黃 麗，方光宇，宋云飛，辛 麗，趙海發(fā)

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 物理系，黑龍江 哈爾濱150001）

1 引 言

邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的教學(xué)題目［1］.在該實(shí)驗(yàn)的教學(xué)過程中，學(xué)生不但可以對(duì)非定域干涉有進(jìn)一步的理解和掌握，而且可以對(duì)等厚和等傾干涉現(xiàn)象分別進(jìn)行觀測(cè)研究.通過對(duì)非定域干涉條紋移動(dòng)情況（“縮進(jìn)”或者“冒出”）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，可以對(duì)激光波長(zhǎng)、介質(zhì)折射率等物理參量進(jìn)行精確標(biāo)定［2-6］.在目前的邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，普遍采用玻璃屏接收干涉條紋，通過目測(cè)干涉條紋中心光斑亮度的變化情況來測(cè)量干涉條紋的變化數(shù)目.當(dāng)干涉圓環(huán)中心由1個(gè)亮斑剛好變化到下1個(gè)光強(qiáng)相同的亮斑，即認(rèn)為邁克耳孫干涉條紋剛好變化了1個(gè)級(jí)次.學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中，經(jīng)常會(huì)因?yàn)槿狈?shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)或者視覺疲勞而出現(xiàn)計(jì)數(shù)錯(cuò)誤，給實(shí)驗(yàn)測(cè)量帶來誤差.為此，實(shí)驗(yàn)教學(xué)中往往需要學(xué)生進(jìn)行大量（對(duì)幾十級(jí)至幾百級(jí)干涉條紋的變化級(jí)次進(jìn)行計(jì)數(shù)）重復(fù)性的測(cè)量.大量的重復(fù)性測(cè)量降低了學(xué)生們對(duì)“精準(zhǔn)的”邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.

近年來，人們一直在試圖利用光電傳感器和模-數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換、采集及濾波技術(shù)來精確記錄邁克耳孫干涉條紋的快速變化過程［7-10］.本文提出了可以精確測(cè)量邁克耳孫干涉條紋變化數(shù)目的實(shí)驗(yàn)方法，即采用與示波器連接的快速響應(yīng)光電二極管來測(cè)量并記錄邁克耳孫干涉條紋的快速變化過程.利用這種方法，測(cè)量研究空氣折射率，結(jié)果表明這種方法可以使得干涉條紋變化數(shù)目的實(shí)驗(yàn)測(cè)量精度達(dá)到0.1級(jí)條紋.實(shí)踐證明，這種方法不但可以很好地消除邁克耳孫干涉條紋人工計(jì)數(shù)中存在的誤差，而且普遍適用于目前的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課堂教學(xué).

2 實(shí)驗(yàn)裝置及原理

圖1 邁克耳孫干涉法測(cè)量空氣折射率的實(shí)驗(yàn)裝置及光路示意圖

如圖1所示，實(shí)驗(yàn)采用雙光束分振幅邁克耳孫干涉光路.He-Ne激光器的輸出光經(jīng)過短焦透鏡L1（焦距為5cm）和長(zhǎng)焦透鏡L2（焦距為175cm）擴(kuò)束后，被分光板S的后表面分為透射光和反射光2部分.在透射光路中，放置用于補(bǔ)償光程的補(bǔ)償板C；在反射光路中，放置一長(zhǎng)度為8cm的空氣室.空氣室中空氣的壓強(qiáng)在大氣壓的基礎(chǔ)上可以從0連續(xù)增加到4.0×104Pa，具體的壓強(qiáng)差值可以從空氣室連接的壓強(qiáng)表頭讀出.反射光和透射光分別經(jīng)平面反射鏡R1和R2反射后，再經(jīng)分光板S合并.精調(diào)光路，使得2束光在空間上重合，并得到清晰且適合于實(shí)驗(yàn)測(cè)量的干涉圓環(huán)，然后將光電二極管（型號(hào)：PDA36AEC；生產(chǎn)公司：Thorlab，USA）放置在干涉圓環(huán)的中心，并用同軸電纜將光電二極管連接到可存儲(chǔ)數(shù)字示波器.

實(shí)驗(yàn)過程中，首先將空氣室中空氣的壓強(qiáng)增加Δp（取值范圍為1.3×104～4.0×104Pa），然后將放氣針孔稍微打開，讓空氣室內(nèi)壓強(qiáng)緩慢降低至大氣壓.在此過程中，干涉圓環(huán)隨著空氣室內(nèi)壓強(qiáng)的下降而逐漸向內(nèi)“縮進(jìn)”或者向外“涌出”直至穩(wěn)定不變.相應(yīng)地，干涉圓環(huán)中心位置處的光電二極管感應(yīng)該位置光強(qiáng)的變化，示波器實(shí)時(shí)地記錄并顯示光電二極管轉(zhuǎn)換輸出電壓大小隨時(shí)間變化的曲線.由此，測(cè)量得到干涉條紋總的變化數(shù)目m，則Δp所引起的空氣折射率改變量Δn可以寫作［11］：

進(jìn)而，在壓強(qiáng)Δp不太大的情況下，常溫常壓狀態(tài)下空氣的折射率為［9］：

在（1）～（2）式中，l為空氣室長(zhǎng)度，λ為 He-Ne激光器輸出激光波長(zhǎng)，pamb為大氣壓.

3 實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果和分析

空氣壓強(qiáng) Δp 分別從1.9×104，2.5×104，3.2×104，3.9×104Pa緩慢恢復(fù)至大氣壓狀態(tài)的過程中，實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的干涉條紋中心位置處光強(qiáng)隨時(shí)間的變化過程如圖2所示，圖2中縱軸代表干涉圓環(huán)中心處光電二極管轉(zhuǎn)換輸出的電壓.從圖2可以看出，干涉條紋數(shù)目的變化量隨著空氣壓強(qiáng)的減小而減少；對(duì)于某一空氣壓強(qiáng)Δp，干涉條紋數(shù)目變化速度隨著壓強(qiáng)降低而逐漸降低，且干涉條紋中心光強(qiáng)相應(yīng)轉(zhuǎn)換電壓的變化規(guī)律可以用三角函數(shù)表示：

其中，ˉU為輸出電壓平均值，則輸出電壓最大值、最小值可分別寫作Umax＝ˉU＋UA，Umin＝ˉU-UA；ΔL為光程差的改變量，對(duì)應(yīng)的條紋變化數(shù)目記作m，則ΔL＝mλ；φ0為初始相位.目測(cè)干涉條紋變化數(shù)目時(shí)，通常將干涉條紋中心調(diào)節(jié)成“亮斑”（初始相位為零）.本實(shí)驗(yàn)中，同樣也將目測(cè)的“中心亮斑”作為初始狀態(tài).從圖2可以看出，目測(cè)“亮斑”對(duì)應(yīng)光強(qiáng)的轉(zhuǎn)換輸出電壓并不一定是輸出電壓的最大值.可見，用目測(cè)光斑亮度變化來進(jìn)行干涉條紋計(jì)數(shù)確實(shí)存在一定的誤差.

圖2 空氣從不同壓強(qiáng)Δp恢復(fù)到大氣壓狀態(tài)過程中，干涉條紋中心光強(qiáng)變化曲線

以圖2（d）所示的邁克耳孫干涉條紋中心光強(qiáng)變化曲線為例，利用（3）式計(jì)算得到干涉條紋變化的總數(shù)目m：

其中，m0為初始時(shí)刻輸出電壓U0與相鄰輸出電壓平均值A(chǔ)點(diǎn)之間的干涉條紋變化數(shù)目；mAB為輸出電壓平均值A(chǔ)點(diǎn)和B點(diǎn)之間的干涉條紋變化數(shù)目，其值為正整數(shù)或者半正整數(shù)；mt為終止時(shí)刻（氣壓平衡狀態(tài)）輸出電壓Ut與相鄰輸出電壓平均值B點(diǎn)之間的干涉條紋變化數(shù)目.m0和mt可以分別利用下面2個(gè)公式計(jì)算得到：

將實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的m及相應(yīng)的空氣壓強(qiáng)值Δp分別代入式（2），可以計(jì)算得出空氣折射率.其中，He-Ne激光輸出波長(zhǎng)λ取值632.8nm，大氣壓pamb取值1.013×105Pa，空氣室長(zhǎng)度l取值8.00×10-2m.表1列出了在不同空氣壓強(qiáng)情況下，本文方法和目測(cè)方法分別測(cè)量得到的干涉條紋變化總數(shù)m，m′及計(jì)算得到的空氣折射率n，n′.常溫常壓狀態(tài)下，對(duì)于可見光波長(zhǎng)范圍的光，由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的空氣折射率的標(biāo)準(zhǔn)值為n0≈1.000 27［12］.

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的空氣壓強(qiáng)、干涉條紋變化總數(shù)及空氣折射率

在空氣折射率的計(jì)算公式（2）中，如果把激光波長(zhǎng)λ、大氣壓pamb和空氣室長(zhǎng)度l均看作常量，那么空氣折射率的測(cè)量誤差就來源于干涉條紋變化總數(shù)m和空氣壓強(qiáng)Δp的測(cè)量.從表1中列出的數(shù)據(jù)可以看出，本文根據(jù)光強(qiáng)變化曲線確定相位變化情況，進(jìn)而測(cè)量得到干涉條紋變化總數(shù)的方法可以使條紋計(jì)數(shù)精度達(dá)到0.1級(jí)條紋.根據(jù)式（1），對(duì)于某一確定的空氣壓強(qiáng)（如 Δp＝2.5×104Pa），由此引起的測(cè)量誤差可以表示為：

由于初始時(shí)刻與終止時(shí)刻干涉條紋中心處所對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)變化在目測(cè)情況下是難以分辨的，所以目測(cè)干涉條紋變化總數(shù)的精度通常為0.5級(jí)條紋.為了便于比較，仍以Δp＝2.5×104Pa為例，相應(yīng)的測(cè)量誤差則為

從（7）式的計(jì)算結(jié)果可以看出，同傳統(tǒng)的目測(cè)方法相比，本文提出的測(cè)量方法可以將干涉條紋變化總數(shù)的測(cè)量精度提高1個(gè)數(shù)量級(jí).需要指出的是，本實(shí)驗(yàn)研究中空氣壓強(qiáng)Δp采用普通的指針式氣壓計(jì)測(cè)量得到，其最小分度值為5.3×102Pa，相應(yīng)的儀器誤差Δ儀＝3.1×102Pa.此外，放氣過程中空氣室兩端玻璃片的微小形變會(huì)造成空氣室長(zhǎng)度l的變化，也會(huì)給研究結(jié)果帶來一定的誤差.

4 結(jié)束語

本文采用與數(shù)字存儲(chǔ)示波器相連接的快速響應(yīng)光電二極管作為探測(cè)器，測(cè)量邁克耳孫干涉圓環(huán)中心條紋變化數(shù)目.根據(jù)示波器記錄的光電二極管轉(zhuǎn)換電壓隨時(shí)間變化曲線，可以得到相位變化情況并精確測(cè)量得到空氣壓強(qiáng)變化過程所造成的干涉條紋數(shù)目變化量，進(jìn)而精確確定空氣的折射率.本測(cè)量方法所需主要實(shí)驗(yàn)儀器均為實(shí)驗(yàn)室通用儀器設(shè)備，因而普遍適用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)際教學(xué).更為重要的是，這種方法將學(xué)生從“繁瑣”且“粗糙”的目測(cè)干涉條紋變化數(shù)目中解放出來，有助于學(xué)生對(duì)邁克耳孫干涉物理思想和精密測(cè)量方法的研究性學(xué)習(xí)，從而更好地激發(fā)學(xué)生對(duì)物理實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí).

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