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        基于攝動(dòng)隨機(jī)有限元的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

        2013-11-26 06:32:24莫文輝
        關(guān)鍵詞:正態(tài)協(xié)方差二階

        莫文輝

        (湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機(jī)械系,湖北 十堰 442002)

        0 導(dǎo)言

        機(jī)械零件材料性能參數(shù),幾何尺寸,受到的載荷都是隨機(jī)的。考慮隨機(jī)因素的有限元稱為隨機(jī)有限元。把隨機(jī)變量表示為確定部分和攝動(dòng)部分,利用Taylor級(jí)數(shù)根據(jù)一階攝動(dòng)法或二階攝動(dòng)法可得到有關(guān)計(jì)算式,該法被稱為攝動(dòng)隨機(jī)有限元[1][2][3],被很多學(xué)者所采用。

        考慮隨機(jī)因素影響,運(yùn)用攝動(dòng)隨機(jī)有限元,研究了結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

        1 隨機(jī)變量

        材料性能特性,幾何尺寸,所受載荷被看成獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。它們被表示為a1,a2,…ai…,an1。它們的均值為μ1,μ2,…μi…,μn1。它們的方差為σ21,σ22,…,σ2i,…,σ2n1。

        2 二階攝動(dòng)隨機(jī)有限元[3]

        如果剛度矩陣K包含一串的隨機(jī)變量a=[a1,a2,…,an]T

        K被展開為

        KIi,是K的偏導(dǎo)數(shù),定義如下

        如果F包含隨機(jī)變量,F(xiàn)也同樣被展開,位移u被展開為

        U0,UIi,由下列遞歸方程給出

        應(yīng)變?chǔ)舉和應(yīng)力σe也采用類似方法推導(dǎo)

        一階攝動(dòng)為

        具有均值

        協(xié)方差矩陣為

        位移二階攝動(dòng)為

        具有均值

        協(xié)方差矩陣為

        3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

        位移的約束條件

        設(shè)計(jì)變量的約束條件

        目標(biāo)函數(shù)f(x)是使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。x指設(shè)計(jì)變量。ρ是材料的密度。v是結(jié)構(gòu)的體積。μ{δt+△t},var{δt+△t}指位移的均值和方差的上界限xL和xU是設(shè)計(jì)變量的上下界限。

        4 計(jì)算實(shí)例

        圖1所示一個(gè)懸臂梁。長(zhǎng)度,寬度,高度,波松比,彈性模量,載荷F被看著正態(tài)隨機(jī)變量。它們的均值為1m,0.1m,0.05m,0.2,2×1011N/m2,100N。它們的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2,0.1,0.1,0.01,109,0.1。懸臂梁受的載荷為F。它被分解為400個(gè)矩形單元,具有505個(gè)節(jié)點(diǎn)。應(yīng)用懲罰函數(shù)法把約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問題。無(wú)約束優(yōu)化問題采用Powell方法。表1所示設(shè)計(jì)參數(shù)的比較。

        圖1 懸臂梁

        表1 設(shè)計(jì)參數(shù)比較

        5 結(jié)論

        材料性能參數(shù),幾何尺寸,受到的載荷看成正態(tài)隨機(jī)變量,運(yùn)用二階攝動(dòng)隨機(jī)有限元,給出了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。以懸臂梁為例進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算,優(yōu)化效果明顯。

        [1]Handa k,Anderson k.Application of finite element methods in statistical analysis of structures[C].Proc.3rd Int Conf.On Stuct.Safety and Reliability Trondheim,Norway 1981:409-17.

        [2]Shinozuka M,Deodatis G.Response Variability of stochastic finite element systems[J].J.Engng.Mech.ASCE.1988,114(3):499-519.

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        [4]莫文輝.機(jī)械振動(dòng)的隨機(jī)有限元方法[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),2009(3):318-324.

        [5]Mo wenhui.Stochastic finite element for structural vibration[J].Mathematical problems in engineering,2010(3):22-40.

        [6]莫文輝.機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)與隨機(jī)有限元[M].昆明:云南科技出版社,2010:127-156.

        [7]莫文輝.線性振動(dòng)的隨機(jī)有限元研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2009:13-30.

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