曹 磊，張劍云，王小平，張 鑫

（解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037）

0 引言

認(rèn)知雷達(dá)（Cognitive Radar，CR）［1］是針對復(fù)雜電磁環(huán)境下目標(biāo)探測提出來的一種新體制雷達(dá)，它與傳統(tǒng)雷達(dá)的不同主要體現(xiàn)在以下三個方面：1）雷達(dá)通過不斷地與環(huán)境的交互來實現(xiàn)對環(huán)境的學(xué)習(xí)并獲取環(huán)境的相關(guān)知識以及目標(biāo)的特性；2）發(fā)射機根據(jù)反饋信息和先驗知識智能調(diào)整照射方式，以實現(xiàn)對環(huán)境可靠、有效和穩(wěn)健地探測；3）雷達(dá)所處環(huán)境、發(fā)射機以及接收機三者組成一個動態(tài)、閉環(huán)反饋的雷達(dá)系統(tǒng)。因此，用一句話總結(jié)認(rèn)知雷達(dá)的本質(zhì)：通過與環(huán)境不斷的交互而理解環(huán)境并適應(yīng)環(huán)境的閉環(huán)雷達(dá)系統(tǒng)。

目前，關(guān)于認(rèn)知雷達(dá)的研究主要集中在最優(yōu)發(fā)射波形設(shè)計方面。大部分是針對目標(biāo)為確定信道，且假設(shè)雷達(dá)已經(jīng)獲得了準(zhǔn)確的目標(biāo)沖激響應(yīng)，進(jìn)而根據(jù)特定的某種準(zhǔn)則設(shè)計出最優(yōu)檢測［2－3］、識別［4－5］、跟蹤［6］等波形。但許多目標(biāo)的散射特性可能是隨機分布的，且雷達(dá)剛開機時，往往并不具備目標(biāo)的相關(guān)信息。由此可見，提出一種針對隨機信道目標(biāo)的最優(yōu)估計波形設(shè)計方法是十分有意義的。

1 認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計和MMSE準(zhǔn)則

1.1 認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計基礎(chǔ)狀況

圖1所示為CR單次循環(huán)的離散信號模型。

圖1 信號模型Fig.1 The signal model

目標(biāo)和雜波被建模為沖激響應(yīng)為t∈CNt×1和c∈CNc×1的有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器［2－3］。其中Nt＝Nc。雷達(dá)接收回波可以表示為：

因此，式（1）可以表示為矩陣乘積形式：

關(guān)于認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計，識別和檢測方面的研究較多，大部分是假設(shè)信號模型中的目標(biāo)沖激響應(yīng)t是已知的，然后設(shè)計相應(yīng)的最優(yōu)波形。文獻(xiàn)［4］假設(shè)系統(tǒng)已經(jīng)獲得關(guān)于目標(biāo)沖激響應(yīng)t的先驗知識后，提出了一種基于遺傳算法和最大滑動相關(guān)分類器的波形優(yōu)化方法。該方法定義目標(biāo)回波和同類模板之間的匹配系數(shù)與該目標(biāo)回波和異類模板之間匹配系數(shù)的差為匹配距離，以最大化各類目標(biāo)之間的匹配距離的最小值為優(yōu)化準(zhǔn)則，然后通過遺傳算法進(jìn)行求解，得到最優(yōu)識別波形。文獻(xiàn)［5］針對多個目標(biāo)的識別問題，基于互信息準(zhǔn)則，通過最大化接收到的信號與目標(biāo)沖激響應(yīng)線性加權(quán)和的互信息獲得了針對多個目標(biāo)識別的最優(yōu)波形。而文獻(xiàn)［2］中，則針對系統(tǒng)在未知的確定信道目標(biāo)情況下，提出了首先通過對目標(biāo)沖激響應(yīng)進(jìn)行t估計，然后根據(jù)估計得到的目標(biāo)先驗知識設(shè)計了最優(yōu)檢測波形。

1.2 最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則

在尋找最佳估計量的時候，我們需要某些衡量標(biāo)準(zhǔn)，最常見的就是均方誤差（MSE），它度量了估計值偏離真實值的平方偏差的統(tǒng)計平均值。

當(dāng)估計子為高斯分布矢量x時，則估計子x和量測信息y聯(lián)合分布的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

當(dāng)R和Ryy非奇異時，那么在給定量測信息y，對估計誤差的任意容許損失函數(shù)，參數(shù)x最小后驗期望損失估計［7］公式為：

進(jìn)一步得到估計子的 MSE［8－12］為：

為了得到估計子的最優(yōu)估計值，常常采用使MSE最小作為標(biāo)準(zhǔn)，即最小均方誤差準(zhǔn)則。

2 基于MMSE的波形優(yōu)化方法

2.1 原理

本文考慮的是隨機信道目標(biāo)的最優(yōu)估計波形設(shè)計問題，即設(shè)計一種波形，使得在該發(fā)射波形下雷達(dá)能夠更快更準(zhǔn)確地完成對目標(biāo)的估計。隨機信道目標(biāo)，即雷達(dá)每次照射時，目標(biāo)沖激響應(yīng)為隨機過程的一個樣本函數(shù)，即t～CN（0 ，Rt）。

假設(shè)雜波也服從高斯分布，c～CN（0 ，Rc），因此，估計子t和量測信息x是服從聯(lián)合高斯分布的，即，且y～CN （μy，Ry）。因此，根據(jù)式（4）和（5）可求得聯(lián)合分布的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

接著通過（6）的最小后驗期望損失估計公式求取目標(biāo)沖激響應(yīng)的估計值：

然后通過估計值進(jìn)一步根據(jù)式（7）得到目標(biāo)沖激響應(yīng)估計值的MSE為：

由于MSE是發(fā)射波形S的函數(shù)，因此可以將基于MMSE的認(rèn)知雷達(dá)估計波形設(shè)計問題描述為如下優(yōu)化問題：

通過目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化便可求得認(rèn)知雷達(dá)的最優(yōu)估計波形。

2.2 步驟

結(jié)合上述分析將具體步驟描述如下：

第一步：構(gòu)造聯(lián)合矩陣，求取相應(yīng)的均值和協(xié)方差矩陣。通過式（8）和（9）分別求取目標(biāo)沖激響應(yīng)和接收數(shù)據(jù)聯(lián)合分布的均值μy和協(xié)方差矩陣Ry。

第二步：計算估計子的估計值。通過式（10）求得對估計誤差的任意容許損失函數(shù)，目標(biāo)沖激響應(yīng)t的最小后驗期望損失估計值t＾。

第三步：計算估計值的MSE。通過估計值t＾進(jìn)一步根據(jù)式（11）得到目標(biāo)沖激響應(yīng)估計值的MSE。

第四步：基于最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則優(yōu)化波形。根據(jù)矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)知識［13］進(jìn)一步將式（12）的優(yōu)化問題化簡求解便可求得認(rèn)知雷達(dá)的最優(yōu)估計波形。

3 實驗仿真

對優(yōu)化問題分析求解可知，白噪聲背景中，偽隨機信號為最優(yōu)估計波形，色噪聲背景中，根據(jù)矩陣跡不等式和拉格朗日乘子法可求解得到的最優(yōu)波形及還原Toeplitz結(jié)構(gòu)的逼近信號。

下面對本文算法進(jìn)行仿真分析，仿真條件：目標(biāo)沖激響應(yīng)和雜波沖激響應(yīng)長度Nt＝Nc＝30，離散信號長度Ns＝40，所以接收數(shù)據(jù)和噪聲長度Nx＝Nn＝Nt＋Nc－1＝69，假設(shè)信號的載頻、帶寬、脈沖重頻等發(fā)射波形的其他參數(shù)都滿足雷達(dá)要求。功率P與噪聲和雜波PSD取同一量級單位（kW），目標(biāo)和雜波PSD采用隨機產(chǎn)生。

實驗一：白噪聲背景，Rn＝＝0.5。圖2為隨機產(chǎn)生的目標(biāo)和雜波PSD采樣值；圖3顯示了MSE與功率P的關(guān)系；圖4為發(fā)射功率等于5 kW時，MSE隨發(fā)射信號長度Ns變化曲線圖。

圖2 目標(biāo)、雜波PSDFig.2 The PSD of target and clutter

圖3 MSE與發(fā)射信號功率的關(guān)系Fig.3 The MSE versus the power P

圖4 MSE與發(fā)射信號長度的關(guān)系Fig.4 The MSE versus the length of waveform

由仿真結(jié)果可以看出：1）隨著發(fā)射功率的增加，各個發(fā)射波形對應(yīng)的MSE都逐漸減小，且偽隨機信號對應(yīng)的始終低于常規(guī)的LFM信號對應(yīng)的，這說明偽隨機信號的估計性能明顯優(yōu)于LFM信號。2）隨著發(fā)射信號長度的增加，LFM 信號對應(yīng)的MSE不斷增大，這是由發(fā)射功率一定的限制條件引起的。3）當(dāng)發(fā)射信號長度小于40時，偽隨機信號對應(yīng)的MSE存在波動，而大于40以后，基本處于平穩(wěn)狀態(tài)。這是由于偽隨機信號本身的限制引起的，使得矩陣SHS與PINt的相似度隨著發(fā)射波形長度的變化而變化?？梢?，當(dāng)發(fā)射信號長度大于40以后，可以認(rèn)為此時與發(fā)射波形長度無關(guān)，且其MSE始終處于LFM下方，這說明偽隨機信號在估計性能上遠(yuǎn)遠(yuǎn)由于LFM信號。與理論分析一致。

實驗二：色噪聲背景。圖5顯示了隨機產(chǎn)生的目標(biāo)、雜波、噪聲PSD 采樣值σt，i、σc，i、σn，i以及發(fā)射信號功率為1kW時求解的信號奇異值σs，i。圖6（a）為雜波PSD、噪聲PSD之和與目標(biāo)PSD的比值，圖6（b）為信號奇異值的條形圖。

圖5 目標(biāo)、雜波、噪聲PSDFig.5 The PSD of target，clutter and noise

由圖5和圖6可知，本文算法求解的信號奇異值始終與目標(biāo)PSD呈現(xiàn)相同趨勢，與雜波和噪聲PSD之和與目標(biāo)PSD的比值呈現(xiàn)相反趨勢，滿足了注水原理［8］。這說明優(yōu)化的發(fā)射波形是選擇在目標(biāo)特征較明顯的頻率分配較多功率，而在雜波、噪聲特征較明顯的頻率分配較少功率，這樣，便使得雷達(dá)的接收回波能攜帶更多的目標(biāo)特征信息。以上結(jié)論是經(jīng)過多次實驗驗證得到的。

圖7顯示了LFM信號、上述優(yōu)化信號Sopt以及逼近信號分別對應(yīng)的MSE與發(fā)射信號功率的關(guān)系。

圖6 注水原理圖解Fig.6 The principle of injection

圖7 MSE與發(fā)射信號功率的關(guān)系Fig.7 The MSE versus the power P

由圖7仿真結(jié)果可知：1）各個發(fā)射信號對應(yīng)的MSE都隨發(fā)射信號功率的增加而逐漸減小，且本文優(yōu)化信號對應(yīng)的始終明顯遠(yuǎn)小于LSM信號；2）逼近信號雖然在性能上略差于最優(yōu)信號，但相對于常規(guī)的LFM信號仍有較大的優(yōu)勢，這說明了逼近方法的可行性。同時逼近信號恢復(fù)了信號卷積矩陣的固有Toeplitz結(jié)構(gòu)，因此比最優(yōu)信號更有實用價值；4）隨著發(fā)射功率的增加，逼近信號的MSE越來越靠近最優(yōu)信號，說明逼近程度直接受發(fā)射功率影響。發(fā)射功率越大，逼近效果越好。

4 結(jié)論

本文基于最小均方誤差準(zhǔn)則提出了一種針對隨機信道目標(biāo)的認(rèn)知雷達(dá)估計波形設(shè)計方法。該方法首先聯(lián)合觀測數(shù)據(jù)和估計子構(gòu)造一個新的聯(lián)合矩陣，接著通過貝葉斯方法在該向量的基礎(chǔ)上求取估計子的估計值，然后計算估計值的 MSE，最后基于MMSE準(zhǔn)則對發(fā)射波形進(jìn)行優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，通過該方法優(yōu)化的波形，在估計性能上相對于傳統(tǒng)的LFM信號具有明顯的優(yōu)勢，且證明了白噪聲背景中，偽隨機信號是最優(yōu)估計波形；色噪聲背景中，根據(jù)拉格朗日乘子法和矩陣跡不等式求解得到的最優(yōu)波形，滿足注水原理。

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