列 夫，蔡建平

（北京工業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，北京100124）

0 引 言

數(shù)字皮影骨骼動(dòng)畫技術(shù)是指在傳統(tǒng)骨骼動(dòng)畫基礎(chǔ)上，通過(guò)分析皮影戲表演及皮影角色運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而提出一套適用于數(shù)字皮影動(dòng)畫制作的骨骼動(dòng)畫技術(shù)，使得人們可以借此來(lái)創(chuàng)作皮影動(dòng)畫作品或在虛擬空間中進(jìn)行皮影戲表演。當(dāng)前，骨骼動(dòng)畫技術(shù)以及運(yùn)動(dòng)控制的研究取得了很大進(jìn)展，也產(chǎn)生了很多實(shí)用的技術(shù)。在骨骼動(dòng)畫的研究中，動(dòng)畫控制的研究與應(yīng)用是一個(gè)十分重要的方向，其主要有正運(yùn)動(dòng)學(xué)、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)等。

本文主要探討了數(shù)字皮影動(dòng)畫的骨骼構(gòu)建和逆動(dòng)力學(xué)在二維動(dòng)畫中的主要算法。通過(guò)對(duì)它們進(jìn)行歸納、比較和實(shí)驗(yàn)分析，提出一種數(shù)字皮影動(dòng)畫中的二維逆動(dòng)力學(xué)解決方法。該技術(shù)的研究有助于提高數(shù)字皮影動(dòng)畫的真實(shí)性以及降低皮影動(dòng)畫制作難度。

1 數(shù)字皮影骨骼類型劃分

在傳統(tǒng)皮影戲表演中，皮影角色大致分為人物、四足動(dòng)物、蛇形動(dòng)物以及騎乘人物這幾類，由于皮影角色類型復(fù)雜，不利于動(dòng)畫制作人員批次量、便捷的完成皮影建模。因此有必要對(duì)各個(gè)皮影角色類型進(jìn)行總結(jié)、歸納，從而制定一套完整的皮影骨骼插件。

由于皮影的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，因此本章骨骼劃分工作便基于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)末端點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行換分。

（1）三桿型皮影骨骼：該類型骨骼最大特點(diǎn)是整體運(yùn)動(dòng)靠頸部的支撐點(diǎn)帶動(dòng)，手部細(xì)節(jié)動(dòng)畫則由雙手末端點(diǎn)即IK末端效應(yīng)器控制，是典型的兩段式骨骼動(dòng)畫

（2）五桿型皮影骨骼：該類型骨骼大體上與三桿型皮影骨骼相同，唯一的區(qū)別在于該類型皮影的腿部有膝關(guān)節(jié)，因此腿部動(dòng)畫也構(gòu)成了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制。該類型骨骼一共有5個(gè)控制點(diǎn)，即雙手、雙腿、頸部，其中頸部與三桿型相同，負(fù)責(zé)整體運(yùn)動(dòng)。

（3）手持道具型皮影骨骼：該類型的骨骼最大點(diǎn)為雙手固定在一個(gè)道具上（如：長(zhǎng)矛、棍棒等）。通過(guò)對(duì)道具的控制即可實(shí)現(xiàn)對(duì)雙手的連帶運(yùn)動(dòng)效果，而雙手的運(yùn)動(dòng)仍舊是逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，只是末端點(diǎn)轉(zhuǎn)移到道具上。

（4）條型骨骼：條型骨骼的特點(diǎn)在于該類型皮影角色通常都是蛇、龍、昆蟲等生物。主軀干骨骼貫穿整個(gè)模型，由多鏈IK控制，一般有首、尾、中段3個(gè)末端控制點(diǎn)。

（5）四足動(dòng)物骨骼：在傳統(tǒng)皮影表演中四足動(dòng)物類型的角色通常不具末端控制器，只有整體位移的屬性，因此四足動(dòng)物的骨骼相對(duì)簡(jiǎn)單，一般只要考慮頭部保留一個(gè)骨骼即可，負(fù)責(zé)頭部的旋轉(zhuǎn)。

皮影骨骼類型劃分見表1。

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2 數(shù)字皮影骨骼的構(gòu)建

2.1 皮影模型分析

為了更好的模擬出皮影運(yùn)動(dòng)效果，首先對(duì)傳統(tǒng)皮影戲角色的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。傳統(tǒng)皮影戲角色通常由以下幾個(gè)部位連接而成組成，其中包括：頭部、胸部、腹部、大腿、小腿、大臂、小臂及手。皮影的控制一般分為兩種，三桿控制及五桿控制。其中三桿控制的特點(diǎn)是每個(gè)皮影角色都有三根控制桿，主要的控制桿位于皮影角色的頸部，用來(lái)控制皮影角色的整體位移。其他兩根控制桿分別固定在皮影角色的腕部，控制皮影的上肢運(yùn)動(dòng)，其顯著特點(diǎn)為逆動(dòng)力學(xué)控制。皮影角色腿部不設(shè)置控制桿，在皮影角色的運(yùn)動(dòng)中靠上半身的位移連帶產(chǎn)生動(dòng)作。五桿控制的特點(diǎn)是皮影角色具有小腿部分及膝關(guān)節(jié)。兩支控制桿分別控制小腿末端，以實(shí)現(xiàn)特定的步行動(dòng)作［1］。

通過(guò)對(duì)皮影角色的觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)皮影角色的構(gòu)建特點(diǎn)，即構(gòu)造簡(jiǎn)單，同時(shí)各個(gè)部位由單點(diǎn)連接，具有極大的靈活性。由于皮影的運(yùn)動(dòng)具有逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的特點(diǎn)，若要在數(shù)字平臺(tái)上模擬數(shù)字皮影角色，必須對(duì)皮影角色的結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化及抽象。同時(shí)，針對(duì)應(yīng)用的實(shí)際需要和表演需求，簡(jiǎn)化骨骼模型，這樣就可以大幅提高數(shù)字皮影動(dòng)畫的易用性及控制性，更加便于實(shí)際使用。

2.2 數(shù)字皮影骨骼自由度

在骨骼動(dòng)畫中關(guān)節(jié)不但是連接皮影各部分的重要節(jié)點(diǎn)，而且也帶動(dòng)皮影角色各部位運(yùn)動(dòng)，起到連接及帶動(dòng)作用。在骨骼動(dòng)畫中關(guān)節(jié)通常被模擬為球鉸，因此其活動(dòng)范圍沒(méi)有限制［2］。但皮影部分關(guān)節(jié)實(shí)際活動(dòng)范圍嚴(yán)格意義僅僅是在二維空間，因此這里要引入自由度概念加以說(shuō)明。

自由度是關(guān)于旋轉(zhuǎn)的屬性，而且自由度與維度密切相關(guān)。舉例來(lái)說(shuō)，一個(gè)自由度的關(guān)節(jié)（OneDOF），例如膝蓋關(guān)節(jié)，其只能前后彎曲，只有一個(gè)旋轉(zhuǎn)方向，這種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可視為繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；兩個(gè)自由度的關(guān)節(jié)（TwoDOF），例如人的手腕，兩個(gè)自由度是擺動(dòng)自由度。肘關(guān)節(jié)的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度的其中一個(gè)是自轉(zhuǎn)，另一個(gè)是繞X軸的擺動(dòng)自由度。所以兩自由度的關(guān)節(jié)有兩種形式；3個(gè)自由度的關(guān)節(jié)（ThreeDOF），例如肩關(guān)節(jié)，鉸鏈模擬通常模擬3個(gè)自由度的關(guān)節(jié)，但是轉(zhuǎn)動(dòng)仍然會(huì)有范圍的制約［3］。

在實(shí)際的皮影表演中，皮影角色運(yùn)動(dòng)通常是以二維的形式展現(xiàn)給觀眾，但是在實(shí)際幕后的操控中，皮影角色會(huì)在相對(duì)于幕布的方向上發(fā)生位移，進(jìn)而產(chǎn)生模糊、投影以及形變效果。針對(duì)這一特點(diǎn)，我們對(duì)數(shù)字皮影各個(gè)骨骼的自由度做以下分析：

頭部：在傳統(tǒng)皮影表演中頭部會(huì)有點(diǎn)頭及后視的效果，因此頭部骨骼定義為兩個(gè)自由度

手臂：傳統(tǒng)皮影戲中手臂運(yùn)動(dòng)通常為單軸旋轉(zhuǎn)，因此定義為一個(gè)自由度

腹部：在實(shí)際表演中皮影角色腹部沒(méi)有控制桿，由上肢連帶運(yùn)動(dòng)，但在激烈打斗的表演中會(huì)產(chǎn)生微小的Z軸旋轉(zhuǎn)，因此定義為兩個(gè)自由度

腿部：與手臂運(yùn)動(dòng)相同，可定義為一個(gè)自由度

以上分析如表2所示

表2 皮影骨骼編號(hào)

2.3 數(shù)字皮影骨骼抽象模型

在骨骼動(dòng)畫技術(shù)中，模型被抽象描述為骨骼模型，人們通過(guò)對(duì)骨骼的控制進(jìn)而帶動(dòng)模型運(yùn)動(dòng)［4］。針對(duì)這一技術(shù)特點(diǎn)，我們將數(shù)字皮影角色模型抽象為骨骼模型，將皮影的各個(gè)部分轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)骨骼，并將骨骼關(guān)節(jié)抽象為有向線段，連接形成數(shù)字皮影骨骼結(jié)構(gòu)的表達(dá)方法。為了更加直觀的描述骨骼模型，需要對(duì)骨骼進(jìn)行一個(gè)編號(hào)處理。

2.4 數(shù)字皮影骨骼構(gòu)建

本文主要通過(guò)分析數(shù)字皮影的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，結(jié)合二維逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，在數(shù)字平臺(tái)上展開數(shù)字皮影運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)的研究。因此，涉及到三桿型皮影的腿部自由擺動(dòng)效果不做研究，保留其骨骼用于控制動(dòng)畫，腿部特殊動(dòng)作可由動(dòng)畫特效及物理引擎實(shí)現(xiàn)。

由于數(shù)字皮影的上肢及下肢關(guān)節(jié)在骨骼運(yùn)動(dòng)中起到至關(guān)重要的作用，因而需要生成大臂、小臂以及下肢的腿部骨骼。在皮影重心附近，保留控制腿部運(yùn)動(dòng)的腿骨部分，并將皮影角色的根骨骼定義在腹部處。在頸部與頭部的結(jié)合處生成一根頸部骨骼，向下連接胸部骨骼，用以區(qū)分上肢旋轉(zhuǎn)及頭部旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。其余各部位均抽象成對(duì)應(yīng)骨骼，用以動(dòng)畫控制。最后得到的皮影骨骼模型共包括17個(gè)骨骼，如圖1所示。相應(yīng)的關(guān)節(jié)及骨骼定義如表2所示。

圖1 骨骼結(jié)構(gòu)樹

通過(guò)以上分析研究，皮影抽象骨骼模型基本構(gòu)架已經(jīng)有了大體輪廓，進(jìn)一步工作就是確定各個(gè)骨骼之間的關(guān)系。在骨骼動(dòng)畫技術(shù)中，相鄰骨骼之間有上下級(jí)關(guān)系，即父子關(guān)系［5］。在正運(yùn)動(dòng)學(xué)中上級(jí)骨骼運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)下級(jí)骨骼運(yùn)動(dòng)，下級(jí)骨骼運(yùn)動(dòng)不會(huì)帶動(dòng)上級(jí)骨骼運(yùn)動(dòng)。而在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中，則情況相反［6］。在傳統(tǒng)類雙足動(dòng)物骨骼構(gòu)建的辦法中，一般將骨骼跟節(jié)點(diǎn)設(shè)置在胯骨部位，以控制模型的整體運(yùn)動(dòng)［7］。然而在傳統(tǒng)皮影戲中，整體控制桿位于皮影胸部位置，重心靠上以便更好的帶來(lái)表演效果。在數(shù)字皮影動(dòng)畫中，由于不考慮皮影整體的物理仿真，重心位置便顯得不是十分重要，因此我們將根節(jié)點(diǎn)設(shè)置在腹部位置。從根節(jié)點(diǎn)向上一直到頭部骨骼，各骨骼依次為子骨骼。從胸部到手部也為同樣道理。沿根節(jié)點(diǎn)向下則是腿部的父子關(guān)系。

通過(guò)以上內(nèi)容的分析，本文在Maya動(dòng)畫平臺(tái)上通過(guò)內(nèi)置MEL語(yǔ)言搭建皮影骨骼。數(shù)字皮影骨骼模型將皮影結(jié)構(gòu)抽象成點(diǎn)和線，骨骼結(jié)構(gòu)表示為點(diǎn)、線之間的連接關(guān)系，因而十分直觀方便。本文研究的數(shù)字皮影骨骼模型如圖2所示。

圖2 數(shù)字皮影骨骼

3 二維IK解決辦法

本文二維IK解決辦法是在傳統(tǒng)的CCD（cyclic－coordinate descent）算法基礎(chǔ)上，針對(duì)二維骨骼動(dòng)畫提出的一種解決二維IK問(wèn)題改進(jìn)辦法，它的基本思想是由末端骨骼開始，通過(guò)反復(fù)迭代的方法，每個(gè)骨骼依次對(duì)目標(biāo)點(diǎn)做逼近式旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而末端效應(yīng)器不斷接近目標(biāo)點(diǎn)，最終達(dá)到目標(biāo)位置。

3.1 算法基本思想

Cyclic－Coordinate Descent算法是一個(gè)帶有啟發(fā)式的迭代搜索算法，通過(guò)每次改變一個(gè)參數(shù)的數(shù)值逐步使關(guān)節(jié)位移、旋轉(zhuǎn)進(jìn)而更加接近目標(biāo)，每次的迭代過(guò)程會(huì)涉及末端骨骼至根部骨骼即對(duì)末端至根部進(jìn)行一次遍歷。每個(gè)骨骼關(guān)節(jié)參數(shù)立即被修改為最小化目標(biāo)函數(shù)［8］。CCD算法的核心在于將多鏈骨骼問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單個(gè)骨骼求解問(wèn)題進(jìn)而簡(jiǎn)化了骨骼計(jì)算的復(fù)雜程度，而求出每個(gè)目標(biāo)函數(shù)最小化問(wèn)題容易解決，可以通過(guò)解析法逐一解決，因此每一步的迭代相當(dāng)快捷［9］。當(dāng)求得各個(gè)骨骼關(guān)節(jié)的參數(shù)后，將其代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求得末端效器和每個(gè)關(guān)節(jié)的位置［10］。

然而CCD算法在面對(duì)二維IK問(wèn)題時(shí)并不能很好的解決問(wèn)題。首先，數(shù)字皮影動(dòng)畫為二維動(dòng)畫，傳統(tǒng)CCD算法中存在無(wú)解情況以及誤差。其次，針對(duì)數(shù)字皮影動(dòng)畫的實(shí)時(shí)需求，傳統(tǒng)CCD算法有計(jì)算資源浪費(fèi)的問(wèn)題，三維骨骼動(dòng)畫計(jì)算產(chǎn)生無(wú)用計(jì)算消耗。

針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，本文提出在傳統(tǒng)CCD算法思想的基礎(chǔ)上。提出一種適用于數(shù)字皮影骨骼動(dòng)畫運(yùn)動(dòng)的二維IK解決方法，減少誤差并解決計(jì)算資源浪費(fèi)問(wèn)題。本解決辦法的基本思想是：

（1）在每一次的迭代解析計(jì)算中只求解一個(gè)自由度的旋轉(zhuǎn)角度。通過(guò)點(diǎn)乘原理求出骨骼旋轉(zhuǎn)角度的余弦值，進(jìn)而得出骨骼旋轉(zhuǎn)角度；

（2）通過(guò)叉乘原理求出骨骼的旋轉(zhuǎn)方向。

3.2 算法流程

3.2.1 求出各骨骼的旋轉(zhuǎn)角度

在T點(diǎn)（目標(biāo)）與J點(diǎn)（骨骼關(guān)節(jié)）間建立一條最優(yōu)參考線，骨骼B1以關(guān)節(jié)點(diǎn)J為圓心旋轉(zhuǎn)，使得E（末端效應(yīng)器）與最優(yōu)參考線相交，得出旋轉(zhuǎn)角度α，如圖3所示。在T點(diǎn)（目標(biāo)）與J點(diǎn)（骨骼關(guān)節(jié)）間建立一條新的最優(yōu)參考線，骨骼B2以J為圓心旋轉(zhuǎn)，B2骨骼帶動(dòng)B1旋轉(zhuǎn)，使E與參考線相交得出B2骨骼旋轉(zhuǎn)角度，如圖4所示。以此類推對(duì)每個(gè)骨骼旋轉(zhuǎn)，以得出α值。

通過(guò)點(diǎn)乘理論我們可知

（e－j）·（t－j）＝｜e－t｜·｜t－j｜c(diǎn)osα其中，e為末端效應(yīng)器E的位置，j為骨骼關(guān)節(jié)點(diǎn)J的位置，t為目標(biāo)點(diǎn)T的位置。

由此可得

3.2.2 求出各骨骼的旋轉(zhuǎn)方向

上述步驟可有效求得余弦值，進(jìn)而得出骨骼的旋轉(zhuǎn)角度，但余弦值不能提供骨骼的旋轉(zhuǎn)方向，即逆時(shí)針或順時(shí)針的問(wèn)題。因此下一步的主要工作是如何解決骨骼旋轉(zhuǎn)方向的問(wèn)題。

由叉乘原理，我們可知

本文研究基于右手法則，其中n為垂直與A、B的單位向量。θ為向量A與向量B間的夾角，其取值范圍為［0，π］，如圖5所示。

圖5 A向量與B向量的夾角

若我們將二維向量理解為xy平面上的三維向量，則通過(guò)叉乘理論我們可得出一個(gè)指向于z軸的三維向量

從叉乘的幾何解釋可知珤A×珝B＝｜A｜×｜B｜sinθn中的單位向量n在z軸上非正即負(fù)

由此，nz的值定義為1或－1，x、y坐標(biāo)上的值為零。

通過(guò)以上公式，針對(duì)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方向我們提取出z軸部分進(jìn)行單獨(dú)討論

基于右手法則，當(dāng)x軸指向右時(shí)y軸指向上方，z軸指向前方。通過(guò)該原理，我們可根據(jù)nz的值來(lái)判斷骨骼按順時(shí)針或逆時(shí)針來(lái)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)nz在z軸上為負(fù)時(shí)，骨骼按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)nz在z軸上為正時(shí)，骨骼按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。用數(shù)學(xué)描述為當(dāng)nz＝－1時(shí)順時(shí)針；當(dāng)nz＝1時(shí)逆時(shí)針。

由于θ的取值為［0，π］，當(dāng)nz＝1時(shí)sin（θ）的值只能為正，即骨骼按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。而當(dāng)nz＝－1時(shí)有

sin（θ）值為負(fù)，即骨骼按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

由此我們引入一個(gè)新的參數(shù)β，為向量A與向量B的夾角，其取值范圍為［－π，π］，由此可得

AxBy－AyBx＝｜A｜×｜B｜sinθnz＝｜A｜×｜B｜sinβ

將圖2中的數(shù)值帶入方程可得

當(dāng)sinβ為正時(shí)骨骼按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)sinβ為負(fù)時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)1：本文在Maya平臺(tái)上給出一個(gè)例子測(cè)試本文的算法效果，其中骨骼構(gòu)建部分通過(guò)調(diào)用Maya API完成數(shù)字皮影骨骼插件。二維IK解決辦法則由MEL語(yǔ)言在Maya平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。這個(gè)例子以實(shí)現(xiàn)甩臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解為例，如圖6所示，通過(guò)插件實(shí)現(xiàn)數(shù)字皮影角色骨骼和IK控制器的位置并給予旋轉(zhuǎn)及位移變量。通過(guò)本本研究辦法對(duì)數(shù)字皮影骨骼逆向運(yùn)動(dòng)的求解，輸出一段逼真的動(dòng)畫。該實(shí)驗(yàn)證明，本方法能真實(shí)的模擬皮影動(dòng)畫，滿足動(dòng)畫制作的需求。

圖6 實(shí)驗(yàn)－甩臂

實(shí)驗(yàn)2：本實(shí)驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的Intel Core2 2.66GHz CPU，3.50GB內(nèi)存，NVIDIA GeForce 8600GT顯卡的高檔微機(jī)上對(duì)傳統(tǒng)CCD算法以及本文研究方法進(jìn)行試驗(yàn)。本文算法與CCD算法一樣都屬于迭代法，用于解決交互操作的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。它們都設(shè)法把每一步迭代的代價(jià)都降為最小。在接近運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異點(diǎn)時(shí)，都能保證數(shù)值上的穩(wěn)定。圖7中黑點(diǎn)代表的是本文算法，圓圈代表的是傳統(tǒng)CCD算法。從圖7中（a）側(cè)我們可以看出，在精度要求相同的情況下，傳統(tǒng)CCD算法曲線呈指數(shù)趨勢(shì)，效率明顯低于本文算法。由此可知本文算法的效率高一些。而在圖7中（b）側(cè)可知，在對(duì)兩種算法迭代速度的對(duì)比中，本文算法速度較為平均，明顯低于傳統(tǒng)CCD算法，可以得知本文算法效率較高。

實(shí)驗(yàn)3：本實(shí)驗(yàn)通過(guò)使用兩種算法實(shí)現(xiàn)單個(gè)手臂運(yùn)動(dòng)，并對(duì)產(chǎn)生的動(dòng)畫效果進(jìn)行對(duì)比，觀察結(jié)果是否出現(xiàn)失真以及較大誤差情況。其中，圖8為傳統(tǒng)CCD算法實(shí)現(xiàn)的手臂運(yùn)動(dòng)，圖9為本文算法實(shí)現(xiàn)的手臂運(yùn)動(dòng)。由由兩圖的對(duì)比可以看出，當(dāng)只有皮影角色手臂運(yùn)動(dòng)的前提下。本文算法要比傳統(tǒng)CCD算法準(zhǔn)確性高，也沒(méi)有出現(xiàn)失真以及畫面不合理的情況。

圖7 兩種算法的比較

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)數(shù)字皮影戲的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)皮影角色的分析，詳細(xì)介紹了數(shù)字皮影角色骨骼的構(gòu)建方法。針對(duì)二維骨骼逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題，提出一種有效的解決辦法。本方法在傳統(tǒng)CCD算法的基礎(chǔ)上，對(duì)解算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化和降維處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本辦法有效的節(jié)約了計(jì)算資源并提高動(dòng)畫演示的真實(shí)度。研究的下一步工作是針對(duì)本辦法無(wú)法解決目標(biāo)點(diǎn)與骨骼同在一條線兒無(wú)解的問(wèn)題。

［1］GAO Lujing，CAI Jianping.Analysis and implementation of features of character’s action in shadowgraph animation［J］.Computer Engineering and Design，2010，31（10）：2335－2342（in Chinese）.［高璐靜，蔡建平.皮影動(dòng)畫中人物運(yùn)動(dòng)的特性分析與實(shí)現(xiàn)［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2010，31（10）：2335－2342.］

［2］YUAN Hui－jie.Skeletal animation technology research and realization［D］.Chengdu：University of Electronic Science and Technology of China，2010（in Chinese）.［袁會(huì)杰.骨骼動(dòng)畫技術(shù)的研究與實(shí)現(xiàn)［D］.成都：電子科技大學(xué)，2010.］

［3］Jeff Land.Making kine more flexible［J］.Game Developer，1998，5（3）：15－22.

［4］DING Peng，JIA Yuele，ZHANG Jing，et al.Design and implementation of skinned mesh animation［J］.Technology and Market，2009，16（10）：11－12（in Chinese）.［丁鵬，賈月樂(lè)，張靜，等.骨骼蒙皮動(dòng)畫設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.技術(shù)與市場(chǎng)，2009，16（10）：11－12.］

［5］JI Zhuo’er，ZHANG Jingqiao.Programmable GPU technology in skeletal animations and their comparison［J］.Computer Engineering and Design，2008，29（21）：5550－5554（in Chinese）.［季卓爾，張景嶠.基于可編程圖形處理器的骨骼動(dòng)畫算法及其比較［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2008，29（21）：5550－5554.］

［6］FENG Bo.Motion control technology in 3Dcharacter animation［J］.Science ＆ Technology Information，2007（27）：95－96（in Chinese）.［馮波.三維角色動(dòng)畫中運(yùn)動(dòng)控制的主要技術(shù)［J］.科技資訊，2007（27）：95－96.］

［7］LI Qingling，SHANG Xinhua，WU Haiyan.Research on motion control of human skeleton based on kinematics［J］.Journal of Xinyang Agricultural College，2008，18（2）：128－129（in Chinese）.［李清玲，商信華，吳海燕.基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的骨骼動(dòng)畫控制研究［J］.信陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008，18（2）：128－129.］

［8］Chris Welman.Inverse kinematics and geometric constrains for articulated figure manipulation［D］.Simon Fraser University，1993.

［9］LI Chunxia，YANG Kejian，LI Bo.A modeling of human skeleton and a method of solving IK problem［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2005，12（6）：815－819（in Chinese）.［李春霞，楊克儉，李波.人體骨骼模型的簡(jiǎn)歷及IK問(wèn)題的一種解決方式［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，12（6）：815－819.］

［10］YANG Xiaotao，YANG Kejian.CCD algorithm and its application and realization in inverse kinematics［J］.Journal of Chongqing Institute of Technology（Natural Science），2008，22（5）：65－68（in Chinese）.［陽(yáng)小濤，楊克儉.CCD算法及其在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，22（5）：65－68.］