂過程會出現(xiàn)震蕩和收斂困難問題，本文中拓撲變量的改變值按以下公式計算：

其中，要使目標函數(shù)J（t）取得最小值，Δti的符號與?J（t）／?ti符號關系如式（21）所示；ξ一般取為0.2～0.5。為了進一步有效地消除拓撲優(yōu)化過程中出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象，在每次迭代之后采用再分配的方法對拓撲變量進行過濾處理。

（1）計算與每個節(jié)點相連的單元設計變量的平均值，作為該節(jié)點的設計變量

式中tnode為節(jié)點的拓撲設計變量，只是作為中間過渡值，ti是與該節(jié)點相連單元i的的拓撲設計變量，Vi是單元i體積，M為與該節(jié)點相連的單元數(shù)。

（2）計算單元各節(jié)點的平均拓撲變量，作為該單元新的拓撲設計變量

式中N表示單元的節(jié)點數(shù)。當一次拓撲變量再分配不能很好地解決棋盤格問題時，可以使用多次拓撲變量再分配。

收斂終止條件采用兩次鄰近設計拓撲變量和設計目標函數(shù)的絕對差值式作為評判標準

式中tk和tk＋1為前輪與本輪迭代的設計變量，Jk和Jk＋1為前輪與本輪迭代的目標函數(shù)，ε為收斂精度，取0.01。迭代流程如圖1所示。

圖1 ICM準則法拓撲優(yōu)化流程Fig.1 Topology optimization procedure by ICM criterion method

4 數(shù)值算例

圖2為一簡化的飛機機翼模型，用空間剛架單元模擬的該結構有限元模型。該模型共有54個結點，70個梁單元，6個邊界支撐。其中，49～54為邊界上的固定結點，65～70為邊界單元。機翼內(nèi)部梁截面尺寸：寬度14 mm，沿z向厚度4 mm；邊界支撐梁的截面尺寸：寬度14.8 mm，沿z向厚度4 mm。梁材料的參數(shù)為：合金鋼材料，彈性模量E＝2.1×1011N／m2，泊松比v＝0.26，質(zhì)量密度ρ＝7.8×103kg／m3。用 MATLAB編程按圖示的模型進行有限元計算，得到結構的前4階固有頻率和振型，表1給出其固有頻率。

圖2 機翼剛架模型Fig.2 Frame model of plane wing

表1 機翼模型固有頻率Tab.1 Natural frequencies of plane wing model

將這個6個剛架桿支撐的結構作為目標結構，計算出的固有頻率和振型即為目標頻率和目標振型。將邊界換成空間剛架的機翼骨架模型則得到設計結構如圖3所示，對其進行拓撲優(yōu)化設計，結構共有106個剛架單元，截面尺寸均為14 mm×4 mm。采用空間剛架單元建立有限元模型。材料參數(shù)為：合金鋼材料，彈性模量為E＝2.1×1011N／m2，泊松比為ν＝0.26，質(zhì)量密度為ρ＝7.8×103kg／m3。

以前3階頻率接近原結構頻率為約束條件，以相應階振型差的范數(shù)為目標函數(shù)，對每根邊界桿的拓撲量t進行優(yōu)化設計，利用Matlab7.6編制程序計算。優(yōu)化得出收斂的結果，圖4為優(yōu)化出的結構拓撲形狀，表2給出優(yōu)化邊界后結構的固有頻率及其與目標的誤差，圖5為優(yōu)化結構振型與目標振型對比。圖6還給出了目標函數(shù)優(yōu)化迭代曲線。

在上述算例中，將六桿剛架支撐的飛機機翼骨架模型作為原結構，建立有限元模型，計算其低階固有頻率和振型作為目標頻率和振型。然后搭建剛架邊界的結構模型，采用本文提出的ICM準則法建立

圖3 剛架邊界機翼骨架有限元模型Fig.3 FEM model of plane wing with frame boundaries

圖4 邊界拓撲優(yōu)化結果Fig.4 Result of boundary topology optimization

圖5 前4階優(yōu)化振型結果與目標對比Fig.5 Comparison of first four modal shapes between optimization result and object

表2 拓撲優(yōu)化頻率結果Tab.2 Frequency result of topology optimization

動力學優(yōu)化模型，并根據(jù)優(yōu)化策略用Matlab7.6編程實現(xiàn)優(yōu)化的迭代計算。根據(jù)計算結果，目標函數(shù)的初始值，即設計結構與原結構振型初始差為23.9104，經(jīng)過拓撲優(yōu)化，最終振型差減小至10.205，同時其低階固有頻率與目標頻率相差較小，滿足約束條件。設計結構的頻率和振型與目標符合較好，迭代結果收斂，且優(yōu)化出的拓撲形狀符合傳力路徑。

因此，可用優(yōu)化的邊界作為原結構動力學邊界的工程實現(xiàn)，來模擬原結構提供給機翼骨架試件的動力學邊界，使之能在試驗中得到盡可能相似的動力學邊界條件，從而有利于實現(xiàn)實際結構系統(tǒng)的動力學設計和振動控制。

圖6 目標函數(shù)迭代曲線Fig.6 Iterative curve of object

5 結 論

工程結構的環(huán)境振動試驗中，需要試驗夾具能夠反映實際結構的動力學邊界條件，但工程動力學邊界條件多種多樣，十分復雜，完全再現(xiàn)既不現(xiàn)實也不經(jīng)濟，按動力學特性來設計結構邊界，控制結構各點的動力響應，研究模擬結構振動時實際結構邊界條件是振動工程應用中需要解決的問題。

本文依據(jù)動力學優(yōu)化準則法的思想——設計結構與要求動力學特性的目標結構或設計結構在有限元模型相近的條件下得到相同的位移幅值，要求兩者各階固有頻率及相應振型相同，研究了準則法在結構邊界設計中的應用，提出了基于ICM準則法用于結構邊界的拓撲優(yōu)化設計，通過修改剛架機翼模型的邊界去實現(xiàn)固頻和振型與目標頻率和振型接近。數(shù)值計算結果表明，本文所提出的方法的邊界優(yōu)化結果較好，具有一定的工程意義。

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