吳 寧，董孝卿，林鳳濤，文 彬，王悅明

（1 中國鐵道科學(xué)研究院 機(jī)車車輛研究所，北京100081；2 華東交通大學(xué) 載運(yùn)工具與裝備省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌330013）

輪軌幾何接觸是解釋鐵道車輛動(dòng)力學(xué)性能的基礎(chǔ)，等效錐度是輪軌幾何接觸中的重要參數(shù)。當(dāng)鐵道車輛運(yùn)行在直線線路或大半徑曲線線路上時(shí)，等效錐度決定著輪軌之間的匹配程度［1-2］。

對(duì)我國多條線路上的動(dòng)車組振動(dòng)狀態(tài)及車輪磨耗跟蹤研究的結(jié)果表明，輪軌匹配等效錐度的大小與動(dòng)車組運(yùn)行過程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)密切相關(guān)。如等效錐度過小導(dǎo)致動(dòng)車組運(yùn)用過程中出現(xiàn)晃車現(xiàn)象［3-4］，等效錐度過大引起動(dòng)車組車輛構(gòu)架橫向振動(dòng)報(bào)警［5］。因此，定期獲取運(yùn)用動(dòng)車組車輪廓形并準(zhǔn)確計(jì)算等效錐度是很必要的。

在關(guān)于輪軌關(guān)系的研究領(lǐng)域內(nèi)，等效錐度是一個(gè)重要參數(shù)。等效錐度與鐵道車輛的動(dòng)力學(xué)性能有著密切的聯(lián)系，歐洲標(biāo)準(zhǔn)UIC518［6］將等效錐度作為車輛型式試驗(yàn)的關(guān)鍵參數(shù)并規(guī)定了試驗(yàn)過程中等效錐度的范圍。國內(nèi)鐵道車輛領(lǐng)域內(nèi)很多研究工作探討了等效錐度和車輛動(dòng)力學(xué)性能的關(guān)系［7-11］。文獻(xiàn)［12］比較了幾種等效錐度計(jì)算方法的差別。

對(duì)于確定的輪軌廓形和參數(shù)，等效錐度的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該是確定的。等效錐度算法并不局限于一種，且計(jì)算結(jié)果受輪軌廓形平滑插值方法影響較大。因此需要有相關(guān)驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)對(duì)等效錐度算法進(jìn)行驗(yàn)證，一種等效錐度算法只有在完全通過相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證后其計(jì)算結(jié)果才能被認(rèn)可。歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN 15302用于等效錐度算法的驗(yàn)證［1］，UIC519給出了等效錐度的計(jì)算方法［2］。

1 等效錐度的定義

錐形踏面輪對(duì)在線路上具有相對(duì)固定的正弦運(yùn)動(dòng)軌跡，Klingel理論指出這一運(yùn)動(dòng)軌跡的波長(zhǎng)取決于輪對(duì)踏面的錐度角以及左右輪軌接觸斑之間的距離，即Klingel公式：

式中λ為輪對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的波長(zhǎng)，m；e為左右輪軌接觸斑之間的距離，即為跨距，m；r0為輪對(duì)處在對(duì)中位置時(shí)的車輪滾動(dòng)圓半徑，m；γ為車輪踏面的錐度角，弧度。

實(shí)際運(yùn)用中的車輪踏面具有變化的錐度角，可以采用對(duì)左右車輪滾動(dòng)圓半徑差（取決于輪對(duì)橫移量）進(jìn)行積分的方法獲得輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)，再將該波長(zhǎng)與Klingel理論中的相應(yīng)波長(zhǎng)對(duì)照，得出輪對(duì)等效錐度。即：

式中tanγe為等效錐度。

等效錐度定義為給定輪對(duì)運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)相同的錐形車輪輪對(duì)的車輪錐度角正切值。如圖1所示。

圖1 等效錐度定義

等效錐度的實(shí)質(zhì)是非錐形踏面輪對(duì)在每一橫移幅值下均等效于一個(gè)錐形踏面輪對(duì)。其等效的依據(jù)是兩者的運(yùn)動(dòng)軌跡波長(zhǎng)相等。

2 等效錐度的計(jì)算方法

等效錐度計(jì)算的流程見圖2。主要分為以下幾個(gè)步驟：（1）對(duì)輪軌廓形進(jìn)行平滑和插值處理；（2）根據(jù)輪軌廓形和位置參數(shù)計(jì)算得到輪軌接觸點(diǎn)；（3）根據(jù)輪軌接觸點(diǎn)得到與輪對(duì)橫移量對(duì)應(yīng)的左右車輪滾動(dòng)圓半徑差；（4）基于左右車輪滾動(dòng)圓半徑差計(jì)算結(jié)果，計(jì)算等效錐度。

圖2 等效錐度計(jì)算流程

以上4個(gè)步驟中，每一步均可采用不同的計(jì)算方法。步驟（1）可選擇采用通用的數(shù)學(xué)平滑插值處理方法，步驟（2）和步驟（3）采用的計(jì)算方法均為一般意義上的解析幾何方法。以下簡(jiǎn)要由滾動(dòng)圓半徑差計(jì)算等效錐度步驟（4）的2種方法（圖3）。

方法1：半徑差函數(shù)線性回歸算法。根據(jù)滾動(dòng)圓半徑差積分確定輪對(duì)橫移幅值和橫移量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再由橫移幅值對(duì)應(yīng)的橫移量確定滾動(dòng)圓半徑差的線性回歸范圍，對(duì)該范圍的滾動(dòng)圓半徑差進(jìn)行線性擬合，擬合后的斜率之半即為對(duì)應(yīng)輪對(duì)橫移幅值下的等效錐度。

方法2：非線性微分方程積分算法。根據(jù)滾動(dòng)圓半徑差積分確定輪對(duì)橫移幅值和橫移量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再由邊界條件（即橫移幅值對(duì)應(yīng)的最大橫移量和最小橫移量對(duì)應(yīng)的搖頭角Ψ均為0）計(jì)算求解搖頭角Ψ時(shí)的常數(shù)C，得到常數(shù)C后積分確定搖頭角Ψ與橫移量y的函數(shù)，之后再進(jìn)行積分，確定出輪對(duì)橫移幅值對(duì)應(yīng)的輪對(duì)運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)λ，最后由公式（2）得到等效錐度tanγ。

圖3 由滾動(dòng)圓半徑差計(jì)算等效錐度的2種算法

3 等效錐度算法編程實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上面介紹的等效錐度計(jì)算方法，采用方法1實(shí)現(xiàn)了等效錐度計(jì)算的算法編程，以適應(yīng)批量計(jì)算實(shí)測(cè)輪軌廓形等效錐度的需要。

（1）輪軌廓形的插值平滑處理

輪軌廓形的插值平滑處理主要根據(jù)輪軌廓形坐標(biāo)數(shù)據(jù)及輪軌幾何參數(shù)（軌距，輪對(duì)內(nèi)側(cè)距，軌底坡等）實(shí)現(xiàn)輪軌廓形坐標(biāo)的插值、平滑及輪軌位置定位。采用兩次插值處理，一次平滑處理實(shí)現(xiàn)輪軌廓形坐標(biāo)插值平滑處理：先對(duì)初始輪軌廓形坐標(biāo)值進(jìn)行插值處理，接著對(duì)插值處理后的坐標(biāo)進(jìn)行平滑處理，最后再對(duì)平滑處理后的坐標(biāo)進(jìn)行插值。其中平滑處理采用濾波的方法實(shí)現(xiàn)。插值平滑處理完成后根據(jù)最終的輪軌廓形坐標(biāo)及輪軌幾何參數(shù)輸出用于計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)的左右側(cè)輪軌廓形坐標(biāo)。

（2）計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)

采用左右側(cè)輪軌垂向距離最小極值的方法計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)，具體的計(jì)算流程見圖4。輪對(duì)橫移量一般從-20mm計(jì)算到20mm。左右側(cè)輪軌最小垂向距離之差絕對(duì)值的控制變量ε是一個(gè)很小的正數(shù)，其值越小，輪軌接觸點(diǎn)的計(jì)算精度越高。但若ε過小，則可能得到錯(cuò)誤的輪對(duì)側(cè)滾角，從而得到錯(cuò)誤的輪軌接觸點(diǎn)。ε的選擇與輪軌插值點(diǎn)橫向坐標(biāo)間距有關(guān)，如輪軌插值點(diǎn)橫向坐標(biāo)間距取0.1mm時(shí)，ε可取0.01mm。圖5為計(jì)算得到的輪軌接觸點(diǎn)示意圖。

（3）計(jì)算左右車輪滾動(dòng)圓半徑差

在得到輪軌接觸點(diǎn)后，根據(jù)輪對(duì)橫移量對(duì)應(yīng)的左右車輪上接觸點(diǎn)可直接得到左右車輪滾動(dòng)圓半徑差。

（4）根據(jù)左右車輪滾動(dòng)圓半徑差計(jì)算等效錐度

等效錐度的實(shí)質(zhì)是非錐形踏面輪對(duì)在每一橫移幅值下均等效于一個(gè)錐形踏面輪對(duì)，等效錐度是輪對(duì)橫移幅值的函數(shù)，因此首先要確定輪對(duì)橫移量和輪對(duì)橫移幅值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

確定半徑差為0時(shí)對(duì)應(yīng)的橫移量yem，該橫移量對(duì)應(yīng)的輪對(duì)位置即為輪對(duì)相對(duì)于軌道的平衡位置。對(duì)半徑差進(jìn)行積分，積分S（y）=-∫Δr·dy分別從yem向橫移量正方向y+和負(fù)方向y-各進(jìn)行一次，確定出在輪對(duì)橫移振幅ym下輪對(duì)的最小橫移量yemin和最大橫移量yemax。對(duì)最小橫移量yemin和最大橫移量yemax之間的半徑差進(jìn)行直線擬合，擬合得到的斜率之半即為輪對(duì)橫移振幅ym下的等效錐度。

圖4 輪軌接觸點(diǎn)及計(jì)算流程

圖5 輪軌接觸點(diǎn)示意圖

如果Δr=f（y）特征在區(qū)間［yemin，yemax］內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱性較差，應(yīng)對(duì)每部分（正和負(fù)）分別進(jìn)行回歸得到兩個(gè)等效錐度值tanγe，p和tanγe，n，等效錐度可通過下式得到：

4 等效錐度算法的驗(yàn)證

由于計(jì)算等效錐度可采用不同的計(jì)算方法，且計(jì)算等效錐度的每一步均可選取不同的數(shù)學(xué)算法。對(duì)于確定的輪軌廓形及輪軌參數(shù)，等效錐度計(jì)算結(jié)果應(yīng)是確定的、穩(wěn)定的。因此必須采用相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)整個(gè)等效錐度算法進(jìn)行驗(yàn)證。一個(gè)具體的等效錐度算法只有完全通過相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證后才能用于實(shí)測(cè)輪軌廓形等效錐度的計(jì)算。

歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN 15302：2008規(guī)定了驗(yàn)證等效錐度算法的過程、驗(yàn)證采用的基準(zhǔn)輪軌廓形及采用基準(zhǔn)輪軌廓形計(jì)算得到的等效錐度基準(zhǔn)結(jié)果和容許誤差。采用EN 15302：2008對(duì)整個(gè)等效錐度算法程序進(jìn)行驗(yàn)證。整個(gè)驗(yàn)證過程共分為3步。

（1）采用EN 15302：2008附錄中給出的基準(zhǔn)輪軌廓形數(shù)據(jù)及匹配參數(shù)作為輸入，考核被驗(yàn)證的算法程序的計(jì)算結(jié)果是否在規(guī)定的容許誤差界定范圍內(nèi)。其目的是考核計(jì)算程序能否準(zhǔn)確地計(jì)算出等效錐度，即驗(yàn)證計(jì)算程序的準(zhǔn)確性。圖6給出了一個(gè)驗(yàn)證結(jié)果示例，本例中左側(cè)車輪廓形為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的車輪B廓形，右側(cè)車輪為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的車輪A廓形，軌道廓形為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的軌道A廓形。圖中同時(shí)給出了ADAMS軟件輪軌接觸計(jì)算模塊的計(jì)算結(jié)果。

圖6 等效錐度算法程序驗(yàn)證第1步圖例

（2）將EN 15302：2008附錄中定義的隨機(jī)誤差添加到基準(zhǔn)輪軌廓形數(shù)據(jù)中，考核被驗(yàn)證算法程序的計(jì)算結(jié)果是否在規(guī)定的容許誤差界定范圍內(nèi)。其目的是當(dāng)考核輪軌廓形有一定誤差時(shí)計(jì)算程序的計(jì)算結(jié)果是否穩(wěn)定，即驗(yàn)證計(jì)算程序的穩(wěn)定性。圖7給出了一個(gè)驗(yàn)證結(jié)果示例，本例中車輪廓形為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的車輪A廓形，軌道廓形為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的軌道A廓形。

圖7 等效錐度算法程序驗(yàn)證第2步圖例

（3）將EN 15302：2008附錄中定義的柵格誤差添加到基準(zhǔn)輪軌廓形數(shù)據(jù)中，考核被驗(yàn)證的算法程序計(jì)算結(jié)果是否在規(guī)定的容許誤差界定范圍內(nèi)。其目的是考核輪軌廓形數(shù)字化過程中引入柵格誤差后計(jì)算程序的計(jì)算結(jié)果是否穩(wěn)定，即驗(yàn)證計(jì)算程序能否用于實(shí)測(cè)輪軌廓形等效錐度的計(jì)算。圖7給出了一個(gè)驗(yàn)證結(jié)果示例，本例中車輪廓形為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的車輪A廓形，軌道廓形為標(biāo)準(zhǔn)附錄中的軌道A廓形。

圖8 等效錐度算法程序驗(yàn)證第3步圖例

5 結(jié)束語

詳細(xì)地介紹了等效錐度的定義、計(jì)算方法和算法驗(yàn)證過程。以期對(duì)等效錐度算法編程實(shí)現(xiàn)及算法程序驗(yàn)證有很好的參考作用。

［1］EN15302：2008，Railway applications-Method for determining the equivalent conicity［S］.

［2］UIC 519；2004；Method for determining the equivalent conicity［S］.

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［4］董孝卿，王悅明，王林棟，倪純雙，等.京津城際鐵路CRH3C型動(dòng)車組車體晃動(dòng)專題研究報(bào)告，TY字 第3056號(hào)［R］.北京：中國鐵道科學(xué)研究院機(jī)車車輛研究所，2011.

［5］康 熊，董孝卿，王悅明，文 彬.車輪外形磨耗及動(dòng)車組振動(dòng)狀態(tài)跟蹤研究，TY字第3217號(hào)［R］北京：中國鐵道科學(xué)研究院機(jī)車車輛研究所，2011.

［6］UIC518；2005；Test and approval of railway vehicles from the point of view of their dynamic behaviour-Safety-Track fatigue-Ride quality［S］.

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