呂曉春，顧漢明，成景旺

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）地球物理與空間信息學(xué)院，湖北武漢430074；2.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）構(gòu)造與油氣資源教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074）

利用人工地震獲取的地震波信息反演地下介質(zhì)物性參數(shù)是地球物理學(xué)的重要研究內(nèi)容。地震波場反演方法很多，如相位反演成像、振幅反演成像以及全波形反演成像等等。其中全波形反演不同于走時(shí)反演、振幅反演等傳統(tǒng)的成像方法，它利用地震記錄的整體信息來進(jìn)行反演，是一種高精度的成像方法。20世紀(jì)80年代，直接通過求取模型參數(shù)擾動(dòng)計(jì)算Frechet導(dǎo)數(shù)的做法工作量極為龐大，使全波形反演局限于一維模型或簡單模型。Tarantola［1］借鑒逆時(shí)偏移的思想，利用正向傳播波場與殘差波場的互相關(guān)求取梯度方向，進(jìn)行了時(shí)間域的全波形反演研究。Pratt等［2－4］將全波形反演引入到頻率域中，根據(jù)炮點(diǎn)和接收點(diǎn)可互易性原理，導(dǎo)出了求解目標(biāo)函數(shù)梯度的高效算法，并利用高斯牛頓法對非均勻介質(zhì)的速度進(jìn)行了全波形反演。至此，地球物理學(xué)者開始對全波形反演開展更深入的研究。國外近十年中頻率域全波形反演已被廣 泛 應(yīng) 用 于 建 立 高 分 辨 率 的 速 度 模 型［5－7］。Virieux［8］總結(jié)了當(dāng)前全波形反演所取得的一些成果和認(rèn)識，指出了該方法所面對的難點(diǎn)以及下一步研究方向和趨勢。國內(nèi)很多學(xué)者也做了大量的研究工作，吳國忱等［9－10］以及殷文等［11］對頻率域的聲波和彈性波有限差分正演模擬做了很詳細(xì)的研究，為頻率域反演提供了前提手段；許焜等［12－13］基于頻域率有限元方法進(jìn)行了反演研究；龍桂華等［14］對粘彈聲波介質(zhì)進(jìn)行了頻率域反演；卞愛飛等［15］提出了自適應(yīng)剝層法全波形反演。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以及地震處理要求的提高，全波形反演方法的高分辨率特性引起了人們的注意。然而，實(shí)際地震信號的低頻缺失以及噪聲的存在制約著全波形反演的應(yīng)用，其中噪聲的存在是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題，因此有必要找到一個(gè)合適的目標(biāo)函數(shù)。L1范數(shù)相對于L2范數(shù)抗噪性強(qiáng)［16－17］，但數(shù)據(jù)誤差接近于零時(shí)，L1范數(shù)準(zhǔn)則求取的目標(biāo)函數(shù)梯度會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定性，而L2范數(shù)則比較穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)問題。Guitton［18］在使用擬牛頓法進(jìn)行地震反演時(shí)，通過求取一個(gè)實(shí)數(shù)型的Huber目標(biāo)函數(shù)的梯度來實(shí)現(xiàn)。Ha等［19］基于Huber函數(shù)構(gòu)建反演目標(biāo)函數(shù)來提高算法的抗噪性和穩(wěn)定性。韓淼等［20］也進(jìn)行了反演目標(biāo)函數(shù)的幾種范數(shù)準(zhǔn)則的對比研究。

為了既滿足穩(wěn)定性，又滿足抗噪性，我們將L1范數(shù)和L2范數(shù)結(jié)合來建立目標(biāo)函數(shù)，提出一種基于Huber函數(shù)的頻率域全波形反演新方法。頻率域全波形反演是在復(fù)數(shù)域進(jìn)行的，因此引入了復(fù)數(shù)形式的Huber函數(shù)，并推導(dǎo)了基于Huber準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)的梯度表達(dá)式。通過在幾個(gè)簡單的合成記錄中加入隨機(jī)脈沖噪聲、高斯噪聲和連續(xù)噪聲，驗(yàn)證了該方法的應(yīng)用效果。

1 復(fù)數(shù)形式的Huber函數(shù)

Huber［21］給出實(shí)數(shù)形式的Huber函數(shù)表達(dá)式：

其中，r為計(jì)算值與觀測值的誤差，是一個(gè)實(shí)數(shù)變量；ε是一個(gè)閾值，用來判定不同大小的誤差所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式（圖1）。類似實(shí)數(shù)域的Huber函數(shù)，對于復(fù)數(shù)r＝a＋bi，我們定義兩種不同的范數(shù)，其中L1范數(shù)計(jì)算表達(dá)式為，L2范數(shù)計(jì)算表達(dá)式為，就可以得到復(fù)數(shù)域的Huber函數(shù)表達(dá)式：

圖1 Huber函數(shù)示意

從公式（2）中可以看出，在誤差大于閾值ε時(shí)，目標(biāo)函數(shù)選取L1范數(shù)準(zhǔn)則。我們知道L1范數(shù)是所有范數(shù)中對數(shù)據(jù)加權(quán)最小的［22］，如果數(shù)據(jù)非常精確，那么某一預(yù)測值遠(yuǎn)離其觀測值的地方便是重要的影響因素，這時(shí)應(yīng)選擇L2范數(shù)，因?yàn)樗鼘^大的誤差加權(quán)也大。而對于包含噪聲的合成記錄來說，噪聲的存在使得數(shù)據(jù)不是很準(zhǔn)確，應(yīng)使用L1范數(shù)來減小這部分較大誤差的權(quán)值。由于L1范數(shù)總是大于L2范數(shù)，故（2）式還可以改寫成本文反演中采用公式（3）來建立目標(biāo)函數(shù)，其中的閾值ε的選取非常關(guān)鍵，我們采用Bube等［23］提出的方法，閾值ε的大小取為計(jì)算值與觀測值誤差數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差的0.6倍。

2 頻域率全波形反演基本理論

2.1 頻率域波動(dòng)方程正演計(jì)算

頻率域聲波波動(dòng)方程可以表示為

式中：ρ（x）為密度；k（x）為體變模量；ω 為角頻率；u（x，ω）和s（x，ω）分別為波場壓力值與震源。將方程（4）加入PML邊界條件后采用有限差分算子將其離散，則（4）式可簡單表示為

式中：A（ω）為與頻率和介質(zhì)速度有關(guān)的阻抗矩陣。假如模型空間網(wǎng)格數(shù)為（Nx，Nz），那么A（ω）是一個(gè)（Nx×Nz）×（Nx×Nz）的有限差分算子矩陣。該系數(shù)矩陣為大型稀疏矩陣，其非零元素對稱地分布在對角線上，但是它并非對稱矩陣，其值的大小是不一樣的。求解該大型稀疏矩陣方程組常用的方法有迭代法和直接分解法。對于多震源問題，我們采用直接分解（如LU分解）來求解，因?yàn)橄禂?shù)矩陣A（ω）只需分解一次，其LU分解結(jié)果就可以用于更多的新的震源求解，可以大量節(jié)省計(jì)算量，而且在全波形反演中的迭代反演上更為重要，因?yàn)槠溆写罅康恼鹪匆约疤撜鹪辞蠼?，每一次迭代過程中系數(shù)矩陣A（ω）不變，其LU分解可以多次重復(fù)使用。

2.2 目標(biāo)函數(shù)的建立以及梯度的求解

反問題的求解在數(shù)學(xué)上其實(shí)是一個(gè)最優(yōu)化求解問題，其中目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造是一個(gè)關(guān)鍵。根據(jù)上述復(fù)數(shù)形式的Huber表達(dá)式，我們構(gòu)造如下的目標(biāo)函數(shù)：

式中：p為模型變量；Ns為炮點(diǎn)數(shù)；Nr為接收點(diǎn)數(shù)；rs，r為計(jì)算波場與觀測波場的殘差：

結(jié)合（8）式和（9）式，我們將基于 Huber函數(shù)得到的目標(biāo)函數(shù)梯度表達(dá)式統(tǒng)一表示為

式中：r＝（r1，r2，…，rNr），

從（10）式中我們看到梯度求解的關(guān)鍵在于Jacobin矩陣的求解。對（5）式兩邊參數(shù)pk進(jìn)行求導(dǎo)，有

由于（13）式和（5）式的形式一樣，而且它的阻抗矩陣也一樣，故可以直接利用正演的LU分解結(jié)果求解偏導(dǎo)數(shù)波場。將（13）式代入（10）式可得

其中A［］－1Tr＊為殘差的反傳播場，我們只需將各個(gè)接收點(diǎn)處的殘差組成新的震源再正演一次便可得到。從（14）式可以看出目標(biāo)函數(shù)對速度變量的梯度可以通過計(jì)算虛震源與殘差反傳播場的零延遲卷積得到。

2.3 預(yù)梯度法反演

地球物理反演通過求取目標(biāo)函數(shù)的最小值，不斷對模型參數(shù)進(jìn)行修改，求取滿足條件的最佳模型。本文反演過程中采用近似Hessian矩陣的對角線來做梯度的預(yù)條件算子［14］，其模型更新量可以表示為：

式中：α為待定的步長；diag（Ha）表示近似 Hessian矩陣Ha的對角線矩陣，用來對梯度進(jìn)行修正，以加快收斂速度；λ為可調(diào)節(jié)的正則化因子；I表示單位矩陣為目標(biāo)函數(shù)的梯度。其中Ha可以表示為

從（16）式不難發(fā)現(xiàn)Hessian矩陣可以表示成偏導(dǎo)數(shù)的互相關(guān)，根據(jù)（13）式可求出Hessian矩陣，令i＝j(luò)就可求出它的對角元素。

3 數(shù)值模型試算

為了驗(yàn)證基于Huber函數(shù)的頻率域全波形反演方法的實(shí)用性以及正確性，在原始合成記錄上分別加入了隨機(jī)脈沖噪聲、連續(xù)噪聲和高斯噪聲來進(jìn)行模型試算。

3.1 含隨機(jī)脈沖噪聲的數(shù)值試算

通過一個(gè)簡單的地質(zhì)模型來進(jìn)行隨機(jī)脈沖噪聲的數(shù)值試算。模型計(jì)算范圍為5km×2km，一共有5層，中間有一個(gè)高速體（圖2）。原始合成記錄通過頻率域有限差分正演模擬得到，正演過程中采用主頻為10Hz的雷克子波，頻率間隔為0.24Hz，最大頻率為30Hz。共有51炮，炮間距100m。每炮有251道接收，道間距為20m。圖3a為炮點(diǎn)位置位于0處的原始合成記錄，圖3b為加了噪聲的記錄，其中有9個(gè)充零道和4個(gè)脈沖噪聲。

圖2 簡單模型

圖3 震源位于0處的模擬炮集記錄

圖4 含隨機(jī)脈沖噪聲數(shù)據(jù)反演結(jié)果

分別采用基于L2范數(shù)的最小平方反演法和本文提出的Huber反演方法對不含噪聲和含噪聲的記錄進(jìn)行反演。反演過程中從2.4到20.0Hz共選取20個(gè)反演頻率，每個(gè)頻率反演40次。反演采用的初始模型為一個(gè)線性模型（圖4a），初始速度為1 500m／s，最深處的速度為3 000m／s，速度計(jì)算為v＝1 500＋kz，k為15m／s，z為網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。圖4b和4c分別為采用最小平方法對原始合成記錄（圖3a）和含隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)（圖3b）的反演結(jié)果。由圖4b可以看到，最小平方法對沒有噪聲的數(shù)據(jù)進(jìn)行反演可以得到較好的速度模型，根據(jù)Snell射線原理，高速體下方透射波較少，故該界面與理論有所差異，但模型的大部分層位都較好地反映出來。相對而言，對含有噪聲的數(shù)據(jù)最小平方法反演結(jié)果較差（圖4c），除了第一層較好地被反演出來，其他各層的分界面都反演較差。圖4d為采用本文方法對含隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的反演結(jié)果，對比圖4c和圖4d可看出，基于Huber函數(shù)的全波形反演受噪聲影響小，反演結(jié)果較好。

3.2 含連續(xù)噪聲的數(shù)值試算

采用和3.1節(jié)同樣的模型（圖2）、觀測系統(tǒng)以及正、反演參數(shù)。如圖5所示，在原始合成單炮記錄（圖5a）上加入了2個(gè)不同斜率的連續(xù)噪聲（圖5b和圖5c）。為了和原始記錄的頻譜相一致，連續(xù)噪聲同樣采用主頻為10Hz的雷克子波，其中連續(xù)噪聲的振幅值隨著偏移距而改變［24］。

從2個(gè)含連續(xù)噪聲數(shù)據(jù)的反演結(jié)果（圖6）來看，連續(xù)噪聲對反演結(jié)果的影響較大。第一種斜率噪聲存在的情況下，利用最小平方反演法（圖6a）沒有將高速體反演出來，只反演出上界面，而且出現(xiàn)了假的層位；采用本文方法（圖6c）可以大致反演出高速體，而且下面也沒有出現(xiàn)假的層位。第二種噪聲存在的情況下，最小反演法反演（圖6b）的第一層的深度與理論不吻合，高速體同樣沒有反演出來；而采用本文方法得到的反演結(jié)果（圖6d）第一層的埋深有所改善，且高速體也被反演出來，但與不含噪聲反演結(jié)果（圖4b）相比，還有所差別。

圖5 震源位于0處的模擬炮集記錄

圖6 含連續(xù)噪聲數(shù)據(jù)反演結(jié)果

3.3 含高斯噪聲的數(shù)值試算

我們采用Marmousi模型（圖7）的合成記錄加入高斯噪聲來進(jìn)行反演測試。Marmousi模型計(jì)算范圍取為9.00km×3.18km，網(wǎng)格大小為451×159。原始合成記錄也是通過頻率域有限差分正演模擬得到的，正演過程中采用主頻為10Hz的雷克子波，頻率間隔為0.24Hz，正演最大頻率為30Hz。共有91炮，炮間距為100m。每一炮451道接收，道間距為20m。

圖8分別給出了沒有加噪聲（圖8a）和加了信噪比為5dB的高斯噪聲（圖8b）的合成記錄。高斯噪聲的產(chǎn)生采用Box－Muller方法［25］。

圖7 Marmousi模型

圖8 震源位于3 100m處的模擬炮集記錄

分別采用最小平方反演法和本文提出的Huber反演方法對圖8所示不含噪聲和含有噪聲的原始合成記錄進(jìn)行反演。反演過程中從2.4到20.0Hz共選取20個(gè)反演頻率，每個(gè)頻率反演40次。反演采用的初始模型為一個(gè)線性模型（圖9a），速度計(jì)算為v＝1 500＋kz，k為17m／s，z為網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。圖9b和圖9c分別為采用最小平方法對原始合成記錄和含高斯噪聲數(shù)據(jù)的反演結(jié)果，圖9d為本文方法對含高斯噪聲數(shù)據(jù)的反演結(jié)果。從3種反演結(jié)果來看，最小平方法對高斯噪聲敏感度較低，合成記錄中加入高斯噪聲也可以得到好的反演結(jié)果。由此可以看出最小平方法和Huber函數(shù)反演法受高斯噪聲的影響都較小，除了速度模型光滑度較差外，各個(gè)層的分界面均可以較好地反演出來。

圖9 含高斯噪聲數(shù)據(jù)反演結(jié)果

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)的全波形反演采用L2范數(shù)準(zhǔn)則構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)抗噪性差和L1范數(shù)則可能導(dǎo)致反演不穩(wěn)定的問題，我們引入復(fù)數(shù)形式的Huber函數(shù)準(zhǔn)則來建立目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)考慮L2范數(shù)和L1范數(shù)的優(yōu)勢，提出了一種頻率域全波形反演新方法。通過以上理論研究以及加入不同噪聲的數(shù)值模型數(shù)據(jù)試算，可以得到以下認(rèn)識：

1）在頻率域全波形反演中，基于L2范數(shù)的最小平方法反演在無噪聲的情況下能夠得到精確的地下模型結(jié)構(gòu)。但是L2范數(shù)對噪聲的敏感度較高，在噪聲存在的情況下不能得到理想的反演結(jié)果。

2）基于Huber函數(shù)準(zhǔn)則建立的目標(biāo)函數(shù)，具有L1范數(shù)的抗噪性以及L2范數(shù)的穩(wěn)定性。在噪聲存在的情況下，依然能夠得到較好的反演結(jié)果。

3）L2范數(shù)對隨機(jī)脈沖噪聲和連續(xù)噪聲敏感度較高，而對高斯噪聲的敏感度相對來說較低。因此，對加入高斯噪聲的合成記錄，基于L2范數(shù)和基于Huber函數(shù)的方法反演效果均不錯(cuò)；而對加入隨機(jī)脈沖噪聲和連續(xù)噪聲的合成記錄，基于Huber函數(shù)反演要比基于L2范數(shù)反演效果好。

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