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        三維正交多項(xiàng)式擬合去噪在疊后地震資料中的應(yīng)用

        2013-12-01 09:07:08馮民富譚英誼
        石油物探 2013年5期
        關(guān)鍵詞:方向信號(hào)方法

        鄒 夢(mèng),馮民富,張 華,朱 瑞,羅 鯤,譚英誼

        (1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院,四川成都610059;2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610065;3.川慶鉆探工程有限公司地球物理勘探公司,四川成都610213)

        提高信噪比是地震資料處理的一項(xiàng)重要任務(wù)[1]。因?yàn)槠魄暗叵逻B續(xù)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的地震信號(hào)在橫向上是連續(xù)的[2-3],所以可以利用多項(xiàng)式連續(xù)的性質(zhì),構(gòu)建合適的多項(xiàng)式來(lái)擬合地震信號(hào),以恢復(fù)反射同相軸的連續(xù)性,達(dá)到增強(qiáng)有效信號(hào)、提高地震資料信噪比的目的。

        地震信號(hào)多項(xiàng)式擬合最先被應(yīng)用在二維疊后地震資料去噪中[4],該方法能在提高二維疊后地震資料信噪比的同時(shí),保證地震信號(hào)的分辨率。擬合時(shí)選取正交多項(xiàng)式可以減少計(jì)算量,提高計(jì)算效率[5]。但是,利用二維的擬合方式[6-7]處理三維地震資料時(shí)只能在x-line方向或in-line方向上單獨(dú)進(jìn)行擬合,在擬合的方向上能夠取得很好的去噪效果,在另一個(gè)方向上卻可能會(huì)引起能量突跳,進(jìn)行資料解釋時(shí)就有可能錯(cuò)誤地將其判斷為斷點(diǎn),從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。

        為了解決二維正交多項(xiàng)式擬合所產(chǎn)生的能量突跳問(wèn)題,有人提出了一種全三維正交多項(xiàng)式擬合方法[8-9],用正交多項(xiàng)式對(duì)空間選取的離散采樣點(diǎn)進(jìn)行三維擬合,得到去噪后的結(jié)果。但是,該方法需要大量的人機(jī)交互,增加了資料處理的復(fù)雜性,同時(shí),擬合三維地震資料的運(yùn)算量十分巨大,因此尋求一種能夠由計(jì)算機(jī)自動(dòng)處理且計(jì)算迅速的全三維擬合方法顯得尤為重要。

        我們提出一種隱式的正交多項(xiàng)式擬合方法,該方法將三維地震數(shù)據(jù)劃分為若干個(gè)三維窗口,不需要計(jì)算出正交多項(xiàng)式的表達(dá)式,只需要獲取窗口中心x-line方向和in-line方向的離散點(diǎn)時(shí)間位置,掃描窗口對(duì)角的兩個(gè)地震道數(shù)據(jù)。處理前一次性選擇傾角范圍,擬合過(guò)程中不再有人工參與,使地震數(shù)據(jù)的批量處理成為可能。由于優(yōu)化了掃描及擬合過(guò)程,極大地減少了窗口掃描運(yùn)算的時(shí)間,實(shí)際資料處理取得了很好的效果。

        1 Weierstrass第一定理

        因?yàn)榈叵逻B續(xù)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的地震信號(hào)在橫向上是連續(xù)的,即使地下反射面很小,與它相關(guān)的信號(hào)分布范圍也非常大[10],所以,這些橫向上連續(xù)的信號(hào)可以看作為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。有了這個(gè)前提,即可利用Weierstrass第一定理對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。

        設(shè)f(x)∈C[a,b],那么對(duì)任意給定的ε>0,都存在這樣的多項(xiàng)式P(x),使得

        成立。其中C[a,b]代表閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),ε代表任意給定的正實(shí)數(shù)。這就是Weierstrass第一定理,詳細(xì)證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[11-12]。

        上述定理表明,任意閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以找到一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近它。因此,連續(xù)的地震信號(hào)可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近。然而,公式(1)中的原函數(shù)為一元函數(shù),因此只能運(yùn)用到二維地震資料的多項(xiàng)式擬合中。對(duì)于三維地震數(shù)據(jù),需要用二元多項(xiàng)式來(lái)逼近。

        設(shè)f(x1,…,xn)∈C[a1,b1]×…×C[an,bn],那么,對(duì)任意給定的ε>0,都存在這樣的多項(xiàng)式P(x1,x2,…,xn),使

        成立。這是N維空間上的Weierstrass第一定理,詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)[13-14]。利用這一定理,可以對(duì)三維地震信號(hào)進(jìn)行擬合逼近。

        2 多項(xiàng)式擬合

        2.1 信號(hào)時(shí)間擬合[15]

        進(jìn)行多項(xiàng)式擬合前,先將地震數(shù)據(jù)以三維數(shù)組形式存放,使用時(shí)對(duì)數(shù)組進(jìn)行抽?。辉谌S疊后地震資料上任取一個(gè)區(qū)域,將該區(qū)域沿時(shí)間軸劃分一系列的時(shí)窗。根據(jù)擬合前所劃分的窗口大?。▁line方向,in-line方向,時(shí)間方向)形成初始窗口,設(shè)某一時(shí)窗W 內(nèi)x-line方向有2 N+1個(gè)地震道,in-line方向有2 M+1個(gè)地震道,對(duì)該時(shí)窗沿inline,x-line方向建立如下離散坐標(biāo)系:

        設(shè)時(shí)窗W 的時(shí)間長(zhǎng)度為2L,采樣時(shí)間間隔為Δt,則相關(guān)樣點(diǎn)所在的空間為

        在時(shí)窗W 內(nèi),可用二元三次多項(xiàng)式來(lái)表示地震信號(hào)的到達(dá)時(shí)間(或窗口的中點(diǎn)時(shí)間):

        式中:x,y為某一空間位置的相對(duì)道序號(hào);aij為時(shí)間多項(xiàng)式系數(shù),i為x項(xiàng)的乘方次數(shù)與y項(xiàng)的乘方次數(shù)之和,j為y項(xiàng)的乘方次數(shù)。

        對(duì)于時(shí)間多項(xiàng)式的計(jì)算,首先需要將窗口沿x-line方向和in-line方向分別剖分為2 N+1和2 M+1個(gè)二維剖面,再對(duì)這些剖面進(jìn)行逐點(diǎn)掃描確定信號(hào)時(shí)間方向,最后通過(guò)組合得到二元多項(xiàng)式。此方法的優(yōu)點(diǎn)是信號(hào)始終固定在時(shí)窗中心,不會(huì)造成時(shí)窗內(nèi)信號(hào)的整體上移或下移,但缺點(diǎn)也相當(dāng)明顯,即逐點(diǎn)掃描需要大量的計(jì)算時(shí)間。

        2.2 信號(hào)振幅計(jì)算

        在時(shí)窗W 內(nèi),各點(diǎn)的輸出振幅可通過(guò)對(duì)原始道振幅取均方根,再通過(guò)最小二乘擬合得到。均方根振幅計(jì)算公式如下:

        式中:A(Xn)表示坐標(biāo)為Xn的地震道的輸出振幅;L為時(shí)間方向上窗口移動(dòng)的大??;S(Xn,Tn)為第n個(gè)地震道相對(duì)于窗口上下中心位置的樣點(diǎn)值。均方根振幅通過(guò)以下多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行擬合。

        其中,多項(xiàng)式系數(shù)b0,b1,b2,…采用最小二乘法確定。

        2.3 期望波形形成

        得到信號(hào)的振幅后,將時(shí)間多項(xiàng)式確定的同一時(shí)窗內(nèi)2 N+1道記錄波形沿?cái)M合出的同相軸方向相加,并對(duì)相加結(jié)果進(jìn)行縮放,使其均方根振幅歸一。波形相加公式為

        式中:Tn為第n道的時(shí)窗中點(diǎn)時(shí)間,由時(shí)間多項(xiàng)式確定。其歸一化公式為

        確定了時(shí)間多項(xiàng)式和振幅多項(xiàng)式的系數(shù)后,即可形成期望波形。

        2.4 混波

        正交多項(xiàng)式擬合難免會(huì)模糊一些斷點(diǎn),所以在形成期望波形以后一般要將其及原始數(shù)據(jù)進(jìn)行混波處理,以減小擬合對(duì)斷點(diǎn)的影響?;觳ū鹊倪x擇有很多種,在實(shí)際應(yīng)用中一般采用固定混波比或通過(guò)能量加權(quán)的方式自動(dòng)計(jì)算混波比。

        3 正交多項(xiàng)式擬合

        3.1 構(gòu)建正交多項(xiàng)式

        在[-M,M]與[-N,N]區(qū)間上分別構(gòu)建二次正交多項(xiàng)式:

        容易證明對(duì)于任意0≤i,j≤2,有

        令Fij(x,y)=pi(x)qj(y),0≤i,j≤2,且F={Fij|0≤i,j≤2}={Gi|0≤i≤8}=G,則可證:F(或G)為點(diǎn)集D上最高為4次的二元正交多項(xiàng)式系。其元素如下:

        時(shí)窗W 上的窗口中點(diǎn)時(shí)間擬合多項(xiàng)式如下:

        (14)式中G4,G5和G8含有常數(shù)項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致擬合的信號(hào)偏離時(shí)窗中心。實(shí)際應(yīng)用中因?yàn)楦叽雾?xiàng)正交多項(xiàng)式系數(shù)一般較小,所以信號(hào)時(shí)間偏離時(shí)窗中心的問(wèn)題并不明顯。對(duì)于構(gòu)造比較簡(jiǎn)單的剖面,可以去除帶常數(shù)項(xiàng)的正交多項(xiàng)式以保證擬合的信號(hào)時(shí)間固定在窗口中心而不影響擬合效果。最佳擬合系數(shù)根據(jù)多道互相關(guān)性最強(qiáng)的原則確定。對(duì)窗口內(nèi)數(shù)據(jù)S(x,y,t)可以計(jì)算歸一化多道互相關(guān)系數(shù),即

        其中,

        3.2 系數(shù)掃描過(guò)程

        以c1的掃描為例。選取初始窗口,以初始窗口邊界的樣點(diǎn)時(shí)間作為掃描范圍,通過(guò)不同的樣點(diǎn)時(shí)間得到c1的不同系數(shù);由(16)式求出相應(yīng)的相關(guān)系數(shù),選取最大相關(guān)系數(shù),其對(duì)應(yīng)的c1系數(shù)即為最終系數(shù)。

        由于G為二元正交多項(xiàng)式系,故可以用獨(dú)立掃描的方式求得擬合系數(shù)ci,從而簡(jiǎn)化計(jì)算。具體過(guò)程是:①固定c0(在剖面上劃分窗口實(shí)際上是選定不同的c0),先掃描c1,此時(shí)c2至c8均為0,比較多道互相關(guān)值確定c1;②保持已確定的多道互相關(guān)系數(shù),再掃描c2,依此類推。每次掃描后記錄下獲取窗口中心x-line方向和in-line方向的離散點(diǎn)時(shí)間位置,之后的振幅及波形計(jì)算完全依賴于上述離散點(diǎn)時(shí)間位置,不需要正交多項(xiàng)式參與計(jì)算,這樣可以極大地減少計(jì)算量。掃描過(guò)程中窗口的形狀隨多項(xiàng)式系數(shù)的變化而變化,求系數(shù)的過(guò)程就是搜索信號(hào)的過(guò)程,由掃描確定的窗口就是期望信號(hào)的窗口。

        根據(jù)(14)式中多項(xiàng)式對(duì)稱的性質(zhì),實(shí)際上只需要掃描窗口中對(duì)角的兩條棱即可歷遍窗口中所有的點(diǎn),據(jù)此可以對(duì)正交多項(xiàng)式進(jìn)行快速掃描。不同掃描方式的掃描次數(shù)對(duì)比見(jiàn)表1。

        選取窗口大小為M0=9,N0=31和L0=61,對(duì)一列采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 501的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間測(cè)試,其運(yùn)算窗口個(gè)數(shù)為84,運(yùn)算時(shí)間見(jiàn)表2。通過(guò)對(duì)比可以看出,正交多項(xiàng)式擬合快速掃描方法比現(xiàn)有方法明顯提高了效率。

        表1 標(biāo)準(zhǔn)窗口(M0×N0×L0)多項(xiàng)式擬合不同掃描方式的掃描次數(shù)

        表2 84個(gè)窗口(9×31×61)多項(xiàng)式擬合不同掃描方式的用時(shí)(平均時(shí)間)

        4 實(shí)際資料測(cè)試

        4.1 測(cè)試1

        首先選擇東部地區(qū)的三維疊后地震資料進(jìn)行測(cè)試,圖1是in-line測(cè)線方向的原始地震剖面,2 300~2 700及3 000~3 500ms部分信噪比均較低。應(yīng)用本文提出的三維多項(xiàng)式擬合方法去噪后(圖2),被隨機(jī)噪聲淹沒(méi)的有效信號(hào)被很好地?cái)M合出來(lái),有效信號(hào)同相軸變得更加清晰,連續(xù)性得到了增強(qiáng)。特別是在1 900~2 300及2 700~3 000ms處,隨機(jī)噪聲得到了很好的壓制,有效信號(hào)同相軸的連續(xù)性和信號(hào)能量都得到了增強(qiáng)。整體來(lái)看,雖然去噪后剖面的分辨率有所降低,但隨機(jī)噪聲得到了壓制,資料信噪比得到了明顯提高。

        圖2 東部地區(qū)某三維疊后資料in-line測(cè)線方向多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

        圖3和圖4為同一塊三維疊后資料x(chóng)-line測(cè)線方向的原始剖面和多項(xiàng)式擬合去噪后的結(jié)果。由圖3與圖4對(duì)比可以明顯看到,應(yīng)用本文提出的三維多項(xiàng)式擬合方法去噪后,x-line方向地震資料中的噪聲同樣被有效去除,有效信號(hào)的能量得到了增強(qiáng)。

        4.2 測(cè)試2

        選擇西北地區(qū)的三維地震資料對(duì)比測(cè)試了二維與三維多項(xiàng)式擬合的效果。圖5是西北地區(qū)某三維疊后資料in-line測(cè)線方向的原始剖面;圖6和圖7分別是應(yīng)用二維多項(xiàng)式擬合方法和本文三維多項(xiàng)式擬合方法去噪后的結(jié)果。由圖6和圖7的粗略對(duì)比可以看到,在in-line測(cè)線方向,二維及三維多項(xiàng)式擬合方法都能很好地壓制隨機(jī)噪聲,提高反射同相軸的信噪比,擬合去噪效果看上去都比較理想。

        圖8是從上述三維資料中截取470號(hào)x-line測(cè)線局部放大后的精細(xì)對(duì)比結(jié)果。由圖8可以看到,在x-line測(cè)線方向的二維多項(xiàng)式擬合結(jié)果(圖8b)中,部分同相軸出現(xiàn)了能量突跳現(xiàn)象,例如in-line方向390~400道的1 300~1 400ms部分和1 050~1 150ms部分;而應(yīng)用本文三維多項(xiàng)式擬合方法去噪的結(jié)果(圖8c)則沒(méi)有出現(xiàn)同相軸突跳,因此其保真性得到了保證。另外,由于二維多項(xiàng)式擬合只在in-line方向進(jìn)行,所以在x-line方向可能會(huì)出現(xiàn)能量和連續(xù)性較弱的線性同相軸被擬合成幾條分段曲線的情況,例如in-line方向350~380道的2 150~2 200ms部分;而三維多項(xiàng)式擬合方法則很好地保持了該部分同相軸的真實(shí)形態(tài),并且使同相軸的連續(xù)性得到了增強(qiáng)??偟膩?lái)看,三維多項(xiàng)式擬合方法應(yīng)用于三維地震資料處理較二維多項(xiàng)式擬合方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

        圖3 東部地區(qū)某三維疊后資料x(chóng)-line測(cè)線方向的原始剖面

        圖4 東部地區(qū)某三維疊后資料x(chóng)-line測(cè)線方向多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

        圖5 西北地區(qū)某三維疊后資料389號(hào)in-line測(cè)線的原始剖面

        圖6 西北地區(qū)某三維疊后資料389號(hào)in-line測(cè)線二維多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

        圖7 西北地區(qū)某三維疊后資料389號(hào)in-line測(cè)線三維多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

        圖8 西北地區(qū)某三維疊后資料470號(hào)x-line測(cè)線原始數(shù)據(jù)(a)和二維多項(xiàng)式擬合(b)及三維多項(xiàng)式擬合(c)結(jié)果的局部放大顯示

        5 結(jié)束語(yǔ)

        本文三維多項(xiàng)式擬合去噪方法擬合三維疊后地震數(shù)據(jù)能很好地避免二維多項(xiàng)式擬合三維地震數(shù)據(jù)所產(chǎn)生的能量突跳現(xiàn)象。雖然兩種方法對(duì)隨機(jī)噪聲的壓制效果都較好,但三維多項(xiàng)式擬合方法的保真性更好。

        值得指出的是,盡管正交多項(xiàng)式擬合較普通多項(xiàng)式擬合能極大地減少計(jì)算量,提高大數(shù)據(jù)量三維地震資料處理的生產(chǎn)效率,但由于其計(jì)算點(diǎn)受二次項(xiàng)的制約并不總是固定在時(shí)窗的中心,可能會(huì)影響其擬合的準(zhǔn)確性,因此,在實(shí)際應(yīng)用研究中應(yīng)盡可能使其影響減至最小。

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