徐旭東，王 菁

（北京工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，北京100124）

0 引 言

虛擬花卉建模是虛擬植物研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)課題之一。花卉由花瓣、花葉、花莖等組成，各組織器官結(jié)構(gòu)精細(xì)而不規(guī)則，其幾何和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使建模既困難又費(fèi)時(shí)，頗具挑戰(zhàn)性。虛擬花卉在生態(tài)環(huán)境仿真、農(nóng)林研究以及游戲、動(dòng)畫等虛擬場(chǎng)景造型方面有著廣闊的應(yīng)用前景?；ò辍⒒ㄈ~等片狀器官的曲面建模是花卉建模中的主要部分，常見(jiàn)的造型方法有多邊形網(wǎng)格建模、自由曲面建模、基于手繪草圖建模等。曾蘭玲[1]和劉金定[2]等分別用三角網(wǎng)格和四邊形面片模擬了玫瑰、荷花等的花瓣，但構(gòu)造的曲面模型不夠自然；張穎[3]提出了一種利用Delaunay三角網(wǎng)格化算法對(duì)提取的花瓣輪廓進(jìn)行網(wǎng)格填充的方法來(lái)模擬片狀器官，但隨著曲面細(xì)分精度增加，系統(tǒng)的性能也會(huì)下降。Ijiri[4]根據(jù)手繪草圖和彎曲控制函數(shù)交互式構(gòu)建花瓣模型，此方法要求用戶具有繪畫基礎(chǔ)，通用性不高。文獻(xiàn)[5，6]采用Bezier曲面模擬了蘋果花和郁金香的花瓣，逼真地再現(xiàn)了花瓣的幾何形態(tài)，但控制點(diǎn)的提取是個(gè)難題。曾茜[7]采用自定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立了單枝石竹模型，但未構(gòu)建完整的花卉植株模型。本文以吊蘭作為研究對(duì)象，采用Bezier曲面并結(jié)合OpenGL中的拾取技術(shù)提出了一種快速、通用的片狀器官建模方法，生成了吊蘭花瓣、葉片模型；基于曲線擬合實(shí)現(xiàn)了任意彎曲度的花莖、花梗的模擬，最終構(gòu)建了完整的虛擬吊蘭植株，模型真實(shí)自然，驗(yàn)證了方法的有效性。

1 片狀器官建模

吊蘭為多年生草本植物，葉細(xì)長(zhǎng)，綠色或有黃色條紋，長(zhǎng)10～30cm，寬1～2cm，條形至條狀披針形；花被細(xì)小呈葉狀，裂片6枚[8]。吊蘭花瓣、葉片均屬于片狀器官；Bezier曲面具有良好的局部形狀控制能力和較好的邊界適應(yīng)性，能夠靈活表現(xiàn)彎曲型面，是構(gòu)建片狀器官的首選方法。

片狀器官建模主要包括3個(gè)步驟:①通過(guò)實(shí)時(shí)測(cè)量或利用圖像處理軟件提取初始特征控制點(diǎn)；②根據(jù)特征控制點(diǎn)構(gòu)建Bezier曲面；③交互式微調(diào)特征控制點(diǎn)以逼近真實(shí)曲面形態(tài)。

1.1 應(yīng)用雙三次Bezier曲面模擬花瓣和葉片

Bezier曲面雖然構(gòu)造靈活，但算法實(shí)現(xiàn)相對(duì)復(fù)雜，綜合考慮花瓣、葉片的幾何形態(tài)特征和Bezier曲面的表現(xiàn)能力，應(yīng)用雙三次Bezier曲面來(lái)模擬吊蘭的花瓣和葉片。Bezier曲面定義如下:給定 （m＋1）× （n＋1）個(gè)空間控制點(diǎn)Vi，j（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n），令

式 （1）所表示的曲面為m×n次的Bezier曲面。Vi，j表示曲面上第i行第j列的初始特征控制點(diǎn)，依次用線段連接控制點(diǎn)Vi，j（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n）中相鄰兩頂點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格稱為Bezier曲面的特征控制網(wǎng)格，它框定了Bezier曲面的大致形狀。

當(dāng)取m＝3，n＝3時(shí)，得到雙三次Bezier曲面，構(gòu)造雙三次Bezier曲面需要定義 （m＋1）× （n＋1）＝4×4個(gè)初始控制點(diǎn)，即Vi，j（i＝0，1，…，3；j＝0，1，…，3），雙三次Bezier曲面的表示式如式 （2）所示。

式 （2）是關(guān)于μ，w的雙三次多項(xiàng)式，它由矩陣V中的16個(gè)特征控制點(diǎn)的位置所確定。這16個(gè)特征控制點(diǎn)中只有V00、V03、V30、V33位于Bezier曲面上。V中周圍的12個(gè)特征控制點(diǎn)定義了4條Bezier曲線，即邊界曲線；其余的V11、V12、V21、V22與邊界曲線無(wú)關(guān)，但影響曲面片的凹凸形狀。根據(jù)μ，w的不同取值依次計(jì)算在兩個(gè)分量的方向上沿4條Bezier曲線的若干插值點(diǎn)，連接這些點(diǎn)即構(gòu)成雙三Bezier曲面[9]。

在OpenGL中，Bezier曲面的構(gòu)造可借助二維求值器實(shí)現(xiàn)[10]。二維求值器把用戶提取的特征控制點(diǎn)作為輸入，根據(jù)設(shè)定的精度自動(dòng)計(jì)算指定曲面上的坐標(biāo)點(diǎn)，輸出任意精度的Bezier曲面，同時(shí)求值器還可以生成曲面上的顏色數(shù)據(jù)、法線向量和紋理坐標(biāo)等。

應(yīng)用二維求值器模擬吊蘭花瓣的算法見(jiàn)表1。其中，glMapGrid2f（n，u1，u2，m，v1，v2）定義的二維均勻網(wǎng)格控制曲面的精度，應(yīng)用二維均勻網(wǎng)格可通過(guò)自動(dòng)計(jì)算得到均勻間隔的μ，w值。本例中設(shè)置曲面精度為15，即在兩個(gè)分量方向上每條曲線被細(xì)分成15段，則繪制每張曲面片需要連接16×16＝256個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。用Bezier曲面模擬的吊蘭花瓣如圖1所示，其中，圖1（a）為花瓣網(wǎng)格曲面，圖1（b）為添加紋理后的花瓣模型。

表1 吊蘭花瓣繪制算法

吊蘭花瓣的特征控制點(diǎn)矩陣V為

圖1 吊蘭花瓣模型

1.2 特征控制點(diǎn)的提取和交互式微調(diào)

采用Bezier曲面模擬花瓣、葉片，只需要提取片狀器官表面的少量三維坐標(biāo)點(diǎn)作為模型控制點(diǎn)，但特征控制點(diǎn)的提取具有一定難度。根據(jù)幾何定義，構(gòu)建雙三次Bezier曲面，需要提取16個(gè)特征控制點(diǎn)。以模擬吊蘭葉片為例，選擇具有代表性且輪廓清晰的吊蘭葉片圖片，利用圖像處理軟件提取圖片上的16個(gè)二維坐標(biāo)點(diǎn)，然后采用估測(cè)的方法將二維坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為三維坐標(biāo)點(diǎn)，即可獲得所需的16個(gè)特征控制點(diǎn)。根據(jù)提取的初始特征控制點(diǎn)繪制的吊蘭葉片曲面及其特征控制網(wǎng)格，如圖2（a）所示。

OpenGL中的拾取技術(shù)提供了一種選擇和反饋機(jī)制，允許用戶識(shí)別屏幕上的物體并對(duì)物體進(jìn)行移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、縮放等交互式操作[11]。應(yīng)用OpenGL中的拾取技術(shù)，可以對(duì)特征控制點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行局部微調(diào)，直到繪制出令人滿意的曲面形狀。交互式調(diào)整特征控制點(diǎn)的方法可以方便、快速地確定滿足要求的控制點(diǎn)坐標(biāo)，增強(qiáng)了建?？煽匦院颓婢珳?zhǔn)度。通過(guò)交互式微調(diào)控制點(diǎn)坐標(biāo)繪制的不同彎曲度的吊蘭葉片模型見(jiàn)圖2（b）～ （e）。

圖2 吊蘭葉片模型

2 花卉附屬組織器官建模

為了使花卉模型更加真實(shí)地表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的花朵，除了花冠主體外，花梗、花莖、花蕊等細(xì)節(jié)部分的模擬也越來(lái)越受到研究者的重視。岳延濱等[12]將橢球體和圓柱體連接在一起模擬油菜花的雄蕊、雌蕊，真實(shí)感較差。蘇紅波等[13]選取B樣條曲線擬合中心軸線，通過(guò)曲線上一點(diǎn)的三維坐標(biāo)、該點(diǎn)的切線及過(guò)該點(diǎn)的截面半徑求出截面輪廓點(diǎn)的三維坐標(biāo)來(lái)模擬以上各器官，該方法可以模擬器官的任意彎曲形態(tài)，但計(jì)算比較復(fù)雜。

2.1 基于曲線擬合的彎曲柱體建模

吊蘭花莖、花梗等呈彎曲的長(zhǎng)柱狀，其彎曲特性和一個(gè)周期內(nèi)的三角函數(shù)曲線相似，因此可將三角函數(shù)作為模型的彎曲控制函數(shù)，并通過(guò)調(diào)整相應(yīng)控制參數(shù)來(lái)展現(xiàn)不同的彎曲效果。彎曲柱體可由多個(gè)小柱體拼接而成，其中每個(gè)小柱體相對(duì)X軸的偏移角度θ由正弦函數(shù)計(jì)算得到，由此可生成基于正弦曲線擬合的彎曲柱體。

圖3 彎曲柱體構(gòu)造

如圖3所示，l為單段小柱體的高度 （長(zhǎng)度），θ為其相對(duì)X軸的偏移角，hj和hj＋1分別為小柱體底部、頂部距離地面的高度。圖中彎曲柱體由s＝5段小柱體組成，對(duì)正弦函數(shù)在指定的定義域內(nèi)進(jìn)行同樣地均等分，可依次計(jì)算得到每個(gè)等分點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的hj，見(jiàn)式 （3）

其中，參數(shù)a為振幅，可以調(diào)整曲柱體的彎曲度，a值越大，曲柱體越彎；b表示正弦函數(shù)的定義域，例如b取值為2，則最終的彎曲柱體是對(duì)π／2內(nèi)的正弦曲線的擬合，即b確定了彎曲柱體的跨度；s為彎曲柱體的細(xì)分精度，表示彎曲柱體由s段小柱體拼接而成。由式 （4）、式 （5）、式 （6）可以方便地求得每段小柱體相對(duì)X軸的偏移角度θ；以上參數(shù)均可以交互式調(diào)整，從而可以擬合不同彎曲度的曲柱體，如圖4所示

通過(guò)以上計(jì)算，將每段小柱體相對(duì)原點(diǎn)的平移距離（xj，hj）和相對(duì)X軸的偏移角度θ作為曲柱體的節(jié)間參數(shù)記錄下來(lái)。該參數(shù)有兩個(gè)用途:①指定每段小柱體的空間方位，完成彎曲柱體的建模；②當(dāng)用曲柱體模擬花莖時(shí)，確定花朵和葉片等組織器官在花莖上的著生位置。

特別指出:小柱體既可以選用圓柱體，也可選用底面半徑同頂面半徑不相等的圓臺(tái)。選用圓臺(tái)時(shí)，曲柱體中第j段小柱體的頂面半徑應(yīng)等于第j＋1段小柱體的底面半徑；這些半徑的值可通過(guò)在最大半徑和最小半徑之間進(jìn)行線性插值得到。表2給出了彎曲柱體的建模算法:

表2 基于曲線擬合的彎曲柱體繪制算法

2.2 吊蘭花莖和雄蕊建模

吊蘭花莖 （葶）細(xì)長(zhǎng)彎垂，長(zhǎng)于葉，有時(shí)長(zhǎng)達(dá)50cm，常變?yōu)橘橹?，近頂端著生葉束、花簇或幼小植株；花梗、花絲稍彎，花藥呈淡黃色。通過(guò)對(duì)吊蘭的觀察并結(jié)合以往研究成果，可用細(xì)長(zhǎng)的彎曲圓柱體模擬吊蘭花莖，花梗也可看成細(xì)小的彎曲柱體，雄蕊可看成由稍彎的細(xì)柱體和橢球體連接而成。

圖4（a）為采用彎曲柱體構(gòu)造的花莖模型，其彎曲度為1.4，跨度為1.25π（π／0.8），由15段小圓柱體拼接而成，其狀恰似半個(gè)周期內(nèi)的正弦函數(shù)曲線。同理花梗和花絲的模型見(jiàn)圖4（b）和（c），在實(shí)際應(yīng)用中要對(duì)模型進(jìn)行相應(yīng)的縮放。雄蕊模型頂端花藥采用橢球體來(lái)模擬，如圖4（d）所示。

圖4 吊蘭附屬組織器官模型

3 吊蘭花朵及植株造型

花朵的建模主要考慮花瓣的重建及排列算法；植株的建模主要考慮各組織器官之間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。吊蘭花小，呈白色，常2～4朵簇生，疏離地散生于花序軸上，單層花，花瓣六枚，鑷合狀排列，雄蕊6枚；花梗關(guān)節(jié)位于中部至上部；葉自根際叢生，有時(shí)在花莖上部節(jié)上簇生長(zhǎng)2～8cm的條形葉叢。因其葉簇似花朵，四季常綠，故為著名的觀葉花卉[8]。

3.1 花朵抽象結(jié)構(gòu)模型和植株構(gòu)建

將花卉各組織器官模型按照一定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有機(jī)地連接起來(lái)就可生成三維花朵。其中最主要的是花瓣的組裝，這涉及到花瓣的排列方式，是否單層花瓣，每層花瓣數(shù)量，花瓣大小以及向外擴(kuò)展的角度等屬性。分形方法是最常用的花朵生成方法，其本質(zhì)是利用植物的自相似性，以某片花瓣作為初始元，經(jīng)過(guò)不同的縮放、平移、旋轉(zhuǎn)操作得到初始元的若干復(fù)制，從而組成一朵花。因此，定義單片花瓣模型的屬性:｛偏移角，旋轉(zhuǎn)角，縮放比｝，如圖5所示。吊蘭花朵的抽象結(jié)構(gòu)定義詳見(jiàn)表3。

吊蘭花為單層鑷合狀排列，花瓣六枚。取petalNum＝6，相鄰花瓣間夾角為60度，因是單層花，設(shè)rotateAng＝autorotAng＝0。rdFactor和offsetAng結(jié)合生成[offset－Ang－rdFactor，offsetAng＋rdFactor]范圍內(nèi)的隨機(jī)偏移角，見(jiàn)式 （7）

圖5 花瓣的偏移角和旋轉(zhuǎn)角

表3 吊蘭花朵抽象結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)不同隨機(jī)偏移角構(gòu)造的吊蘭花側(cè)視圖見(jiàn)圖6。吊蘭葉簇構(gòu)造過(guò)程同花朵構(gòu)造過(guò)程相似，不再贅述。生成的葉簇模型見(jiàn)圖7。根據(jù)吊蘭植株的自相似原理，吊蘭花莖頂端著生的小植株與主體葉簇外形具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，故將生成的葉簇模型進(jìn)行適當(dāng)縮放后作為花莖頂端的小植株。吊蘭花朵簇生在花莖頂端小植株4周，本例中設(shè)置花朵數(shù)目為4。一株吊蘭約有3～10個(gè)走莖，本例取走莖數(shù)目為3，完整的吊蘭植株模型見(jiàn)圖8（a）。

3.2 應(yīng)用顯示列表加快渲染速度

隨著花瓣建模精度的增加和場(chǎng)景中渲染的模型數(shù)目的增多，渲染速度明顯變慢，這是因?yàn)槊看嗡⑿露家匦掠?jì)算每片花瓣和葉片模型上的坐標(biāo)點(diǎn)，這無(wú)疑會(huì)極大的占用CPU，影響渲染速度。為解決這一問(wèn)題，采用OpenGL顯示列表技術(shù)，將花瓣、葉片的求值過(guò)程放在顯示列表中存儲(chǔ)起來(lái)。顯示列表中的OpenGL語(yǔ)句可以一次編譯，多次執(zhí)行，即只在首次調(diào)用顯示列表時(shí)計(jì)算一次列表中相應(yīng)語(yǔ)句，當(dāng)再次調(diào)用顯示列表時(shí)可不用計(jì)算直接執(zhí)行。在吊蘭建模過(guò)程中，葉片、花瓣模型需要多次繪制，可分別建立花瓣和葉片的顯示列表，將計(jì)算得到的模型數(shù)據(jù)暫存在緩存中，作為初始模型；在構(gòu)造吊蘭花朵模型和植株模型時(shí)，只需對(duì)初始模型進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、平移等操作就可得到初始模型的若干 “變異”復(fù)制。因此，應(yīng)用顯示列表可以顯著降低CPU的使用，從而提高程序性能。

圖6 不同偏移角下的吊蘭花側(cè)視

圖7 吊蘭葉簇

3.3 真實(shí)感渲染

僅僅構(gòu)造了三維幾何模型尚不能表現(xiàn)吊蘭的真實(shí)形態(tài)，還需要進(jìn)行真實(shí)感渲染。紋理映射技術(shù)是真實(shí)感渲染的一個(gè)重要部分，運(yùn)用它可以方便地制作出極具真實(shí)感的圖形而不必花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間來(lái)考慮物體表面的細(xì)節(jié)。紋理映射的過(guò)程包括:定義紋理對(duì)象；控制濾波；設(shè)置映射方式；繪制場(chǎng)景并加載紋理，設(shè)置頂點(diǎn)的紋理坐標(biāo)和幾何坐標(biāo)。本例中利用Photoshop從微距拍攝的吊蘭圖片中提取所需的紋理，并應(yīng)用OpenGL中的MipMapping技術(shù)將.bmp格式的紋理圖片映射到模型表面。最后利用OpenGL光照模型為渲染場(chǎng)景添加光照效果，使構(gòu)造的虛擬花卉模型更加逼真。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)以吊蘭為研究對(duì)象，采用C＋＋語(yǔ)言并結(jié)合Open－GL圖形庫(kù)在Visual Studio 2008平臺(tái)下實(shí)現(xiàn)了吊蘭植株的真實(shí)感建模。其中葉片、花瓣的紋理貼圖從微距拍攝的實(shí)物照片中提取并經(jīng)PS軟件處理后得到，幾何建模數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)室種植的吊蘭進(jìn)行實(shí)際測(cè)量并結(jié)合理論數(shù)據(jù)設(shè)定。應(yīng)用文中介紹的曲柱體建模方法，通過(guò)擬合1.25π內(nèi)的正弦函數(shù)曲線 （截圖未展現(xiàn)全部），并在頂端著生4朵花、1叢葉簇，構(gòu)建的吊蘭走莖如圖9（a）所示。經(jīng)過(guò)與圖9（b）拍攝的走莖照片對(duì)照表明，正弦曲線能夠較真實(shí)的展現(xiàn)走莖的彎曲形態(tài)。根據(jù)文中相應(yīng)建模方法，結(jié)合所獲取數(shù)據(jù)，進(jìn)行真實(shí)感渲染后的完整虛擬吊蘭植株如圖8（a）所示，圖8（b）為拍攝的吊蘭照片。由可視化建模結(jié)果同實(shí)物照片的對(duì)比圖可看出，所構(gòu)造的三維模型逼真地再現(xiàn)了吊蘭的形態(tài)特征，真實(shí)感較好。

圖8 吊蘭植株渲染效果對(duì)比

圖9 吊蘭走莖渲染效果對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以虛擬吊蘭建模為例，介紹了虛擬花卉建模過(guò)程和可視化方法。用Bezier曲面實(shí)現(xiàn)了吊蘭花瓣和葉片的模擬，針對(duì)難以提取特征控制點(diǎn)的問(wèn)題，提出了基于OpenGL拾取技術(shù)交互式微調(diào)控制點(diǎn)的方法，進(jìn)而快速鎖定特征控制點(diǎn)，構(gòu)建滿足需求的曲面形狀。設(shè)計(jì)了基于正弦函數(shù)曲線擬合的通用的彎曲柱體生成算法，通過(guò)改變參數(shù)生成不同彎曲度的花莖和花梗。在花朵模型構(gòu)建中，應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)控制生成每片花瓣的隨機(jī)偏移角，從而彌補(bǔ)了分形花顯得過(guò)于規(guī)則的不足；OpenGL中的拾取技術(shù)、顯示列表技術(shù)的應(yīng)用增強(qiáng)了系統(tǒng)交互性，提高了建模速度。本文沒(méi)有考慮組織器官的碰撞檢測(cè)問(wèn)題，這將是下一步努力的方向。

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