危清清 王耀兵 劉志全

（中國空間技術(shù)研究院，北京100094）

1 引言

空間機(jī)械臂主要由臂桿和關(guān)節(jié)組成，臂桿材料一般采用低密度、高模量的碳纖維復(fù)合材料，自身質(zhì)量不大，而關(guān)節(jié)一般由金屬材料制成，是空間機(jī)械臂減小質(zhì)量的重點對象。另一方面，空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)是空間機(jī)械臂動力提供、位置感知和機(jī)械連接的核心部件，是保證機(jī)械臂運動能力、運動精度和運動平穩(wěn)性的關(guān)鍵。關(guān)節(jié)剛度對整個機(jī)械臂剛度的影響很大［1］，所以空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)既是保證機(jī)械臂整體剛度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，又是有效減小質(zhì)量的重點對象，而保持剛度與減小質(zhì)量在一定程度上又相互矛盾。

空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)電機(jī)僅能提供幾牛頓米以內(nèi)的輸出力矩，若電機(jī)直接驅(qū)動，輸出力矩?zé)o法滿足機(jī)械臂輔助轉(zhuǎn)位、對接等任務(wù)中所需幾百到上千牛頓米的力矩需求，這使得空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)必須具備較大的傳動比來提高關(guān)節(jié)的輸出力矩。然而，在空間機(jī)械臂中廣泛應(yīng)用的大傳動比多級行星齒輪傳動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性［2］給剛度分析和減小質(zhì)量都帶來了困難。

加拿大機(jī)械臂關(guān)節(jié)［2］主要通過試驗、參數(shù)辨識來實現(xiàn)剛度分析，此方法較為接近實際，但是無法反映關(guān)節(jié)各部件剛度對于關(guān)節(jié)總剛度的影響，對于關(guān)節(jié)減小質(zhì)量及優(yōu)化的指導(dǎo)作用不大。針對上述問題，本文采用集中參數(shù)法和剛度串聯(lián)原理，建立復(fù)雜關(guān)節(jié)等效剛度模型，分析各級齒輪剛度對關(guān)節(jié)總剛度的影響，從而找出對總剛度影響不大的零部件，對其實施減小質(zhì)量，為大傳動比空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)的小質(zhì)量高剛度優(yōu)化設(shè)計提供指導(dǎo)。

2 空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)剛度模型建立

傳動系統(tǒng)的剛度分析方法主要有有限元法與集中參數(shù)法。針對圖1所示的大傳動比齒輪傳動系統(tǒng)，用有限元法建模，雖然求解精度高，適用于已定型傳動系統(tǒng)的剛度校核，但建模較為復(fù)雜、計算量大、耗時多3，用于關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)減小質(zhì)量、優(yōu)化設(shè)計的反復(fù)迭代分析不方便。集中參數(shù)法將傳動系統(tǒng)構(gòu)件簡化為集中質(zhì)量，將齒輪嚙合力簡化為集中力，構(gòu)件之間的連接簡化為彈簧。文獻(xiàn)［3］證明了此方法的有效性。本文采用集中參數(shù)法來分析圖1所示的多級行星齒輪傳動系統(tǒng)各級齒輪對于傳動系統(tǒng)總剛度的影響，探尋提高傳動系統(tǒng)總剛度的方法，給關(guān)節(jié)減小質(zhì)量及優(yōu)化提供參考。

圖1所示為一種典型的空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)。根據(jù)每個齒輪及其所在的軸可以將其分為9組（見表1），對照圖1和表1，這9組的轉(zhuǎn)速隨著序號的增加而依次降低，1、2、3組為高速級，4、5、6組為中速級，7、8、9組為低速級。電機(jī)提供的動力由輸入軸l1經(jīng)行星輪系A(chǔ)-B-C-h1，傳遞到定軸輪系H-I，然后通過定軸輪系J-K-L及差動輪系M-N（Ol，Or）-Q-h2，由齒輪Q帶動輸出軸輸出。其中，L-M為含內(nèi)齒圈L和外齒圈M的大齒輪。Ol與Or為齒數(shù)、模數(shù)均相同的兩個同軸齒輪。下文分別對周轉(zhuǎn)輪系與定軸輪系進(jìn)行剛度建模與分析。

圖1 關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)Fig.1 Gear transmission system of the joint

表1 傳動系統(tǒng)各齒輪組相對于輸出齒輪Q的傳動比與等效剛度Tab.1 All the described gears′reduction rate and stiffness relative to gear Q

2.1 周轉(zhuǎn)輪系的剛度模型

對于圖1中 “A-B-C-h1”組成的行星輪系，將輪齒的嚙合力簡化為集中力，同時將輪齒嚙合中產(chǎn)生的彈性變形轉(zhuǎn)化為齒輪的角變形，齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度定義為：使齒輪沿嚙合線上產(chǎn)生單位角變形所需的載荷［4-5］。

設(shè)kA是齒輪A的扭轉(zhuǎn)剛度，kl1為軸l1的扭轉(zhuǎn)剛度。則軸l1、齒輪A的總剛度ksA符合設(shè)kB是齒輪B的扭轉(zhuǎn)剛度，kl2為軸l2的扭轉(zhuǎn)剛度，則軸l2、齒輪B的總剛度ksB符合

同理可得，行星架h1、輸出軸l3和齒輪H的總剛度ksH符合其中，N為行星輪的個數(shù)，kh1、kl3分別為行星架h1、軸l3的扭轉(zhuǎn)剛度，kH為齒輪H的扭轉(zhuǎn)剛度。

推導(dǎo)可得l1-A-B-C-h1-H的總剛度ksAH符合：

式中rbA、rbB和rbH分別為齒輪A、B和H的基圓半徑；iAH和iBH分別為A→H與B→H的傳動比。下文中傳動比下標(biāo)的含義均與此類似。

可見行星輪系總剛度與傳動比和基圓半徑比相關(guān)。設(shè)等效剛度keAH＝iAHibAHksA，keBH＝iBHibBHksB，則式（2）進(jìn)一步簡化為

因此，l1-A-B-C-h1-H的力學(xué)模型表示為圖2，其中JA、JB和JH分別表示齒輪A、B和H的轉(zhuǎn)動慣量。

同理，將上述方法應(yīng)用于差動輪系M-N（Ol，Or）-Q-h2可以建立其力學(xué)模型，其總剛度ksMQ符合：

式中ksQ為齒輪Q的扭轉(zhuǎn)剛度；keNQ和keMQ分別為齒輪N和M相對于齒輪Q的等效剛度；keOQ為齒輪Ol與Or的剛度和ksO相對于齒輪Q的等效剛度。等效剛度如表1所示。

2.2 定軸輪系的剛度模型

對于圖1中的定軸輪系H-I-J，設(shè)kI為齒輪I的扭轉(zhuǎn)剛度，kl4為軸l4的扭轉(zhuǎn)剛度，kJ為齒輪J的扭轉(zhuǎn)剛度。則軸l4與齒輪I，J的總剛度ksI符合

經(jīng)推導(dǎo)，可得定軸輪系H-I-J的總剛度ksHI符合：

式中iHI為H→I的傳動比。定義kesH＝iHI2ksH為ksH相對于齒輪I的等效剛度，其中iHI2＝iHI·ibHI，ibHI為齒輪H和I的基圓半徑比，則式（5）可以寫成［6］：

根據(jù)剛度串聯(lián)原理，可將定軸輪系H-I-J的力學(xué)模型表示為圖3形式，其中JI和JJ分別表示齒輪I和J的轉(zhuǎn)動慣量。

同理，可以建立定軸輪系J-K-L的力學(xué)模型，其總剛度ksJL符合：

式中ksL是齒輪L扭轉(zhuǎn)剛度；keKL和keJL分別為齒輪K和J相對于齒輪L的等效剛度。

2.3 關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)的剛度模型

基于上述周轉(zhuǎn)輪系與定軸輪系剛度模型的建立，大型空間機(jī)械臂大傳動比關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)的力學(xué)模型可表示為圖4，其中JO為齒輪Ol與Or的慣量和。各組齒輪相對于輸出齒輪Q的等效剛度如表1所示。

圖4 關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.4 Mechanical model of the joint transmission system

表1中等效剛度的推導(dǎo)方法見本文第2.1～2.2節(jié)及文獻(xiàn)［5-6］。則關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)總剛度kesQ為

3 傳動系統(tǒng)總剛度計算結(jié)果及分析

對于齒輪材料為不銹鋼，軸系為鈦合金的關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)，計算表明軸的扭轉(zhuǎn)剛度與齒輪扭轉(zhuǎn)剛度在一個數(shù)量級內(nèi)，因此計算各組剛度時應(yīng)將軸和齒輪都考慮在其中。計算表1中各齒輪與軸相對于輸出齒輪Q的等效剛度，如圖5所示。顯然，表1中序號為第1、2、5、6組的等效剛度比其他組高出許多，當(dāng)這4組剛度同時降低10%～50%時，傳動系統(tǒng)總剛度基本沒變（見圖6）；當(dāng)這4組剛度同時降低50%～80%時，傳動系統(tǒng)總剛度略有降低；當(dāng)這4組剛度同時降低90%時，傳動系統(tǒng)總剛度僅降低1.85%，影響甚微；當(dāng)超過90%時，則會引起傳動系統(tǒng)總剛度的顯著降低。故上述4組是關(guān)節(jié)減小質(zhì)量的重點。

圖5 各組齒輪相對于輸出齒輪的等效剛度Fig.5 Equivalent stiffness of every group of gears

圖6 1、2、5、6組齒輪剛度對總剛度的影響Fig.6 Effect of the stiffness of the 1st，2nd，5th and 6th gears on the general stiffness of the joint transmission system

由式（8）知，關(guān)節(jié)總剛度取決于各齒輪中剛度最小的。顯然，高速級及中速級剛度經(jīng)減速比及等效半徑比的放大后，剛度明顯大于低速級，則低速級輪系剛度對整個關(guān)節(jié)剛度影響較大。

由圖5可知，低速級（序號第9）的輸出齒輪Q的剛度ksQ遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他組，其剛度增加10倍時，傳動系統(tǒng)總剛度呈近似線性增加（見圖7）；當(dāng)其剛度增加10～50倍時，傳動系統(tǒng)總剛度盡管增速變緩，但仍會明顯提高；當(dāng)其剛度增加80倍以上時則對傳動系統(tǒng)總剛度影響較小。齒輪扭轉(zhuǎn)剛度主要取決于齒輪齒寬及齒輪半徑，增加齒輪的基圓半徑勢必會改變其模數(shù)，從而會改變齒輪系其他的性能，因而增加齒輪寬度即可直接有效地提高整個關(guān)節(jié)剛度，改善關(guān)節(jié)性能。

由式（7）知，9組等效剛度都很接近時，總剛度最優(yōu)，則應(yīng)合理分配各級齒輪的減速比及等效半徑比，以使得各級剛度平均分配。

圖7 輸出齒輪Q的剛度對關(guān)節(jié)總剛度影響Fig.7 Effect of the stiffness of the last gear on the joint transmission system

另外，行星齒輪個數(shù)的增加對整體剛度也會有較大的影響，當(dāng)將第9組齒輪剛度提高到與第8組齒輪剛度一個量級時，增加1個N級行星齒輪個數(shù)，總剛度增加19%。另外，行星齒輪個數(shù)的增加可以使齒輪受力更加均勻。

4 結(jié)束語

通過本文分析得到如下結(jié)論：

1）就本文所述關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)，第1、2、5、6組對應(yīng)的齒輪與軸具有較大的剛度裕度，同時降低其剛度90%時，關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)總剛度僅降低1.85%，影響甚微，是關(guān)節(jié)減重的重點對象，可以通過減小齒寬等措施來減輕關(guān)節(jié)質(zhì)量，但進(jìn)一步降低第1、2、5、6組的剛度會顯著降低關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)總剛度，設(shè)計時需要權(quán)衡考慮。

2）空間多級傳動的大傳動比關(guān)節(jié)低速級等效剛度低于其他級等效剛度，因此，傳動系統(tǒng)總剛度主要取決于低速級剛度，傳動系統(tǒng)總剛度隨低速級（第9組）的等效剛度的增加而近似線性增加。

3）在關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)的設(shè)計時應(yīng)盡量將各速度級等效剛度優(yōu)化至同一量級，以達(dá)到提高剛度、減輕質(zhì)量的綜合效果。

4）周轉(zhuǎn)輪系中行星齒輪個數(shù)的增加有利于提高關(guān)節(jié)剛度，但同時會增加傳動系統(tǒng)的質(zhì)量，設(shè)計時應(yīng)權(quán)衡考慮。

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