張明財(cái),熊章強(qiáng),張大洲
(1.中國(guó)水電工程顧問(wèn)集團(tuán)公司西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,陜西西安710043;2.中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙410083)
瑞雷面波憑借其衰減小、信噪比高、抗干擾能力強(qiáng)、分辨率高以及在層狀介質(zhì)中所具有的頻散特性,在地震勘探中有著廣泛的應(yīng)用,其正演模擬也成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。Hestholm[1]通過(guò)模擬對(duì)比二維、三維空間中的瑞雷面波發(fā)現(xiàn),二維介質(zhì)難以模擬實(shí)際的面波傳播特性。董良國(guó)等[2-3]對(duì)一階彈性波方程交錯(cuò)網(wǎng)格高階差分解法進(jìn)行了研究,給出了差分方程的穩(wěn)定性條件。Igel等[4]給出了三維球坐標(biāo)系下的交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分公式,并對(duì)地震波場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。Peter等[5]利用四階有限差分交錯(cuò)網(wǎng)格對(duì)三維介質(zhì)中的瑞雷面波進(jìn)行了數(shù)值模擬,研究了鏡像法處理自由地表時(shí)瑞雷面波的精度與最小波長(zhǎng)內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的關(guān)系。熊章強(qiáng)[6]通過(guò)正演模擬,對(duì)復(fù)雜介質(zhì)下的瑞雷面波傳播特征進(jìn)行研究,利用高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分對(duì)垂直界面、斜界面、垂直低速帶等復(fù)雜模型進(jìn)行了正演模擬計(jì)算,并提取相應(yīng)的頻散曲線(xiàn)進(jìn)行了分析。周竹生等[7]利用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分對(duì)彈性介質(zhì)中的瑞雷面波進(jìn)行正演模擬研究,在人工邊界上采用了變系數(shù)吸收邊界條件,避免了角點(diǎn)繞射,在層狀介質(zhì)(軟弱夾層、連續(xù)介質(zhì))模型中取得了較好的應(yīng)用效果;裴正林[8]給出了三維各向同性介質(zhì)中一階應(yīng)力-速度彈性波方程交錯(cuò)網(wǎng)格任意偶數(shù)階精度有限差分格式,推導(dǎo)出三維各向同性彈性介質(zhì)完全匹配層吸收邊界條件公式和相應(yīng)的交錯(cuò)網(wǎng)格高階有限差分格式。
自由地表的處理是瑞雷面波數(shù)值模擬的重要部分,許多學(xué)者經(jīng)過(guò)研究提出的方法主要有如下幾種:以真空形式處理應(yīng)力的自由邊界法[9]、應(yīng)力鏡像法[10]、橫向各向同性介質(zhì)代替自由邊界法[11]和聲學(xué)-彈性介質(zhì)邊界代替自由邊界法[12]。由于聲學(xué)-彈性介質(zhì)邊界代替自由邊界法符合物理規(guī)律,易于編程實(shí)現(xiàn),應(yīng)用效果良好,我們利用該方法處理自由地表。
基于單PC機(jī)的串行算法勢(shì)必會(huì)受到當(dāng)前計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小、運(yùn)算速度慢的限制,采用并行計(jì)算技術(shù)增加數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量、減少正演模擬時(shí)間是一條非常有效的途徑。王月英[13]采用基于 MPI的并行算法對(duì)三維波動(dòng)方程進(jìn)行了有限單元正演模擬,并驗(yàn)證了該算法的可行性和有效性;Minkoff[14]研究了三維速度-應(yīng)力有限差分地震波數(shù)值模擬方法,通過(guò)數(shù)值模擬提高了運(yùn)算規(guī)模和效率;何兵壽等[15]研究了利用有限差分法并行求解該方程的基本思路與方法,極大地提高了數(shù)值求解彈性波方程的計(jì)算效率。
MPI是一種比較著名的應(yīng)用于并行環(huán)境的消息傳遞標(biāo)準(zhǔn),其目的是為基于消息傳遞的并行程序設(shè)計(jì)提供一個(gè)高效、可擴(kuò)展、統(tǒng)一的編程環(huán)境。MPI由消息傳遞庫(kù)函數(shù)具體實(shí)現(xiàn),目前應(yīng)用比較廣泛 的 有 MPICH 和 LAMMPI[16]。我 們 選 用MPICH 1.2.7版本。
在三維各向同性彈性介質(zhì)中,一階速度-應(yīng)力方程可以表述為[1]
式中:i,j,k∈{x,y,z};δij為 Kronecker記號(hào);ρ表示介質(zhì)密度;fi,vi分別表示體力和速度的i分量;σij表示應(yīng)力分量;λ,μ為拉梅常數(shù)。
在交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分計(jì)算中,為了保證在空間上具有偶數(shù)階精度,將正應(yīng)力 (σxx,σyy,σzz)和模型參數(shù) (ρ, λ,μ)置于節(jié)點(diǎn) (i,j,k),切 應(yīng) 力σxy置于節(jié)點(diǎn)(i+1/2,j+1/2,k),切應(yīng)力σxz置于節(jié)點(diǎn)(i+1/2,j,k+1/2),切應(yīng)力σyz置于節(jié)點(diǎn)(i,j+1/2,k+1/2),速度分量u,v,w 分別置于 (i+1/2,j,k),(i,j+1/2,k),(i,j,k+1/2),如圖1所示。
圖1 交錯(cuò)網(wǎng)格中速度分量和應(yīng)力分量的空間位置關(guān)系
為了使交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分在時(shí)間上具有2 M階精度,在t+Δt/2時(shí)刻計(jì)算速度分量u,v,w,而在t時(shí)刻計(jì)算應(yīng)力分量σxx,σxy,σxz,σyy,σyz和σzz。一階速度-應(yīng)力彈性波動(dòng)方程(1)可用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分求解。f(x,t)對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)?f(x,t)/?t可用中心差分表示,對(duì)于空間的導(dǎo)數(shù)?f(x,t)/?x可用向前、向后差分表示,即[2-3]
其中,Δt表示時(shí)間步長(zhǎng),Δh表示空間離散網(wǎng)格大小。(2)式即為時(shí)間域求導(dǎo)的有限差分離散格式,(3)式和(4)式為空間域求導(dǎo)的有限差分離散格式。將(2)式至(4)式代入一階速度 -應(yīng)力方程(1)中,即可求解出彈性波動(dòng)方程。
在有限差分計(jì)算中,自由邊界條件直接影響著瑞雷面波數(shù)值模擬的正確性。表1羅列了幾種處理自由地表邊界條件的方法在三維情況下的具體實(shí)施過(guò)程。我們選用聲學(xué)-彈性介質(zhì)邊界代替自由邊界法,在三維介質(zhì)中將自由邊界網(wǎng)格點(diǎn)的介質(zhì)參數(shù)按表1進(jìn)行特殊處理,自由邊界以下網(wǎng)格點(diǎn)的介質(zhì)參數(shù)不變,速度分量和應(yīng)力分量按照正常的有限差分離散格式進(jìn)行計(jì)算。
表1 自由地表處理方法
利用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分進(jìn)行瑞雷面波數(shù)值模擬的特點(diǎn)如下:①在時(shí)間域中,速度分量(n+1)/2時(shí)刻的波場(chǎng)值由其(n-1)/2時(shí)刻的波場(chǎng)值和應(yīng)力分量n時(shí)刻的波場(chǎng)值計(jì)算得到;應(yīng)力分量n+1時(shí)刻的波場(chǎng)值由其n-1時(shí)刻的波場(chǎng)值和速度分量(n-1)/2時(shí)刻的波場(chǎng)值計(jì)算得到;②在空間域中,速度和應(yīng)力分量在任意網(wǎng)格點(diǎn)處的波場(chǎng)值只由各自周?chē)邢迋€(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的波場(chǎng)值計(jì)算得到。據(jù)此可知,運(yùn)算任務(wù)具有良好的局部性和并行度,可將其分解為若干個(gè)子任務(wù),這些子任務(wù)可以并行地執(zhí)行,以期達(dá)到并行求解波動(dòng)方程的目的。
設(shè)總的模型規(guī)模為N=Nx×Ny×Nz,其中Nx,Ny,Nz分別為x,y,z方向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。將模型沿x,y,z方向分別分解為Px,Py,Pz個(gè)小區(qū)間,即可將總的模型規(guī)模分解到NP=Px×Py×Pz個(gè)子進(jìn)程中,每個(gè)子進(jìn)程中的網(wǎng)格規(guī)模為N/NP。各個(gè)子進(jìn)程均具有自己獨(dú)立的內(nèi)存空間,數(shù)據(jù)在整個(gè)計(jì)算空間中不重復(fù)占用內(nèi)存,程序并沒(méi)有因?yàn)椴⑿羞\(yùn)算而額外增加內(nèi)存開(kāi)銷(xiāo)。
圖2 相鄰進(jìn)程數(shù)據(jù)通信
在空間四階有限差分?jǐn)?shù)值模擬時(shí),每個(gè)子進(jìn)程中的模型空間均需沿x,y,z方向劃分出2個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)組成過(guò)渡層。子進(jìn)程在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算出該進(jìn)程模型空間的波場(chǎng)值(包括應(yīng)力分量和速度分量)后,必須與其相鄰的進(jìn)程間通過(guò)過(guò)渡層進(jìn)行數(shù)據(jù)通信(發(fā)送或接收)。圖2為二維情形數(shù)據(jù)通信示意圖,其中,淺灰色區(qū)域表示數(shù)據(jù)發(fā)送源地址,深灰色區(qū)域表示數(shù)據(jù)接收目的地址,數(shù)據(jù)按箭頭方向傳遞。圖2中進(jìn)程1的右部與進(jìn)程2的左部通信,進(jìn)程1的上部與進(jìn)程4的下部通信,進(jìn)程2的上部與進(jìn)程3的下部通信,進(jìn)程3的左部與進(jìn)程4的右部通信。由于進(jìn)程1的左部、下部,進(jìn)程2的右部、下部,進(jìn)程3的右部、上部及進(jìn)程4的左部、上部沒(méi)有相鄰的進(jìn)程,故不需要設(shè)置過(guò)渡層。
基于MPI的有限差分計(jì)算程序設(shè)計(jì)流程如圖3所示,具體步驟描述如下。
1)初始化MPI獲取通信器及進(jìn)程總數(shù)和進(jìn)程序號(hào)。
2)每個(gè)子進(jìn)程讀取指定模型空間的模型參數(shù),包括縱波速度vP,橫波速度vS,密度ρ,主進(jìn)程讀取檢波器坐標(biāo)、震源信息。
3)主進(jìn)程將震源信息、檢波器坐標(biāo)廣播到子進(jìn)程中,將各子進(jìn)程中的模型參數(shù)進(jìn)行歸約,判斷頻散條件和穩(wěn)定性條件。
4)時(shí)間循環(huán)開(kāi)始,各個(gè)子進(jìn)程判斷震源坐標(biāo)是否位于本進(jìn)程計(jì)算區(qū)域,如果是,則讀取震源函數(shù),將震源施加于相應(yīng)的位置。
5)各個(gè)子進(jìn)程計(jì)算波場(chǎng),并根據(jù)模型關(guān)系處理自由邊界和吸收邊界。以圖2所示的進(jìn)程為例,進(jìn)程3、進(jìn)程4的上邊界為自由邊界,進(jìn)程1、進(jìn)程4的左邊界,進(jìn)程2、進(jìn)程3的右邊界,進(jìn)程1、進(jìn)程2的下邊界為吸收邊界。
6)進(jìn)程之間通過(guò)阻塞式標(biāo)準(zhǔn)消息發(fā)送和接受函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)的交換,更新每個(gè)進(jìn)程中的波場(chǎng)信息。
7)對(duì)各個(gè)進(jìn)程中的波場(chǎng)信息進(jìn)行歸約,由主進(jìn)程輸出指定時(shí)刻的波場(chǎng)快照。
8)判斷時(shí)間循環(huán)是否結(jié)束,如果沒(méi)有結(jié)束,則轉(zhuǎn)至步驟4)再次循環(huán);如果結(jié)束,則調(diào)用 MPI函數(shù)MPI_Finalize退出MPI,結(jié)束程序。
設(shè)計(jì)一模型,大小為100m×100m×100m,網(wǎng)格大小dx=dy=dz=1m,總的網(wǎng)格數(shù)為N=1×106個(gè),采樣間隔為0.4ms,總采樣時(shí)間長(zhǎng)度為0.1s。其三維速度-應(yīng)力有限差分?jǐn)?shù)值模擬過(guò)程中共需存儲(chǔ)9個(gè)三維數(shù)組(3個(gè)速度分量和6個(gè)應(yīng)力分量),在單機(jī)運(yùn)行時(shí),需消耗9×N×8字節(jié)的內(nèi)存,若將2臺(tái)PC機(jī)組成一個(gè)PC集群,則每臺(tái)PC機(jī)僅需消耗9×N×4字節(jié)的內(nèi)存。在雙核PC機(jī)上分別開(kāi)設(shè)1,2,4,8個(gè)進(jìn)程對(duì)上述模型進(jìn)行有限差分?jǐn)?shù)值模擬,統(tǒng)計(jì)出不同進(jìn)程數(shù)時(shí)的串行部分計(jì)算時(shí)間WS,并行部分計(jì)算時(shí)間 WP,采用Amdnhl加速性能定律來(lái)求取加速比S:
圖3 基于MPI的有限差分計(jì)算程序流程
式中:P為總進(jìn)程數(shù)。表2給出了不同進(jìn)程數(shù)的串行、并行CPU時(shí)間及加速比,其中進(jìn)程數(shù)為1表示只進(jìn)行串行計(jì)算。由表2可知:
1)隨著進(jìn)程數(shù)P的增加,每個(gè)進(jìn)程的網(wǎng)格規(guī)模會(huì)減小,為待模擬網(wǎng)格規(guī)模的1/P。
2)進(jìn)行并行計(jì)算(即進(jìn)程數(shù)大于1時(shí))后,串行計(jì)算的時(shí)間略有增加,并行計(jì)算的時(shí)間略有減少,但總的運(yùn)行時(shí)間約為只進(jìn)行串行計(jì)算時(shí)的1/2,這是因?yàn)橛?jì)算所用的PC機(jī)只具備2個(gè)運(yùn)算核心,當(dāng)進(jìn)程數(shù)大于2時(shí),每個(gè)核心運(yùn)行多個(gè)進(jìn)程,單核中的兩個(gè)進(jìn)程之間增加的通信任務(wù)會(huì)消耗CPU時(shí)間。
3)加速比S隨著進(jìn)程數(shù)P的增加而增加,但與進(jìn)程數(shù)增加速度的差距越來(lái)越大,這是因?yàn)棰龠M(jìn)程數(shù)越多,勢(shì)必會(huì)增大各進(jìn)程之間的通信時(shí)間;②并行并非嚴(yán)格執(zhí)行,某些進(jìn)程中會(huì)執(zhí)行一些必要的輸入輸出,此時(shí)其余的進(jìn)程可能處于等待狀態(tài)。
表2 不同進(jìn)程數(shù)并行計(jì)算加速效率比較
均勻各向同性彈性半空間介質(zhì)是一種理想的模型,也是最早證明瑞雷面波存在的假設(shè),它為研究瑞雷面波的某些傳播特性提供了簡(jiǎn)單方便的方法。為了驗(yàn)證本文有限差分并行計(jì)算程序的正確性,設(shè)計(jì)均勻各向同性介質(zhì)模型,大小為400m×400m×400m,網(wǎng)格間隔dx=dy=dz=1m,縱波速度vP=1 000m/s,橫波速度vS=577m/s,密度ρ=2 100kg/m3;震源為25Hz的高斯一階導(dǎo)數(shù)函數(shù),位于坐標(biāo)(200m,200m,0)處,采樣間隔為0.4ms,總采樣時(shí)間長(zhǎng)度為400ms,延時(shí)40ms。在高性能計(jì)算機(jī)上申請(qǐng)4個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)上申請(qǐng)8個(gè)CPU,共計(jì)32個(gè)CPU,每個(gè)CPU開(kāi)設(shè)1個(gè)計(jì)算進(jìn)程,1個(gè)進(jìn)程中的網(wǎng)格規(guī)模為100×104個(gè)。
圖4為距震源50m(150m,200m,0)和100m(100m,200m,0)處接收的地震信號(hào)與解析解對(duì)比的結(jié)果,解析解由Lamb問(wèn)題解析法得到,其中的Green函數(shù)計(jì)算部分由Cagniard-de Hoop法解析得到。圖4a和圖4b分別表示距震源50m(150m,200m,0)處的水平和垂直方向速度分量,圖4c和圖4d分別表示距震源100m(100m,200m,0)處的水平和垂直方向速度分量,兩處速度分量都與解析解吻合很好,說(shuō)明本文有限差分并行計(jì)算程序是正確的,用聲學(xué)-彈性介質(zhì)近似自由地表是行之有效的。
圖4 數(shù)值解與解析解對(duì)比
圖5為60,160,260ms時(shí)vx,vy,vz分量的波場(chǎng)快照,以震源為頂點(diǎn)對(duì)模型區(qū)域做切割(即x=200m,y=200m,z=0)處理。分析波場(chǎng)快照可知:瑞雷面波沿自由地表(z=0)傳播,其能量強(qiáng)于體波,且衰減很慢,特別是從vz分量的波場(chǎng)快照可以發(fā)現(xiàn),沿深度方向,瑞雷面波的能量大多集中于25m以?xún)?nèi),即一個(gè)波長(zhǎng)之內(nèi),深度方向超過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)后,P波逐漸變得清晰,說(shuō)明瑞雷面波的穿透深度為一個(gè)波長(zhǎng)。
為了更加清晰地分析波場(chǎng)快照,選取y=200m所在平面內(nèi)的vz分量260ms時(shí)波場(chǎng)快照,如圖6所示,震源位于(x=200m,z=0)處。在波場(chǎng)快照中可以很清楚地看到能量很強(qiáng)的瑞雷面波、橫波和縱波。此外還可以看出,在吸收邊界處沒(méi)有產(chǎn)生強(qiáng)烈的反射波,說(shuō)明程序中使用的吸收邊界條件是有效的,達(dá)到了預(yù)期的目的。
圖7為各分量的波場(chǎng)記錄。由圖7不難發(fā)現(xiàn):各分量波場(chǎng)記錄中面波的能量強(qiáng)于直達(dá)P波,瑞雷面波的同相軸都為直線(xiàn),說(shuō)明瑞雷面波在均勻各向同性介質(zhì)中沒(méi)有發(fā)生頻散現(xiàn)象,這與地震勘探理論一致,也進(jìn)一步證明了本文有限差分計(jì)算程序的正確性。
應(yīng)用相移法提取vx分量的頻散曲線(xiàn),結(jié)果如圖8所示。由圖8可以直觀地看出均勻介質(zhì)中瑞雷面波的頻散曲線(xiàn)為一條直線(xiàn),說(shuō)明在均勻介質(zhì)中瑞雷面波不會(huì)發(fā)生頻散。
通常情況下地層速度隨著深度的增大而增大,故設(shè)計(jì)一個(gè)3層速度遞增模型,如表3所示。數(shù)值模擬過(guò)程中采用25Hz的高斯一階導(dǎo)數(shù)作為激發(fā)震源,模型大小為200m×200m×100m,網(wǎng)格間距取dx=dy=dz=0.5m,模型網(wǎng)格為400個(gè)×400個(gè)×200個(gè),開(kāi)辟32個(gè)進(jìn)程進(jìn)行并行計(jì)算。
表3 速度遞增模型參數(shù)
圖9為水平層狀速度遞增模型vx,vy,vz分量的波場(chǎng)快照。由圖9可以看出,由于各層介質(zhì)的參數(shù)不同,波場(chǎng)快照中出現(xiàn)了很明顯的頻散,大部分能量聚集在模型表面附近。由于分層界面的存在,震源激發(fā)的SV波在界面處發(fā)生反射,此反射波以大于臨界角的角度入射到自由地表會(huì)轉(zhuǎn)換為P波,該P(yáng)波為非均勻平面波;震源激發(fā)的P波以球面波的形式在介質(zhì)中傳播,該球面波可由Sommerfeld積分公式分解為很多非均勻平面波[17],其中的非均勻SV波和由反射形成的非均勻P波疊合形成頻散的瑞雷面波。隨著時(shí)間的推移,在各界面處發(fā)生多次反射,形成復(fù)雜的非均勻P波和SV波,這些波相互疊合形成多種模態(tài)的瑞雷面波,其幅度隨著深度的增加呈指數(shù)遞減。
圖10a為x=100m平面上記錄到的vz分量單炮波形記錄。為了進(jìn)一步分析頻散現(xiàn)象,利用相移法提取vz分量波形記錄頻散曲線(xiàn),如圖10b所示。圖10b中白色方塊為采用快速標(biāo)量傳遞矩陣法[18]得到的解析解,可見(jiàn)基階模式和高階模式的頻散曲線(xiàn)都吻合得比較好。這進(jìn)一步說(shuō)明了瑞雷面波模擬方法的正確性。
圖10 單炮波形記錄及其頻散曲線(xiàn)
彈性波有限差分?jǐn)?shù)值模擬具有良好的并行特征,基于MPI的并行計(jì)算通過(guò)將待模擬區(qū)域劃分為若干個(gè)子進(jìn)程中的子區(qū)域,每個(gè)子進(jìn)程相互通信完成消息傳遞,有效地增加了三維彈性波數(shù)值模擬的網(wǎng)格規(guī)模,提高了計(jì)算效率,為進(jìn)一步研究三維空間中瑞雷面波的傳播特性奠定了基礎(chǔ)。
致謝:感謝中南大學(xué)高性能計(jì)算中心提供計(jì)算平臺(tái)。
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