田 瑋，鐘子發(fā)，張 玉

（1.解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037；2.安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230037）

0 引言

接收機(jī)在高速移動(dòng)環(huán)境下，信道的快速時(shí)變會(huì)引起OFDM系統(tǒng)載波間干擾，給準(zhǔn)確的信道估計(jì)帶來(lái)挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的方法是通過(guò)統(tǒng)計(jì)的多普勒頻譜來(lái)描述信道抽頭響應(yīng)［1］，但信道的快時(shí)變會(huì)導(dǎo)致信道待估計(jì)參數(shù)的增加，傳統(tǒng)信道估計(jì)方法無(wú)法求解，因此如何減少待估計(jì)參數(shù)，并準(zhǔn)確估計(jì)出快時(shí)變信道狀態(tài)信息成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

為減少信道的待估計(jì)參數(shù)，文獻(xiàn)［2］首先提出利用基擴(kuò)展模型來(lái)擬合信道的快速時(shí)變特性，即利用實(shí)際信道的多普勒頻率擴(kuò)展具有有限帶寬的性質(zhì)，把一個(gè)塊內(nèi)的時(shí)變多徑信道用數(shù)量很少的塊內(nèi)時(shí)不變的參數(shù)來(lái)表示。此外，由于信道快速時(shí)變破壞了子載波間的正交性，頻域信道矩陣不再是一個(gè)對(duì)角陣，信道估計(jì)在受到噪聲影響的同時(shí)還受到了來(lái)自其他數(shù)據(jù)子載波的干擾，這些為信道估計(jì)帶來(lái)了新的難題。文獻(xiàn)［3］針對(duì)信道的時(shí)變BEM模型，給出了時(shí)頻雙選信道的估計(jì)方法以及優(yōu)化訓(xùn)練序列，但所用估計(jì)算法性能受吉布斯效應(yīng)影響較大，隨著多普勒頻移的增大，性能逐漸惡化。文獻(xiàn)［4—5］在采用基擴(kuò)展模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于統(tǒng)計(jì)信道信息的LMMSE估計(jì)方法，吉布斯效應(yīng)得到明顯的遏制，但該方法需要信道的統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)信息，這在快時(shí)變信道環(huán)境下往往難以獲取。為更好的適應(yīng)快時(shí)變信道環(huán)境，本文在不需要先驗(yàn)信道信息的前提下，提出基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴(kuò)展模型信道估計(jì)方法。

1 快時(shí)變信道系統(tǒng)模型及現(xiàn)有估計(jì)方法

在慢衰落信道下，由于多普勒頻移較小，信道狀態(tài)在一個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi)往往是不變的，與慢衰落信道不同，快時(shí)變信道往往需要考慮的多普勒頻移較大，這會(huì)導(dǎo)致載波間干擾等一系列問(wèn)題，符號(hào)內(nèi)的信道參數(shù)也較慢衰落信道大大增加。針對(duì)快時(shí)變信道的特點(diǎn)，本節(jié)主要給出時(shí)變狀態(tài)下的系統(tǒng)模型和基于基擴(kuò)展模型的時(shí)變信道展開模型，此外還對(duì)當(dāng)前經(jīng)典的快時(shí)變信道估計(jì)算法進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹。

1.1 時(shí)變信道的OFDM系統(tǒng)模型

如圖一所示，對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)子載波的OFDM系統(tǒng)，第k個(gè)OFDM符號(hào)s（k）經(jīng)過(guò)傅里葉逆變換成時(shí)域矢量，為消除OFDM符號(hào)干擾（ISI），每個(gè)符號(hào)發(fā)送到信道之前添加長(zhǎng)度為L(zhǎng)cp的循環(huán)前綴（CP）作為保護(hù)，在接收端去CP后將信號(hào)通過(guò)一個(gè)時(shí)域窗口Γ＝ ［Γ0，…，ΓN－1］T的整形以減少多普勒效應(yīng)的影響，得到接收符號(hào)為y（t）（k），再經(jīng)過(guò)FFT解調(diào)恢復(fù)得到頻域接收符號(hào)y（k）。其中N點(diǎn)離散傅里葉變換矩陣可以表示 為 ［F］m，n＝1／exp（－j2πmn／N）。

圖1 時(shí)變信道下的OFDM模型Fig.1 The time－varying channel model

由圖1可以得出頻域接收向量為：

其中

當(dāng)信道為慢衰落是，信道狀態(tài)在一個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi)不發(fā)生變化，H（t）（k）是一個(gè)循環(huán)的 Toeplitz矩陣；但在快變信道情形下，隨著多普勒頻移的增大，H（t）（k）不再是一個(gè)循環(huán)的 Toeplitz矩陣，因此對(duì)應(yīng)頻域信道響應(yīng)H（k）也不再是一個(gè)對(duì)角矩陣，意味著子載波間存在ICI，H（k）存在（L＋1）N非零的參數(shù)需要估計(jì)，即使符號(hào)s（k）是已知的，也無(wú)法求解?；鶖U(kuò)展模型用相互正交的基函數(shù)逼近信道，使單個(gè)可分徑待估計(jì)量從符號(hào)長(zhǎng)度減小到基函數(shù)的個(gè)數(shù)，從而達(dá)到減少待估計(jì)參數(shù)的效果。因此需要通過(guò)BEM模型將信道估計(jì)參數(shù)減小到小于N。

1.2 基于基擴(kuò)展模型的時(shí)變信道模型

若將第l個(gè)信道抽頭在第k個(gè)OFDM符號(hào)中的變化寫成一個(gè)N×1維向量（k）＝，…，h］T，用 BEM 形式可以表示為（k）＝Bcl（k）＋εl（k），其中B表示BEM 矩陣，cl（k）為BEM 系數(shù)，εl（k）為建模誤差。把第k個(gè)OFDM符號(hào)中的抽頭對(duì)疊成一個(gè)向量，可以得到

通過(guò)最小化MSE，可以得到BEM系數(shù)：

常用的BEM模型有Karhuen－Loéve基擴(kuò)展模型［5］（KL－BEM）、多項(xiàng)式基擴(kuò)展模型［7］（Polynomial－BEM，P－BEM）、復(fù)指數(shù)基擴(kuò)展模型［8］（Complex exponential BEM，CE－BEM）及 其 改 進(jìn) 模 型［9］。KL－BEM實(shí)質(zhì)上是多普勒功率譜的降秩分解，在基于 最 小 均 方 誤 差 （Minimum mean square error，MSE）的意義上是最優(yōu)的，但該方法依賴于信道的統(tǒng)計(jì)特性；P－BEM模型采用多項(xiàng)式插值逼近的方法，但該方法不是基于多普勒頻移展開的，性能波動(dòng)比較大；CE－BEM模型構(gòu)造簡(jiǎn)單，但該方法存在嚴(yán)重的吉布斯（Gibbs）效應(yīng)，近似誤差較大。

通過(guò)分析各種BEM模型的優(yōu)缺點(diǎn)，本文采用過(guò)采樣 CE－BEM 模型［5］，基函數(shù) 可以表 示bq＝ej2πn（q－Q／2）／N／2，過(guò) 采 樣 CE－BEM 模 型 作 為 改 進(jìn) CE－BEM模型的一種，它在CE－BEM模型的基礎(chǔ)上通過(guò)提高采樣精度，能夠明顯降低CE－BEM模型的展開誤差。該模型構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，且對(duì)多普勒頻移不敏感，對(duì)快時(shí)變信道環(huán)境有很強(qiáng)的適應(yīng)性。由于討論算法僅基于一個(gè)OFDM符號(hào)，可以省略符號(hào)下標(biāo)k，把（2）代入（1）式可得到：

1.3 現(xiàn)有快時(shí)變信道估計(jì)方法

目前針對(duì)快時(shí)變信道的估計(jì)方法主要有LS算法和LMMSE算法。LS算法由于其計(jì)算簡(jiǎn)單，且不需要任何信道狀態(tài)和噪聲的統(tǒng)計(jì)信息，在實(shí)際中應(yīng)用最為廣泛。然而本文中對(duì)于快速時(shí)變信道，由于ICI的存在，接收導(dǎo)頻信號(hào)不僅僅受到系統(tǒng)噪聲的影響，還受到其他非導(dǎo)頻子載波的干擾。隨著干擾的增大LS方法性能逐漸惡化，出現(xiàn)了明顯的吉布斯效應(yīng)。針對(duì)LS算法的不足，如何提高信道估計(jì)的精度，降低誤差平底成為我們要解決的關(guān)鍵問(wèn)題，因此一種適用于時(shí)變信道環(huán)境的LMMSE算法被提出［10］。

兩種算法具體描述如下：令Θ為一個(gè)線性濾波器，待估計(jì)的BEM系數(shù)為，滿足＝Θy（ρ），通過(guò)最小化BEM系數(shù)c的方法，針對(duì)公式（4）得出的數(shù)據(jù)模型，可得出LS估計(jì)的表達(dá)式為：

LMMSE估計(jì)的表達(dá)式如下：

LMMSE方法對(duì)比LS算法能夠有效提高信道估計(jì)的性能。但該方法是基于統(tǒng)計(jì)和先驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上，并假設(shè)信道參數(shù)與噪聲和數(shù)據(jù)符合互不相關(guān)，在實(shí)際中這些都是很難成立的，尤其在信道嚴(yán)重惡化的快速時(shí)變信道環(huán)境下，子載波間的正交性遭到破壞，信道抽頭與噪聲和數(shù)據(jù)符號(hào)不相關(guān)難以保持，這導(dǎo)致該算法在實(shí)際應(yīng)用中受到一定的限制。

2 基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴(kuò)展模型信道估計(jì)算法

2.1 改進(jìn)算法的導(dǎo)頻數(shù)據(jù)模型

快速時(shí)變信道往往采用導(dǎo)頻輔助的方法，到目前為止，如何設(shè)置快時(shí)變信道環(huán)境下的最優(yōu)導(dǎo)頻仍然是未知的，為了跟蹤信道各徑在一個(gè)符號(hào)間隔內(nèi)的變化，本文采用文獻(xiàn)［10］給出的導(dǎo)頻簇的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)方法，假設(shè)系統(tǒng)有M個(gè)導(dǎo)頻簇，每一組的長(zhǎng)度為dρ，記作，m＝0，1，…，M－1，如圖2所示，對(duì)于第m個(gè)導(dǎo)頻簇，數(shù)據(jù)符合也可以組成一個(gè)符號(hào)向量。此外，由于ICI的影響，導(dǎo)頻能量擴(kuò)展到整個(gè)頻帶上，接收端需要決定利用哪部分來(lái)估計(jì)信道，觀測(cè)數(shù)據(jù)的選取將有利于提高信道的估計(jì)性能。

圖2 OFDM導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)Fig.2 OFDM pilot structure

由于信道的時(shí)變性，信道響應(yīng)矩陣近似帶狀結(jié)構(gòu)，假設(shè)Aq是嚴(yán)格帶限的，即僅在2R＋1個(gè)對(duì)角線上非零，根據(jù)這一特征，可以得到由導(dǎo)頻向量s（ρ）確定的 最 大 接 收 數(shù) 據(jù) 向 量 為 y（ρ）m ＝［［y］ρm＋R，…，［y］ρm＋dρ－R－1］T。由上一 節(jié) 中 式 （4）可以得出：

實(shí)際中由于Aq不是嚴(yán)格帶限的［11］，因此ξd項(xiàng)通常不為0，這給信道估計(jì)帶來(lái)了新的困難，把變量h代入上式，可以得到：

其中，

2.2 改進(jìn)的迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)算法

針對(duì)LS算法和LMMSE算法的不足，本文提出了一種基于基擴(kuò)展模型的迭代加權(quán)的最小二乘方法（簡(jiǎn)稱IWLS算法），該算法將信道矩陣h看作一個(gè)確定性的變量，將ICI干擾和噪聲看作一個(gè)干擾量ξ，然后通過(guò)該干擾量的協(xié)方差Rξ對(duì)LS估值濾波器進(jìn)行加權(quán)，最后通過(guò)迭代獲得較為精確的估計(jì)值。具體步驟如下：

1）計(jì)算干擾量的協(xié)方差。

這里將信道矩陣h視為一個(gè)確定性的變量，并將式（11）中的噪聲干擾量ξn和數(shù)據(jù)干擾量ξd相加作為一個(gè)統(tǒng)一的干擾量ξ，然后通過(guò)協(xié)方差定義計(jì)算干擾量的協(xié)方差Rξ。由于噪聲干擾量ξn和數(shù)據(jù)干擾量ξd相互獨(dú)立，互協(xié)方差為0，干擾協(xié)方差Rξ可以通過(guò)分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的自協(xié)方差得到。

2）對(duì)LS估值濾波器加權(quán)。

將（9）中的接收數(shù)據(jù)模型代入式（5）中求出LS的估值濾波，并將之前得出的干擾量協(xié)方差Rξ求出后對(duì)其進(jìn)行加權(quán)。由此可以得出本文IWLS算法估計(jì)值濾波器的遞歸表達(dá)式：

其中κ表示迭代次數(shù)。

3）迭代過(guò)程初始化。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的信道估計(jì)方法的有效性和實(shí)用性，在OFDM系統(tǒng)環(huán)境下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。設(shè)置OFDM系統(tǒng)的仿真參數(shù)如下：子載波個(gè)數(shù)N＝256，循環(huán)前綴CP＝16，導(dǎo)頻數(shù)目占整個(gè)子載波數(shù)目的1／4，如圖2所示，采用插入均勻?qū)ьl簇的方式，每組導(dǎo)頻數(shù)目為dρ＝8，BEM模型基函數(shù)個(gè)數(shù)Q＝4，時(shí)變信道多徑數(shù)目L＝5，信道的抽頭系數(shù)為滿足Jakes多普勒頻譜、延時(shí)功率服從指數(shù)分布的復(fù)高斯隨機(jī)過(guò)程。采用歸一化的多普勒頻移fD來(lái)描述時(shí)變信道的多普勒擴(kuò)展。仿真結(jié)果為500次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)得到的信道估計(jì)MSE，定義如下：

在采用本文仿真參數(shù)的前提下，圖3給出了幾種常見的BEM模型的誤差性能比較，為評(píng)價(jià)模型參數(shù)與實(shí)際信道參數(shù)不匹配造成的影響，實(shí)驗(yàn)在歸一化多普勒頻移fD從0變化到0.5的條件下，得到幾種模型的 MSE，P－BEM和KL－BEM模型誤差性能總體上雖然較優(yōu)，但其受多普勒頻移的影響較為嚴(yán)重，且構(gòu)造不如CE－BEM簡(jiǎn)單；CE－BEM其誤差較高，實(shí)際應(yīng)用中難以滿足估計(jì)性能的要求。綜合分析幾種模型的優(yōu)缺點(diǎn)，本文采用的過(guò)采樣CEBEM模型可以獲得遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于CE－BEM模型的誤差性能，且構(gòu)造較為簡(jiǎn)單，受多普勒頻移的影響較小，能夠很好地?cái)M合高速移動(dòng)信道環(huán)境下的快時(shí)變特性。

圖3 BEM模型誤差性能比較Fig.3 BEM model error performance comparison

圖4、圖5分別給出了歸一化多普勒頻移fD為0.2和0.5條件下，本文所提的IWLS算法、LS算法與LMMSE算法的MSE性能隨信噪比變化的比較曲線。對(duì)比可以看出，LS算法始終存在較高的誤差平底，尤其在高信噪比的條件下，性能明顯劣與其他兩種方法。當(dāng)多普勒頻移較小時(shí)，LMMSE算法優(yōu)于另外兩種算法，但I(xiàn)WLS算法由于克服了LS算法較高誤差平底的缺陷，性能上已接近LMMSE算法；當(dāng)多普勒頻移較大時(shí)，LMMSE算法受影響較大，性能出現(xiàn)惡化，而IWLS算法依然保持較為理想的估計(jì)性能，明顯降低了LS算法的誤差平底。因此，在快時(shí)變信道下，IWLS算法具有更強(qiáng)的魯棒性。

圖4 歸一化多普勒頻移fD＝0.2時(shí)MSEFig.4 MSE when normalized Doppler shift fD＝0.2

圖5 歸一化多普勒頻移fD＝0.5時(shí)MSEFig.5 MSE when normalized Doppler shift fD＝0.5

圖6、圖7分別給出在SNR為10dB和40dB時(shí)，歸一化多普勒頻移fD在0到1之間變化時(shí)，三種算法MSE性能比較。對(duì)比可以看出：隨著多普勒頻移的增大，三種算法性能都受到不同程度的影響，LS在多普勒頻移較大時(shí)，存在較高的誤差平底；由于LMMSE依賴于信道統(tǒng)計(jì)狀態(tài)信息，可以看出其性能受多普勒頻移影響最為嚴(yán)重；IWLS算法不依賴于統(tǒng)計(jì)信道信息，對(duì)比可以看出，其MSE性能受多普勒頻移影響最小，當(dāng)多普勒頻移較大時(shí)，其性能優(yōu)于LMMSE算法，在信噪比較高時(shí)，這種現(xiàn)象尤為明顯。

圖6 SNR＝10dB時(shí)隨多普勒頻移變化的MSEFig.6 MSE changes with Doppler shift when SNR＝10dB

圖7 SNR＝40dB時(shí)隨多普勒頻移變化的MSEFig.7 MSE changes with Doppler shift when SNR＝40dB

4 結(jié)論

本文提出了一種基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴(kuò)展模型信道估計(jì)算法。首先通過(guò)一種過(guò)采樣的CE－BEM模型擬合信道的快時(shí)變特性；然后把信道看作一個(gè)確定性的變量，在最小二乘估計(jì)算法的基礎(chǔ)上利用噪聲和ICI干擾量的協(xié)方差對(duì)最小二乘估計(jì)器進(jìn)行加權(quán)迭代，從而獲取更為精確的信道估計(jì)值。該方法在不需要信道統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)信息的前提下能夠獲取較為準(zhǔn)確的信道狀態(tài)。仿真結(jié)果表明，該方法能有效降低信道估計(jì)的誤差平底，且受多普勒頻移影響較小，能有效抵抗快時(shí)變信道環(huán)境帶來(lái)的吉布斯效應(yīng)。但該方法在實(shí)際也存在當(dāng)OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)較多時(shí)運(yùn)算量較大的問(wèn)題，因此如何在實(shí)際中降低計(jì)算復(fù)雜度是下一步研究的重點(diǎn)。

［1］Thoen S，Perre L V d，M Engles.Modeling the channel time－variance for fixed wireless communications［J］.IEEE Commun.Lett.，2002，6（8）：331－333.

［2］Giannakis G B，Tepedelenlioglu C.Basis expansion models and diversity techniques for blind identification and equalization of time varying channels［J］.Proc.IEEE，1998，86：1969－1986.

［3］Ma Xiaoli，Gannakis G B，Ohno S.Optimal training for block transmissions over doubly selective wireless fading channels［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）：1351－1366.

［4］Zijian Tang，Rocco Claudio Cannizzaro，Geert Leus，Paolo Banelli.Pilot－assisted time－varying channel estimation for OFDM systems［J］.IEEE Transaction on signal processing，2007，55（5）：2226－2238.

［5］Barhumi I，Leus G，Moonen M.Estimation and direct equalization of doubly selective channels［J］.Eurasip Journal on Applied Signal Processing，2006，189－98.

［6］Visintin M，Karhuen－Loéve expansion of a fast Rayleigh fading process［J］.IEEE Electron.Lett.，1996，32（8）：1712－1713.

［7］Tomasni S，Gorokhov A，Yang H，Iterative interference cancellation and channel estimation for mobile 0FDM［J］.IEEE Transactions on wireless Communications，2005，4：238－245.

［8］M K Tsatsanis，G B Giannakis.Modeling and equaliza－tion of rapidly fading channels ［J］.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，1996，10：159－176.

［9］Cui T，Tellambura C，Wu Y.Low－complexity pilot－aided channel estimation for OFDM systems over doubly－selective channels［C］／／IEEE International Conference on Communications.［C］.Seoul，Korea：ICC，2005：1980－1984.

［10］Rocco Claudio Cannizzaro，Paolo Banelli，Geert Leus.Adaptive Channel estimation for OFDM systems with doppler spread［J］.IEEE workshop on signal processing advances in wireless Communications，2006，8（6）：3597－3607.

［11］Qi Jiang，Speidel J，Zhao Chunming.Pilot－Assisted OFDM channel estimation and ICI cancellation for double selective channel［C］／／IEEE 2007Global Telecommunications Conference.Washington，DC：IEEE，2007：4150－4154.