李竹文，戴煥云

(西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031)

有關(guān)列車脫軌的理論與試驗(yàn)研究成果豐碩［1］，最早研究脫軌問題的法國科學(xué)家Nadal根據(jù)車輪出現(xiàn)爬軌趨勢的靜力平衡條件，定義了車輪爬軌所需的最小脫軌系數(shù)，即著名的 Nadal公式［2］。盡管 Nadal準(zhǔn)則一直被廣泛采用，但它較保守，求得的脫軌系數(shù)不能很好地反映車輪脫軌的安全性［3-5］。試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，即使運(yùn)行車輛脫軌系數(shù)大大超過了Nadal脫軌評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，但車輛也未出現(xiàn)明顯的脫軌現(xiàn)象;而對(duì)脫軌事故的調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)脫軌車輛和事故發(fā)生地點(diǎn)的線路狀態(tài)往往符合現(xiàn)有安全標(biāo)準(zhǔn)。

脫軌系數(shù)的推導(dǎo)是基于單輪對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)條件，這與當(dāng)今車輛的實(shí)際運(yùn)行狀況有很大差別。高速車輛輪軌間的動(dòng)態(tài)作用效應(yīng)較強(qiáng)，難以僅用一個(gè)簡單的脫軌系數(shù)來揭示動(dòng)態(tài)脫軌機(jī)理。由于輪軌關(guān)系非常復(fù)雜，影響脫軌的因素較多，至今人們對(duì)脫軌的機(jī)理并未完全掌握。因此，有必要對(duì)現(xiàn)行的脫軌評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)和方法重新認(rèn)識(shí)和分析，尋求更為合理和直觀的評(píng)判方法。突變理論為脫軌理論的研究提供了新思路，本文應(yīng)用突變理論中的突變模型，綜合考慮影響列車脫軌的幾個(gè)因素，建立列車脫軌突變模型對(duì)脫軌問題進(jìn)行分析。

1 突變理論簡介

突變理論(Catastrophe Theory)是法國數(shù)學(xué)家Thom于20世紀(jì)70年代提出的一種拓?fù)鋵W(xué)理論［6］，用于研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在連續(xù)發(fā)展過程中出現(xiàn)突然變化的現(xiàn)象，解釋突然變化與連續(xù)變化因素之間的關(guān)系，能直接處理不連續(xù)性的問題，適用于內(nèi)部作用機(jī)理未知系統(tǒng)的研究。它以拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論等數(shù)學(xué)理論為主要工具，建立突變模型，描述現(xiàn)實(shí)世界某些事物形態(tài)、結(jié)構(gòu)突然變化的規(guī)律。突變理論認(rèn)為突變與漸變的本質(zhì)區(qū)別是系統(tǒng)勢函數(shù)在臨界點(diǎn)的附近有無“不連續(xù)”，通過分析分叉集的性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)對(duì)突變現(xiàn)象的界定與控制［7-8］。Thom在突變理論中研究了初等函數(shù)的分類問題，通過建立微分方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，對(duì)梯度系統(tǒng)中的奇點(diǎn)進(jìn)行了分類。在最近幾十年學(xué)者不僅將突變理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理等自然科學(xué)領(lǐng)域中，還將它應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及人文科學(xué)等領(lǐng)域，均取得了豐碩成果［9-11］。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大、數(shù)目的增多造成了系統(tǒng)之間的關(guān)系復(fù)雜化，因此對(duì)系統(tǒng)之間關(guān)系的研究也變得越來越困難。突變理論在解決類似的問題時(shí)具有一定的優(yōu)勢。根據(jù)突變理論的研究對(duì)象、發(fā)展歷史及其應(yīng)用領(lǐng)域來看，突變理論在非線性科學(xué)中是一種很有用的數(shù)學(xué)工具。

1.1 突變特征

突變現(xiàn)象通常有幾個(gè)基本的特征:①多模態(tài)。系統(tǒng)狀態(tài)空間中可能出現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，因而在改變參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)才可能發(fā)生突變。②不可達(dá)性。在不同穩(wěn)定狀態(tài)中存在著不穩(wěn)定的狀態(tài)，系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)向另一個(gè)穩(wěn)態(tài)躍遷的過程中直接跨過了這個(gè)態(tài)，不穩(wěn)定的狀態(tài)在實(shí)際中是不可達(dá)的。③發(fā)散?？刂茀?shù)數(shù)值的有限變化會(huì)導(dǎo)致狀態(tài)變量平衡位置數(shù)值的有限變化。不同控制參數(shù)的取值使系統(tǒng)發(fā)生變化，而從一個(gè)穩(wěn)態(tài)向另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)變是突然完成的。通常，控制參數(shù)數(shù)值的一個(gè)小攝動(dòng)只引起狀態(tài)變量的初值和終值的微小變化，但在退化臨界點(diǎn)附近，控制參數(shù)初值的微小變化卻可能導(dǎo)致狀態(tài)變量終值的很大變化。物理過程的這種對(duì)控制參數(shù)路徑攝動(dòng)的不穩(wěn)定性稱為發(fā)散。④突跳。系統(tǒng)的突跳性是最常觀察到也是最容易使人想到的可以應(yīng)用突變理論的突變指征。突跳意味著系統(tǒng)勢能在很短時(shí)間內(nèi)有一個(gè)很大的改變。⑤滯后。突變的發(fā)生與控制變量變化的方向有關(guān)，控制變量從一個(gè)方向變化和控制變量從另外一個(gè)方向變化發(fā)生突變的狀態(tài)是不相同的，有滯后現(xiàn)象。在分岔曲線附近，控制參量變化路徑的微小不同會(huì)引起系統(tǒng)產(chǎn)生完全不相同的狀態(tài)。

1.2 突變模型

系統(tǒng)中出現(xiàn)兩個(gè)以上突變特征時(shí)，可以考慮采用突變模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過選取狀態(tài)變量和控制變量，建立突變模型對(duì)問題進(jìn)行求解。具體的突變模型及使用參數(shù)如下:

1)折疊突變系統(tǒng)模型

勢函數(shù)V(x)=x3+ux，1個(gè)狀態(tài)變量x，1個(gè)控制變量u，突變流形

2)尖點(diǎn)突變系統(tǒng)模型

V(x)=x4+ux2+vx，1個(gè)狀態(tài)變量，2個(gè)控制變量u，v，突變流形

3)燕尾突變系統(tǒng)模型

V(x)=x5+ux3+vx2+wx，1個(gè)狀態(tài)變量，3個(gè)控制變量 u，v，w，突變流形

4)蝴蝶突變系統(tǒng)模型

V(x)=x6+tx4+ux3+vx2+wx，1 個(gè)狀態(tài)變量，4個(gè)控制變量 t，u，v，w，突變流形

5)雙曲臍點(diǎn)突變模型

V(x，y)=x3+y3+wxy－ux－vy，2個(gè)狀態(tài)變量 x和y，3個(gè)控制變量，突變流形

6)橢圓臍點(diǎn)突變模型

V(x，y)=(1/3)x3－ x2y+w(x2+y2)－ ux+vy，2個(gè)狀態(tài)變量，3個(gè)控制變量，突變流形

7)拋物臍點(diǎn)突變模型

V(x，y)=y4+x2y+wx2+ty2－ux－vy，2個(gè)狀態(tài)變量，4個(gè)控制變量，突變流形

式中，V(x)表示一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量x和y的勢函數(shù)，狀態(tài)變量的系數(shù)u、v、w、t表示該狀態(tài)變量的控制變量(更復(fù)雜的系統(tǒng)一般不適用此方法)。

2 列車脫軌突變模型

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的勢函數(shù)表示系統(tǒng)具有某種趨向的能力，可以描述為V=V(x，c)，其中x為系統(tǒng)狀態(tài)變量(系統(tǒng)輸出變量)，c為系統(tǒng)控制變量(系統(tǒng)外部輸入變量)。當(dāng)勢函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為0，其 Hessen矩陣不等于0時(shí)的點(diǎn)稱為孤立臨界點(diǎn)(Morse點(diǎn))，系統(tǒng)的狀態(tài)呈連續(xù)光滑的變化;當(dāng)勢函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)及Hessen矩陣均為0時(shí)的點(diǎn)稱為非孤立臨界點(diǎn)(非Morse點(diǎn))，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生突變。因此突變理論的關(guān)鍵便是尋求非孤立臨界點(diǎn)構(gòu)成的集合(分叉集)，對(duì)其進(jìn)行分析以揭示系統(tǒng)突變的形式及發(fā)生的機(jī)制。

列車運(yùn)行過程中脫軌是一個(gè)復(fù)雜的變化過程。按照系統(tǒng)論觀點(diǎn)，一方面，列車在軌道運(yùn)行過程中持續(xù)受到脫軌系數(shù)和沖角兩個(gè)因素的共同作用，這兩個(gè)要素和列車運(yùn)行狀態(tài)一起組成了一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng);另一方面，列車脫軌是一個(gè)連續(xù)性與突變性相統(tǒng)一的發(fā)展過程。連續(xù)性指系統(tǒng)內(nèi)部“列車運(yùn)行狀態(tài)—脫軌系數(shù)—沖角”各要素的不安全狀態(tài)變化是一個(gè)連續(xù)積累漸變的過程，具有一定的規(guī)律性;而導(dǎo)致的結(jié)果(列車脫軌)卻是直接由安全狀態(tài)到危險(xiǎn)狀態(tài)的不連續(xù)突變結(jié)果。由此可見，列車脫軌的發(fā)生可以理解為系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)脫軌系數(shù)和沖角(控制參數(shù))的連續(xù)變化引起系統(tǒng)狀態(tài)的突然質(zhì)變，系統(tǒng)從安全運(yùn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)化為脫軌狀態(tài)實(shí)際上是一種突變現(xiàn)象。因此，將突變理論應(yīng)用于列車脫軌成因機(jī)理分析中，建立列車脫軌突變模型來解釋和描述列車脫軌的發(fā)生過程是可行和必要的。

2.1 列車脫軌尖點(diǎn)突變模型的建立

基于以上分析，列車在運(yùn)行過程中主要受到脫軌系數(shù)與沖角的共同作用，此時(shí)列車的運(yùn)行狀態(tài)是非控制的。列車脫軌勢函數(shù)V=V(x，c)，其中V表示列車運(yùn)行系統(tǒng)保持穩(wěn)定運(yùn)行趨勢的能力;x表示列車運(yùn)行系統(tǒng)安全狀態(tài)變量，表示系統(tǒng)總體是否安全，為一維變量;c表示影響列車運(yùn)行系統(tǒng)安全狀態(tài)變化的控制變量即前面提到的列車脫軌系數(shù)和沖角，為二維變量。因此列車脫軌事故系統(tǒng)是通過二維控制變量(脫軌系數(shù)和沖角)以及一維狀態(tài)變量(列車運(yùn)行系統(tǒng)安全狀態(tài))來共同反映列車運(yùn)行系統(tǒng)的勢能。根據(jù)前文中提到的各突變模型的維數(shù)分析，應(yīng)選用尖點(diǎn)突變模型對(duì)列車脫軌事故進(jìn)行模擬。在用突變控制理論研究列車在軌道運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，脫軌系數(shù)與沖角為控制變量，分別設(shè)為u和v，已知列車運(yùn)行狀態(tài)x為狀態(tài)變量，則列車在運(yùn)行中的突變特性可以通過尖點(diǎn)突變模型來描述，尖點(diǎn)突變模型的勢函數(shù)為

狀態(tài)空間是三維的(x，u，v)，狀態(tài)變量為 x，控制變量有兩個(gè)，即u和v。由勢函數(shù)對(duì)狀態(tài)變量求導(dǎo)得平衡曲面M的方程

它在三維空間(x，u，v)中的圖形稱為突變流形，這是一個(gè)有褶皺的曲面，列車運(yùn)行系統(tǒng)的所有臨界點(diǎn)都在該曲面上，而在不同的區(qū)域內(nèi)平衡位置也是不同的。系統(tǒng)的安全狀態(tài)變量x受到控制變量u和v的約束，隨控制變量的變化而變化。在突變理論中，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，安全狀態(tài)變量取得唯一極值，此時(shí)對(duì)應(yīng)于上下葉的平衡位置是穩(wěn)定的;當(dāng)系統(tǒng)的安全狀態(tài)變量x多于一個(gè)極值時(shí)，系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，此時(shí)對(duì)應(yīng)于中葉的勢函數(shù)取得最大值。

對(duì)平衡曲面方程M求導(dǎo)，得到的非孤立奇點(diǎn)集S滿足方程

且是平衡曲面M的一個(gè)子集。

聯(lián)立

消去 x，得

此式即為分叉集B，是奇點(diǎn)集S在控制平面u—v上的投影。由于分叉集是同時(shí)滿足平衡曲面方程和平衡曲面對(duì)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)方程，故分叉集在控制平面上的表達(dá)式為

寫成分解的形式為

把列車運(yùn)行狀態(tài)系統(tǒng)的平衡曲面M和分叉集B繪制出來，得到列車脫軌尖點(diǎn)突變模型，如圖1所示。

圖1 列車脫軌尖點(diǎn)突變模型

2.2 突變分析

綜上所述，列車運(yùn)行過程中在脫軌系數(shù)和沖角作用下的突變機(jī)制可以通過尖點(diǎn)突變模型圖進(jìn)行定性描述。列車運(yùn)行的狀態(tài)由坐標(biāo)空間中的點(diǎn)表示，故相點(diǎn)必在平衡曲面上。圖1中的曲面表示列車運(yùn)行過程中系統(tǒng)平衡曲面，底平面是脫軌系數(shù)和沖角兩個(gè)控制變量所在的平面，控制平面上的曲線即為分叉集。平衡曲面的上下兩葉是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，中葉是不穩(wěn)定的。平衡曲面的上葉代表列車運(yùn)行過程中在受脫軌系數(shù)和沖角作用前的穩(wěn)定狀態(tài);中葉帶有褶皺部分為不可達(dá)區(qū)域，為一對(duì)多區(qū)域，表示系統(tǒng)發(fā)生突變現(xiàn)象，即發(fā)生列車脫軌;下葉代表列車運(yùn)行過程中在受脫軌系數(shù)和沖角作用后姿態(tài)發(fā)生突變脫軌后的另一穩(wěn)定狀態(tài)。中葉褶皺投影到底面控制平面，便得到分叉集，它形象地表明列車脫軌的發(fā)生條件，即當(dāng)列車運(yùn)行系統(tǒng)中的兩控制變量(脫軌系數(shù)和沖角)落入分叉集時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量x突變引發(fā)列車脫軌。所以穩(wěn)定的列車運(yùn)行狀態(tài)應(yīng)在曲面上葉或在曲面的下葉上，中葉對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定狀態(tài)，也就是列車運(yùn)行狀態(tài)發(fā)生突變的那一刻的狀態(tài)。

當(dāng)控制軌跡越過分叉點(diǎn)集，若相點(diǎn)恰好在曲面終止的邊緣上(曲面回折形成的中葉處)，則它必定跳躍到另一葉上，這樣就導(dǎo)致了列車運(yùn)行狀態(tài)x的突變。也就是當(dāng)點(diǎn)P在控制空間上移動(dòng)時(shí)，勢函數(shù)V(x)值為最小值，對(duì)應(yīng)于狀態(tài)的穩(wěn)定平衡;當(dāng)P在尖點(diǎn)范圍(分叉集B)里時(shí)，勢函數(shù)V(x)有兩個(gè)極小值，它們互相牽引，由Maxwell約定，系統(tǒng)總是轉(zhuǎn)移到使它的勢全局極小的穩(wěn)定平衡位置。故在此不穩(wěn)定狀態(tài)下，列車運(yùn)行狀態(tài)變量x不是跳回到平衡曲面上葉就是跳到平衡曲面的下葉，最終導(dǎo)致了系統(tǒng)狀態(tài)的突變。

將分叉集分為兩部分，如圖2所示。左半部分為列車由穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)向脫軌狀態(tài)變化，右半部分為列車由突跳狀態(tài)向穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)變化。列車脫軌突變從起動(dòng)到發(fā)展的過程就是從上葉到下葉躍遷的過程。圖2中分叉集的陰影部分為引發(fā)突變發(fā)生列車脫軌的危險(xiǎn)區(qū)域。脫軌系數(shù)和沖角為控制變量，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡在控制空間內(nèi)，為一個(gè)平面。隨著控制變量u和v的變化，(u，v)點(diǎn)劃出一條控制軌跡。同時(shí)，相點(diǎn)沿著控制軌跡上方的平衡曲面上的一條軌跡移動(dòng)。u和v的平穩(wěn)變化幾乎總引起x的平穩(wěn)變化。

圖2 分叉集

由圖2可以得到:隨著沖角的增大，危險(xiǎn)區(qū)域變大，脫軌的危險(xiǎn)性增大;對(duì)應(yīng)一個(gè)較小的脫軌系數(shù)值，在沖角很大時(shí)，脫軌的危險(xiǎn)性依然存在;在沖角很小時(shí)，危險(xiǎn)區(qū)域邊界對(duì)應(yīng)的脫軌系數(shù)比沖角大時(shí)對(duì)應(yīng)的脫軌系數(shù)值要大;減小沖角，從而減小危險(xiǎn)區(qū)域，有利于防止列車脫軌。

分叉集右半部分表示列車運(yùn)行狀態(tài)變量x跳回到平衡曲面的上葉，即為列車跳起軌道運(yùn)行一段時(shí)間后沒有脫軌，而是車輪掉落回軌道，重新繼續(xù)穩(wěn)定運(yùn)行，也就是說列車在脫軌系數(shù)和沖角作用下回到了初始的穩(wěn)定狀態(tài)，稱此突變?yōu)橛幸嫱蛔?，即列車在運(yùn)行過程中經(jīng)受住了脫軌系數(shù)和沖角的共同作用而運(yùn)行狀態(tài)未發(fā)生變化。這樣就解釋了在調(diào)查列車脫軌時(shí)發(fā)現(xiàn)列車在軌道上表面運(yùn)行一小段距離又掉落回軌道的現(xiàn)象。

3 實(shí)例仿真分析

本文選用某型列車應(yīng)用Simpack動(dòng)力學(xué)軟件進(jìn)行多體系統(tǒng)建模，應(yīng)用突變理論分析列車脫軌現(xiàn)象?？紤]車體質(zhì)量、構(gòu)架和輪對(duì)的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心幾何位置、懸掛參數(shù)等，建立車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真模型。對(duì)該模型在一定的運(yùn)行速度工況下施加軌道激勵(lì)譜后，分別對(duì)其脫軌系數(shù)、沖角等特性分3種工況進(jìn)行計(jì)算。工況一、二、三對(duì)應(yīng)速度等級(jí)分別為150，200和250 km/h。各工況脫軌系數(shù)時(shí)間歷程和沖角時(shí)間歷程見圖3～圖5。

對(duì)圖3～圖5在不同的速度級(jí)別下運(yùn)行的脫軌系數(shù)值和沖角進(jìn)行分析，得到脫軌系數(shù)隨沖角的變化分布情況，見圖6～圖8。

圖3 工況一

圖4 工況二

圖5 工況三

圖6 工況一

圖7 工況二

圖8 工況三

由圖6～圖8可得:對(duì)應(yīng)于不同速度等級(jí)，脫軌危險(xiǎn)區(qū)域主要集中分布在正沖角部分，負(fù)沖角有利于防止脫軌;對(duì)于較小的沖角，脫軌系數(shù)超過臨界脫軌系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)列車脫軌危險(xiǎn)性不大;對(duì)于較大的沖角，雖然脫軌系數(shù)未超過脫軌系數(shù)臨界值，列車脫軌危險(xiǎn)性卻很大。在相同脫軌系數(shù)下，減小沖角有利于防止脫軌。

4 結(jié)語

本文利用突變理論中的尖點(diǎn)突變模型，以脫軌系數(shù)和沖角為控制變量，建立列車脫軌突變模型，研究列車在行駛過程中受到控制變量作用運(yùn)行狀態(tài)發(fā)生突變的情形。通過建立車輛動(dòng)力學(xué)模型，分析了在不同速度下列車脫軌系數(shù)和沖角的分布，以驗(yàn)證突變分析結(jié)果。

本文所建立的列車脫軌突變模型，是列車脫軌機(jī)理研究的一種新方法，同時(shí)也將突變理論開拓性地應(yīng)用到列車脫軌分析中，提出一種全新的列車脫軌解釋。由于輪軌問題的復(fù)雜性，影響列車脫軌的因素眾多，列車脫軌突變過程十分復(fù)雜，建立更為具體的列車脫軌評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)將是以后重點(diǎn)研究的目標(biāo)。

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