鄒 夢(mèng)，馮民富，張 華，朱 瑞，羅 鯤，譚英誼

（1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都610059；2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610065；3.川慶鉆探工程有限公司地球物理勘探公司，四川成都610213）

提高信噪比是地震資料處理的一項(xiàng)重要任務(wù)［1］。因?yàn)槠魄暗叵逻B續(xù)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的地震信號(hào)在橫向上是連續(xù)的［2－3］，所以可以利用多項(xiàng)式連續(xù)的性質(zhì)，構(gòu)建合適的多項(xiàng)式來(lái)擬合地震信號(hào)，以恢復(fù)反射同相軸的連續(xù)性，達(dá)到增強(qiáng)有效信號(hào)、提高地震資料信噪比的目的。

地震信號(hào)多項(xiàng)式擬合最先被應(yīng)用在二維疊后地震資料去噪中［4］，該方法能在提高二維疊后地震資料信噪比的同時(shí)，保證地震信號(hào)的分辨率。擬合時(shí)選取正交多項(xiàng)式可以減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率［5］。但是，利用二維的擬合方式［6－7］處理三維地震資料時(shí)只能在x－line方向或in－line方向上單獨(dú)進(jìn)行擬合，在擬合的方向上能夠取得很好的去噪效果，在另一個(gè)方向上卻可能會(huì)引起能量突跳，進(jìn)行資料解釋時(shí)就有可能錯(cuò)誤地將其判斷為斷點(diǎn)，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。

為了解決二維正交多項(xiàng)式擬合所產(chǎn)生的能量突跳問(wèn)題，有人提出了一種全三維正交多項(xiàng)式擬合方法［8－9］，用正交多項(xiàng)式對(duì)空間選取的離散采樣點(diǎn)進(jìn)行三維擬合，得到去噪后的結(jié)果。但是，該方法需要大量的人機(jī)交互，增加了資料處理的復(fù)雜性，同時(shí)，擬合三維地震資料的運(yùn)算量十分巨大，因此尋求一種能夠由計(jì)算機(jī)自動(dòng)處理且計(jì)算迅速的全三維擬合方法顯得尤為重要。

我們提出一種隱式的正交多項(xiàng)式擬合方法，該方法將三維地震數(shù)據(jù)劃分為若干個(gè)三維窗口，不需要計(jì)算出正交多項(xiàng)式的表達(dá)式，只需要獲取窗口中心x－line方向和in－line方向的離散點(diǎn)時(shí)間位置，掃描窗口對(duì)角的兩個(gè)地震道數(shù)據(jù)。處理前一次性選擇傾角范圍，擬合過(guò)程中不再有人工參與，使地震數(shù)據(jù)的批量處理成為可能。由于優(yōu)化了掃描及擬合過(guò)程，極大地減少了窗口掃描運(yùn)算的時(shí)間，實(shí)際資料處理取得了很好的效果。

1 Weierstrass第一定理

因?yàn)榈叵逻B續(xù)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的地震信號(hào)在橫向上是連續(xù)的，即使地下反射面很小，與它相關(guān)的信號(hào)分布范圍也非常大［10］，所以，這些橫向上連續(xù)的信號(hào)可以看作為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。有了這個(gè)前提，即可利用Weierstrass第一定理對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。

設(shè)f（x）∈C［a，b］，那么對(duì)任意給定的ε＞0，都存在這樣的多項(xiàng)式P（x），使得

成立。其中C［a，b］代表閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，ε代表任意給定的正實(shí)數(shù)。這就是Weierstrass第一定理，詳細(xì)證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［11－12］。

上述定理表明，任意閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以找到一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近它。因此，連續(xù)的地震信號(hào)可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近。然而，公式（1）中的原函數(shù)為一元函數(shù)，因此只能運(yùn)用到二維地震資料的多項(xiàng)式擬合中。對(duì)于三維地震數(shù)據(jù)，需要用二元多項(xiàng)式來(lái)逼近。

設(shè)f（x1，…，xn）∈C［a1，b1］×…×C［an，bn］，那么，對(duì)任意給定的ε＞0，都存在這樣的多項(xiàng)式P（x1，x2，…，xn），使

成立。這是N維空間上的Weierstrass第一定理，詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)［13－14］。利用這一定理，可以對(duì)三維地震信號(hào)進(jìn)行擬合逼近。

2 多項(xiàng)式擬合

2.1 信號(hào)時(shí)間擬合［15］

進(jìn)行多項(xiàng)式擬合前，先將地震數(shù)據(jù)以三維數(shù)組形式存放，使用時(shí)對(duì)數(shù)組進(jìn)行抽?。辉谌S疊后地震資料上任取一個(gè)區(qū)域，將該區(qū)域沿時(shí)間軸劃分一系列的時(shí)窗。根據(jù)擬合前所劃分的窗口大?。▁line方向，in－line方向，時(shí)間方向）形成初始窗口，設(shè)某一時(shí)窗W 內(nèi)x－line方向有2 N＋1個(gè)地震道，in－line方向有2 M＋1個(gè)地震道，對(duì)該時(shí)窗沿inline，x－line方向建立如下離散坐標(biāo)系：

設(shè)時(shí)窗W 的時(shí)間長(zhǎng)度為2L，采樣時(shí)間間隔為Δt，則相關(guān)樣點(diǎn)所在的空間為

在時(shí)窗W 內(nèi)，可用二元三次多項(xiàng)式來(lái)表示地震信號(hào)的到達(dá)時(shí)間（或窗口的中點(diǎn)時(shí)間）：

式中：x，y為某一空間位置的相對(duì)道序號(hào)；aij為時(shí)間多項(xiàng)式系數(shù)，i為x項(xiàng)的乘方次數(shù)與y項(xiàng)的乘方次數(shù)之和，j為y項(xiàng)的乘方次數(shù)。

對(duì)于時(shí)間多項(xiàng)式的計(jì)算，首先需要將窗口沿x－line方向和in－line方向分別剖分為2 N＋1和2 M＋1個(gè)二維剖面，再對(duì)這些剖面進(jìn)行逐點(diǎn)掃描確定信號(hào)時(shí)間方向，最后通過(guò)組合得到二元多項(xiàng)式。此方法的優(yōu)點(diǎn)是信號(hào)始終固定在時(shí)窗中心，不會(huì)造成時(shí)窗內(nèi)信號(hào)的整體上移或下移，但缺點(diǎn)也相當(dāng)明顯，即逐點(diǎn)掃描需要大量的計(jì)算時(shí)間。

2.2 信號(hào)振幅計(jì)算

在時(shí)窗W 內(nèi)，各點(diǎn)的輸出振幅可通過(guò)對(duì)原始道振幅取均方根，再通過(guò)最小二乘擬合得到。均方根振幅計(jì)算公式如下：

式中：A（Xn）表示坐標(biāo)為Xn的地震道的輸出振幅；L為時(shí)間方向上窗口移動(dòng)的大??；S（Xn，Tn）為第n個(gè)地震道相對(duì)于窗口上下中心位置的樣點(diǎn)值。均方根振幅通過(guò)以下多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行擬合。

其中，多項(xiàng)式系數(shù)b0，b1，b2，…采用最小二乘法確定。

2.3 期望波形形成

得到信號(hào)的振幅后，將時(shí)間多項(xiàng)式確定的同一時(shí)窗內(nèi)2 N＋1道記錄波形沿?cái)M合出的同相軸方向相加，并對(duì)相加結(jié)果進(jìn)行縮放，使其均方根振幅歸一。波形相加公式為

式中：Tn為第n道的時(shí)窗中點(diǎn)時(shí)間，由時(shí)間多項(xiàng)式確定。其歸一化公式為

確定了時(shí)間多項(xiàng)式和振幅多項(xiàng)式的系數(shù)后，即可形成期望波形。

2.4 混波

正交多項(xiàng)式擬合難免會(huì)模糊一些斷點(diǎn)，所以在形成期望波形以后一般要將其及原始數(shù)據(jù)進(jìn)行混波處理，以減小擬合對(duì)斷點(diǎn)的影響?；觳ū鹊倪x擇有很多種，在實(shí)際應(yīng)用中一般采用固定混波比或通過(guò)能量加權(quán)的方式自動(dòng)計(jì)算混波比。

3 正交多項(xiàng)式擬合

3.1 構(gòu)建正交多項(xiàng)式

在［－M，M］與［－N，N］區(qū)間上分別構(gòu)建二次正交多項(xiàng)式：

容易證明對(duì)于任意0≤i，j≤2，有

令Fij（x，y）＝pi（x）qj（y），0≤i，j≤2，且F＝｛Fij｜0≤i，j≤2｝＝｛Gi｜0≤i≤8｝＝G，則可證：F（或G）為點(diǎn)集D上最高為4次的二元正交多項(xiàng)式系。其元素如下：

時(shí)窗W 上的窗口中點(diǎn)時(shí)間擬合多項(xiàng)式如下：

（14）式中G4，G5和G8含有常數(shù)項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致擬合的信號(hào)偏離時(shí)窗中心。實(shí)際應(yīng)用中因?yàn)楦叽雾?xiàng)正交多項(xiàng)式系數(shù)一般較小，所以信號(hào)時(shí)間偏離時(shí)窗中心的問(wèn)題并不明顯。對(duì)于構(gòu)造比較簡(jiǎn)單的剖面，可以去除帶常數(shù)項(xiàng)的正交多項(xiàng)式以保證擬合的信號(hào)時(shí)間固定在窗口中心而不影響擬合效果。最佳擬合系數(shù)根據(jù)多道互相關(guān)性最強(qiáng)的原則確定。對(duì)窗口內(nèi)數(shù)據(jù)S（x，y，t）可以計(jì)算歸一化多道互相關(guān)系數(shù)，即

其中，

3.2 系數(shù)掃描過(guò)程

以c1的掃描為例。選取初始窗口，以初始窗口邊界的樣點(diǎn)時(shí)間作為掃描范圍，通過(guò)不同的樣點(diǎn)時(shí)間得到c1的不同系數(shù)；由（16）式求出相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，選取最大相關(guān)系數(shù)，其對(duì)應(yīng)的c1系數(shù)即為最終系數(shù)。

由于G為二元正交多項(xiàng)式系，故可以用獨(dú)立掃描的方式求得擬合系數(shù)ci，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。具體過(guò)程是：①固定c0（在剖面上劃分窗口實(shí)際上是選定不同的c0），先掃描c1，此時(shí)c2至c8均為0，比較多道互相關(guān)值確定c1；②保持已確定的多道互相關(guān)系數(shù)，再掃描c2，依此類推。每次掃描后記錄下獲取窗口中心x－line方向和in－line方向的離散點(diǎn)時(shí)間位置，之后的振幅及波形計(jì)算完全依賴于上述離散點(diǎn)時(shí)間位置，不需要正交多項(xiàng)式參與計(jì)算，這樣可以極大地減少計(jì)算量。掃描過(guò)程中窗口的形狀隨多項(xiàng)式系數(shù)的變化而變化，求系數(shù)的過(guò)程就是搜索信號(hào)的過(guò)程，由掃描確定的窗口就是期望信號(hào)的窗口。

根據(jù)（14）式中多項(xiàng)式對(duì)稱的性質(zhì)，實(shí)際上只需要掃描窗口中對(duì)角的兩條棱即可歷遍窗口中所有的點(diǎn)，據(jù)此可以對(duì)正交多項(xiàng)式進(jìn)行快速掃描。不同掃描方式的掃描次數(shù)對(duì)比見(jiàn)表1。

選取窗口大小為M0＝9，N0＝31和L0＝61，對(duì)一列采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 501的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間測(cè)試，其運(yùn)算窗口個(gè)數(shù)為84，運(yùn)算時(shí)間見(jiàn)表2。通過(guò)對(duì)比可以看出，正交多項(xiàng)式擬合快速掃描方法比現(xiàn)有方法明顯提高了效率。

表1 標(biāo)準(zhǔn)窗口（M0×N0×L0）多項(xiàng)式擬合不同掃描方式的掃描次數(shù)

表2 84個(gè)窗口（9×31×61）多項(xiàng)式擬合不同掃描方式的用時(shí)（平均時(shí)間）

4 實(shí)際資料測(cè)試

4.1 測(cè)試1

首先選擇東部地區(qū)的三維疊后地震資料進(jìn)行測(cè)試，圖1是in－line測(cè)線方向的原始地震剖面，2 300～2 700及3 000～3 500ms部分信噪比均較低。應(yīng)用本文提出的三維多項(xiàng)式擬合方法去噪后（圖2），被隨機(jī)噪聲淹沒(méi)的有效信號(hào)被很好地?cái)M合出來(lái)，有效信號(hào)同相軸變得更加清晰，連續(xù)性得到了增強(qiáng)。特別是在1 900～2 300及2 700～3 000ms處，隨機(jī)噪聲得到了很好的壓制，有效信號(hào)同相軸的連續(xù)性和信號(hào)能量都得到了增強(qiáng)。整體來(lái)看，雖然去噪后剖面的分辨率有所降低，但隨機(jī)噪聲得到了壓制，資料信噪比得到了明顯提高。

圖2 東部地區(qū)某三維疊后資料in－line測(cè)線方向多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

圖3和圖4為同一塊三維疊后資料x(chóng)－line測(cè)線方向的原始剖面和多項(xiàng)式擬合去噪后的結(jié)果。由圖3與圖4對(duì)比可以明顯看到，應(yīng)用本文提出的三維多項(xiàng)式擬合方法去噪后，x－line方向地震資料中的噪聲同樣被有效去除，有效信號(hào)的能量得到了增強(qiáng)。

4.2 測(cè)試2

選擇西北地區(qū)的三維地震資料對(duì)比測(cè)試了二維與三維多項(xiàng)式擬合的效果。圖5是西北地區(qū)某三維疊后資料in－line測(cè)線方向的原始剖面；圖6和圖7分別是應(yīng)用二維多項(xiàng)式擬合方法和本文三維多項(xiàng)式擬合方法去噪后的結(jié)果。由圖6和圖7的粗略對(duì)比可以看到，在in－line測(cè)線方向，二維及三維多項(xiàng)式擬合方法都能很好地壓制隨機(jī)噪聲，提高反射同相軸的信噪比，擬合去噪效果看上去都比較理想。

圖8是從上述三維資料中截取470號(hào)x－line測(cè)線局部放大后的精細(xì)對(duì)比結(jié)果。由圖8可以看到，在x－line測(cè)線方向的二維多項(xiàng)式擬合結(jié)果（圖8b）中，部分同相軸出現(xiàn)了能量突跳現(xiàn)象，例如in－line方向390～400道的1 300～1 400ms部分和1 050～1 150ms部分；而應(yīng)用本文三維多項(xiàng)式擬合方法去噪的結(jié)果（圖8c）則沒(méi)有出現(xiàn)同相軸突跳，因此其保真性得到了保證。另外，由于二維多項(xiàng)式擬合只在in－line方向進(jìn)行，所以在x－line方向可能會(huì)出現(xiàn)能量和連續(xù)性較弱的線性同相軸被擬合成幾條分段曲線的情況，例如in－line方向350～380道的2 150～2 200ms部分；而三維多項(xiàng)式擬合方法則很好地保持了該部分同相軸的真實(shí)形態(tài)，并且使同相軸的連續(xù)性得到了增強(qiáng)?？偟膩?lái)看，三維多項(xiàng)式擬合方法應(yīng)用于三維地震資料處理較二維多項(xiàng)式擬合方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

圖3 東部地區(qū)某三維疊后資料x(chóng)－line測(cè)線方向的原始剖面

圖4 東部地區(qū)某三維疊后資料x(chóng)－line測(cè)線方向多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

圖5 西北地區(qū)某三維疊后資料389號(hào)in－line測(cè)線的原始剖面

圖6 西北地區(qū)某三維疊后資料389號(hào)in－line測(cè)線二維多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

圖7 西北地區(qū)某三維疊后資料389號(hào)in－line測(cè)線三維多項(xiàng)式擬合去噪后的剖面

圖8 西北地區(qū)某三維疊后資料470號(hào)x－line測(cè)線原始數(shù)據(jù)（a）和二維多項(xiàng)式擬合（b）及三維多項(xiàng)式擬合（c）結(jié)果的局部放大顯示

5 結(jié)束語(yǔ)

本文三維多項(xiàng)式擬合去噪方法擬合三維疊后地震數(shù)據(jù)能很好地避免二維多項(xiàng)式擬合三維地震數(shù)據(jù)所產(chǎn)生的能量突跳現(xiàn)象。雖然兩種方法對(duì)隨機(jī)噪聲的壓制效果都較好，但三維多項(xiàng)式擬合方法的保真性更好。

值得指出的是，盡管正交多項(xiàng)式擬合較普通多項(xiàng)式擬合能極大地減少計(jì)算量，提高大數(shù)據(jù)量三維地震資料處理的生產(chǎn)效率，但由于其計(jì)算點(diǎn)受二次項(xiàng)的制約并不總是固定在時(shí)窗的中心，可能會(huì)影響其擬合的準(zhǔn)確性，因此，在實(shí)際應(yīng)用研究中應(yīng)盡可能使其影響減至最小。

［1］李錄明，李正文.地震勘探原理方法和解釋［M］.北京：地質(zhì)出版社，2007：1－4 Li L M，Li Z W.Principles methods and interpretation of seismic prospecting［M］.Beijing：Geological Press，2007：1－4

［2］俞壽朋.高分辨率地震勘探［M］.北京：石油工業(yè)出版社，1993：1－189 Yu S P.High resolution seismic prospecting［M］.Beijing：Petroleum Industry Press，1993：1－189

［3］俞壽朋.地震信號(hào)的多項(xiàng)式擬合在偏移前資料處理中的應(yīng)用［J］.物探科技通報(bào)，1988，6（1）：6－18 Yu S P.The application in pre－migration seismic data processing with polynomial fitting［J］.Bulletin of Geophysical Prospecting Science and Technology，1988，6（1）：6－18

［4］俞壽朋，蔡希玲，蘇永昌.用地震信號(hào)多項(xiàng)式擬合提高疊加剖面信噪比［J］.石油地球物理勘探，1988，23（2）：131－139 Yu S P，Cai X L，Su Y C.The seismic signal with polynomial fit to improve post－stack section SNR［J］.Oil Geophysical Prospecting，1988，23（2）：131－139

［5］鐘偉，楊寶俊，張智.多項(xiàng)式擬合技術(shù)在強(qiáng)噪聲地震資料中的應(yīng)用研究［J］.地球物理學(xué)進(jìn)展，2006，21（1）：184－189 Zhong W，Yang B J，Zhang Z.The application of polynomial fitting technique in strong noise seismic data［J］.Progress in Geophysics，2006，21（1）：184－189

［6］Wang H，Cui R F.Multiple suppression using T－A dual polynomial fitting method［J］.Journal of China University of Mining ＆ Technology，1999，9（1）：55－59

［7］Lu W，Zhang W，Liu D.Local linear coherent noise attenuation based on local polynomial approximation［J］.Geophysics，2006，71（6）：V163－V169

［8］萬(wàn)海濤，蘇永昌，俞壽朋.3－D疊后地震資料多項(xiàng)式擬合提高信噪比和道內(nèi)插［J］.石油地球物理勘探，1994，29（2）：208－212 Wan H T，Su Y C，Yu S P.Improve the signal noise ratio of stacked 3－D seismic data by polynomial fitting method and the trace interpolation［J］.Oil Geophysical Prospecting，1994，29（2）：208－212

［9］李浩，張燕梅.利用正交多項(xiàng)式對(duì)三維地震資料擬合算法的研究［J］.西北地震學(xué)報(bào)，2009，31（2）：148－151 Li H，Zhang Y M.The fitting algorithm research of three－dimensional seismic data with orthogonal polynomial［J］.Northwestern Seismological Journal，2009，31（2）：148－151

［10］李慶忠.來(lái)自地下復(fù)雜地質(zhì)體的反射圖形到底是怎樣的？［J］.石油地球物理勘探，1986，20（3）：221－240 Li Q Z.What the reflection pattern is from the underground complex geological body reflection？［J］.Oil Geophysical Prospecting，1986，20（3）：221－240

［11］王仁宏.數(shù)值逼近［M］.北京：高等教育出版社，1999：1－5 Wang R H.Numerical approximation［M］.Beijing：Higher Education Press，1999：1－5

［12］Lorentz G G.函數(shù)逼近論［M］.謝庭藩，施咸亮，譯，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981：1－9 Lorentz G G.Function approximation theory［M］.Xie T F，Shi X L，translator.Shanghai：Shanghai Science and Technology Press，1981：1－9

［13］王仁宏，梁學(xué)章.多元函數(shù)逼近［M］.北京：科學(xué)出版社，1988：1－7 Wang R H，Liang X Z.Multivariate function approximation［M］.Beijing：Science Press，1988：1－7

［14］李華，姚維柱.N維空間上的 Weierstrass逼近定理的證明［J］.北京電力高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2010，30（11X）：11－12 Li H，Yao W Z.N－dimensional space Weierstrass approximation theorem［J］.Beijing Electric Power College（Social Science Edition），2010，30（11X）：11－12

［15］俞壽朋，蔡希玲.擬合零炮檢距剖面與分辨率［J］.石油地球物理勘探，1995，30（2）：168－180 Yu S P，Cai X L.Fitted zero－offset section and resolution［J］.Oil Geophysical Prospecting，1995，30（2）：168－180