喬 波，雷步芳，付建華，趙 康，牛 婷

(太原科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 前言

對稱式三輥卷板機(jī)主要工作部分由一個(gè)上輥和兩個(gè)對稱分布于上輥兩端的下輥組成(圖1)，板材的最終成形曲率由上輥壓下量決定(本文不考慮回彈)，上輥壓下量越大，成型后的半徑越小。

因?yàn)榘宀膹澢^程中的變形存在幾何非線性，板材與下輥的接觸點(diǎn)的位置隨著上輥的壓下不停的變化，再加上卷板機(jī)自身在受力的情況下也會(huì)發(fā)生彈性變形，因此，很難找到統(tǒng)一的簡化的數(shù)學(xué)模型去研究板材的彎曲過程。文獻(xiàn)［1］對四輥卷板機(jī)成形工藝參數(shù)進(jìn)行了深入的探索，文獻(xiàn)［2］通過幾何方法計(jì)算了考慮回彈的冪次硬化材料在三輥卷板機(jī)下彎曲時(shí)的壓下量與板料最終半徑的數(shù)學(xué)關(guān)系。然而，對稱式三輥卷板機(jī)卷制雙線性硬化板料的研究較少，因此確定上輥壓下時(shí)雙線性硬化模型材料變形時(shí)上輥與板料之間的接觸力，上輥壓下量和板料最終成形半徑間的關(guān)系具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 板材滾彎過程

板材滾彎過程如圖1所示，首先，送料輥送料到合適位置(圖1a)，其次，上輥根據(jù)需要成形的半徑壓下到一定位置(圖1b)，然后，上下輥同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，板材在上下輥摩擦力的作用下開始連續(xù)彎曲(圖1c、圖1d)，最后，卷板機(jī)反向轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)板材反方向再次被滾壓(圖1e)，如此反復(fù)直到板料彎曲半徑趨于穩(wěn)定為止(圖1f)。

圖1 對稱式三輥卷板機(jī)的工作過程Fig.1 Working process of symmetrical three-roll veneer reeling machine

本文基于如下基本假設(shè)條件，研究卷板過程中上輥壓下量和板料最終成形半徑間的關(guān)系。

(1)板材彎曲時(shí)應(yīng)力中性層與幾何中性層重合。

(2)板材滾彎過程中厚度保持不變。

(3)忽略板料自身重力對其受力情況的影響。

(4)板材屬于平面應(yīng)變問題。因?yàn)榘宀膶挾容^厚度比值大于8，所以近似認(rèn)為板材變形屬于平面應(yīng)變問題。

(5)厚度方向應(yīng)力為零。因?yàn)榘宀膹澢蟮淖罱K成型后的半徑較大，所以近似認(rèn)為板材彎曲厚度方向各纖維間的壓縮力為零。

(6)平截面假設(shè)。板材彎曲前垂直于幾何中性層的截面在彎曲后任然垂直于幾何中性層。

(7)板材單向拉伸的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為雙線性硬化模型，既:Y=σs+E1εp，如圖2所示，式中，εp=ε1－εE，εE是單向拉伸時(shí)材料的彈性應(yīng)變量;ε1是總的應(yīng)變;εP是塑性應(yīng)變;σs是材料的屈服強(qiáng)度，是材料的切向模量。

圖2 單向拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Stress strain curve of uniaxial tension

2 板料截面所受剪力與彎矩間的關(guān)系

由彈性力學(xué)知板材彈性彎曲時(shí)截面處彎矩與剪力存在某種關(guān)系，下面分析塑性彎曲時(shí)板材任意截面所受彎矩與對應(yīng)截面處所受剪力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.1 板材彎曲時(shí)最大彎矩的計(jì)算

上輥與板材接觸的位置是板材所受的最大彎矩處［3］，將單向拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系轉(zhuǎn)換為平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)關(guān)系:

文獻(xiàn)［4］給出了板材彎曲任意截面的彎矩

2.2 板料受力分析

取板料上輥壓下處的微單元進(jìn)行分析。如圖3示。

圖3 板料彎矩分析Fig.3 Analysis of plate bending moment

將圖中各個(gè)力對D點(diǎn)進(jìn)行力矩計(jì)算，并且對D列力矩平衡方程

略去高階小量，因?yàn)閐θ足夠小sin(dθ)≈dθ所以，得到

其中，dS=rσdθ，根據(jù)假設(shè)(1)有

3 壓下過程分析

板料壓彎過程受力情況具有對稱性，因此，這里取壓彎模型的一半進(jìn)行分析(圖4)，其任意橫截面處所受剪力為FS，所受軸力為N，上輥壓下量為U。

板料在未受到上輥壓力作用時(shí)保持平直，與下輥的接觸點(diǎn)在y軸的正半軸。當(dāng)板受到上輥向下的壓力P2時(shí)開始彎曲，板料與下輥的接觸點(diǎn)也從剛開始的y軸正半軸移動(dòng)到現(xiàn)在的θ1位置(這里用接觸點(diǎn)與下輥圓心的連線和垂直向下方向的夾角θ1表征接觸點(diǎn)的移動(dòng))，并且隨著上輥的壓下，θ1不斷增大。板材除了受到下輥的支撐力外，還受到下輥對其的摩擦力，大小為P1μ，方向如圖示。對板材列力平衡方程，可以推導(dǎo)出剪力FS和軸力N為

圖4 板料壓彎受力分析Fig.4 Stress analysis of plate bending

式中，μ為板材與軋輥間的摩擦系數(shù);ω為摩擦角，即tanω=μ;θ為任意截面與y軸所成夾角。

設(shè)支撐力P1方向與板材滾彎后幾何中性層交點(diǎn)為(x1，y1)，上輥壓下力P2方向與板材滾彎后幾何中性層交點(diǎn)為(x2，y1)，任意截面處幾何中性層的坐標(biāo)為(x，y)可得

式中，r1為下輥半徑;t為板材厚度;a為兩下輥中心距。

將式(5)代入式(4)得

對(9)式等號(hào)兩邊同時(shí)積分，并且注意到θ=θ1時(shí)，k=0得

將k=k2，θ=0代入(10)式，可以得出下輥與板材間的接觸力P1。

將式(11)代入式(10)即可得到曲率k和對應(yīng)處θ的關(guān)系，令θ=H(k)，得

幾何中性層弧長的增量可以表示為

因此，滾彎板料幾何中性層在x方向增量和y方向增量可以表示為

將(12)和(13)代入(14)并且兩邊積分得

將式(7)，(8)分別代入式(14)，(15)得到以下方程

對圖4中的板整體進(jìn)行受力分析，可得出上輥壓下力P2和下輥對板的支撐力P1之間的關(guān)系

將式(11)代入式(12)得到θ1和 k，k2的關(guān)系，將式(12)代入(17)得到θ1和k2間的關(guān)系，因?yàn)轭A(yù)成型半徑k2為已知參數(shù)，所以，求解方程(17)就可最終確定θ1。然后將θ1和k2代入方程(11)即可求得P1，將P1代入(19)，可最終求得上輥壓下力P2。將上面計(jì)算得出的θ1和P1代入公式(18)，可得到上輥壓下量U。

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

選取板材材料的彈性模量Ee=205 000 MPa，屈服強(qiáng)度為σs=235 MPa，泊松比v=0.28。卷板機(jī)的上輥半徑R1=700 mm，下輥半徑r1=425 mm，下輥中心距a=1 700 mm，板材厚度t=300 mm，板材寬度t=300 mm，對re=E'/E=0.05，0.1，0.15，0.2分別進(jìn)行計(jì)算，以觀察re對板材彎曲各工藝參數(shù)的影響。利用MATLAB軟件fsolve函數(shù)的Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行計(jì)算，并且利用optimset函數(shù)進(jìn)行如下優(yōu)化設(shè)置:允許函數(shù)計(jì)算的最大次數(shù)MaxFunEvals=20 000，允許迭代的最大次數(shù)MaxIter=5 000，最終計(jì)算結(jié)果如圖5，圖6，圖7。

5 結(jié)論

［1］lin Y H，Hua M.Influence of strain hardening on continuous plate roll－ bending Process［J］.International Journal of Non－Linear Mechanics，2000，35:883－896.

［2］Gandhi A H，Raval H K.Analytical and empirical modeling of top roller position for three－roller cylindrical bending of plates and its experimental verification［J］.journal of materials processing technology，2008，197:268－278.

［3］Hua M，Sansome D H，Baines K.Mathematical modeling of the internal bending moment atthe top roll contact in multi－ pass four－ roll thin － plate bending［J］.Journal of Materials Processing Technology 1995，52:425－459.

［4］Hua M，Lin Y H.Effect of strain hardening on the continuous four－ roll plate edge bending process［J］.Journal of Materials Processing Technology.1999，89－90:12－18.