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        海倫方程矩量法分析*

        2013-11-23 09:05:34劉建廠
        艦船電子工程 2013年9期
        關(guān)鍵詞:偶極子海倫全域

        劉建廠

        (海司信息化部 北京 100841)

        1 引言

        人們把用基函數(shù)和權(quán)函數(shù)將積分方程離散化為矩陣方程的數(shù)值計(jì)算方法稱為矩量法[1],矩量法是一種非常普遍的概念,其基本思想是將一個泛函方程化為矩陣方程并求解該方程。該方法在天線領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,上世紀(jì)60年代,哈林登(Harrington)首先將矩量法應(yīng)用于電磁場領(lǐng)域[2]。對于輻射問題,是將含有未知電流的積分方程化為矩陣方程,通過求解該矩陣方程得到天線上的電流分布。

        在矩量法的分析過程中,積分方程有多種,比如雙位積分方程、海倫(Hallen)積分方程、波克林頓(Pocklington)積分方程、反應(yīng)積分方程等[3~7]。本文重點(diǎn)對海倫積分方程的矩量法求解過程進(jìn)行了研究,文中詳細(xì)推導(dǎo)了海倫積分方程,分別選取全域基和分域積進(jìn)行了分析,尤其對脈沖分域積、δ權(quán)函數(shù)進(jìn)行了重點(diǎn)研究,特別是匹配點(diǎn)的選取和廣義阻抗矩陣的特性。

        2 海倫積分方程[1~8]

        海倫積分方程是基于Δ間隙電壓源[5]求解對稱偶極子天線的,如圖1所示偶極子天線半徑為a,長度為L,沿z軸放置于坐標(biāo)原點(diǎn),使用間隙為Δ(Δ無限?。?qiáng)度為Eg的電壓源激勵。

        假設(shè)a?λ,a?L,偶極子天線表面的電流僅有軸向分量,即z分量,所以沿偶極子表面電流均勻分布,并且偶極子天線端面電流為零。這樣矢量位僅有軸向分量Az,于是電場表達(dá)變?yōu)镋z=-jωAz-,根據(jù)洛侖茲(Lorentz)規(guī)范[9],可以得出:

        圖1 偶極子天線

        該微分方程的通解為Az=Bcoskz+Dsinkz,由偶極子天線的對稱性可知:Az(-z)=Az(z),所以D=0,上面的通解變?yōu)锳z=Bcoskz,而特解可以寫作:

        在z=0的Δ(Δ→0)鄰域?qū)Ψ匠蹋?)兩邊求積分:

        由于Az在z=0處連續(xù),故,上式變?yōu)?/p>

        Δ→0時,可得:-jk(M+N)=-jωμεV,即:M+N,根據(jù)Az在z=0處連續(xù)這一條件,可得M=N。故微分方程(2)的特解為

        Az=,即:

        Az=Bcoskz+B′Ve-jk|z|,式中,

        3 海倫積分方程矩量法求解

        用矩量法求解海倫積分方程時,一般使用全域基、點(diǎn)匹配法,對于細(xì)偶極子天線,由于已知電流分布接近正弦分布,所以經(jīng)常采用正弦分布的全域基函數(shù),這樣使解的收斂性很好,用2~3個展開函數(shù)便能較好的逼近未知函數(shù)。而使用分域基求解由于涉及到偶極子天線的分段和匹配點(diǎn)的選取,所以解法不是很統(tǒng)一,雖然有文獻(xiàn)中使用分域脈沖基、點(diǎn)匹配法進(jìn)行分析,但偶極子天線的分段和匹配點(diǎn)的選取不是很理想,特別匹配點(diǎn)與分段重合的情況,計(jì)算廣義阻抗矩陣易出現(xiàn)奇異點(diǎn)。

        3.1 全域基、點(diǎn)匹配[7]

        對于圖1所示偶極子天線,選用三角全域基函數(shù)展開,待求電流可表示為

        其中:

        求解出系數(shù)In后,可以得到天線的輸入阻抗:

        由于天線在遠(yuǎn)場區(qū)只有Eθ分量,故:

        通過進(jìn)一步計(jì)算,可以求出功率方向圖:

        3.2 分域基、點(diǎn)匹配[2~3,5]

        選用分域脈沖基函數(shù)作為展開函數(shù),采用點(diǎn)匹配法,脈沖基函數(shù)選為

        圖2 天線分段情況和匹配點(diǎn)選取示意圖

        本文采用的分段和匹配方法是將天線分為偶數(shù)段,展開脈沖函數(shù)數(shù)目為奇數(shù),偶極子天線兩端各留半個分段,匹配點(diǎn)選在每個脈沖的中心,保證在饋電處有一個匹配點(diǎn)。因?yàn)榉匠逃蠳+1個未知量,故在天線端點(diǎn)處的一個分段中點(diǎn)還需再選一個匹配點(diǎn),這樣選取的好處是可以使偶極子天線末端的電流為零,具體情況見圖2。離散后的N+1階線性方程組表示為

        式中:

        則矩陣形式的表達(dá)式為

        即:ZI=V,進(jìn)一步可得:I=Z-1V,I的最后一項(xiàng)是系數(shù)C*,在后面計(jì)算中不再使用,這樣便得到了電流分布,進(jìn)而可以求出輻射場。

        偶極子的輻射場在遠(yuǎn)區(qū)只有Eθ和Hφ分量,經(jīng)過化簡,偶極子的第n段的遠(yuǎn)區(qū)輻射場為

        偶極子天線的增益:

        式中,I0表示饋電點(diǎn)的電流。

        4 數(shù)值計(jì)算

        對L=0.5λ,a=0.0001λ和a=0.001λ中央單位電壓饋電的偶極子天線,天線放置情況如圖1所示,分別用三角全域基、點(diǎn)匹配和脈沖分域基、點(diǎn)匹配進(jìn)行了矩量法分析。

        4.1 電流分布

        全域基采用的基函數(shù)個數(shù)為3,匹配點(diǎn)是在L/2 上等間距取N+1個點(diǎn);分域基的天線分段數(shù)為60,即采用59個脈沖基函數(shù),匹配點(diǎn)選在每個脈沖的中心,另在天線的端點(diǎn)處的分段中心再取一個匹配點(diǎn)。

        當(dāng)偶極子半徑a=0.0001λ時,使用全域基與分域基得到的電流分布一致性很好,如圖3所示;而當(dāng)偶極子的半徑增大到a=0.001λ時,使用分域基得到的電流分布與使用全域基得到的電流分布產(chǎn)生了一定的偏差,特別是在饋電點(diǎn)處,如圖4所示。

        圖3 a/λ=0.0001偶極子的電流分布

        圖4 a/λ=0.001偶極子的電流分布

        4.2 輻射特性

        功率方向圖對偶極子天線半徑變化的敏感度要低一些,在偶極子半徑a=0.0001λ時,使用全域基和分域基得到的E面功率方向圖如圖5所示,兩種方法所得結(jié)果吻合度很好。

        圖5 偶極子的E 面功率方向圖

        4.3 輸入阻抗與增益系數(shù)

        偶極子半徑a=0.0001λ時的輸入阻抗和增益系數(shù)結(jié)果如表1所示,偶極子半徑a=0.001λ時的輸入阻抗和增益系數(shù)結(jié)果如表2所示。

        表1 a=0.0001λ時的輸入阻抗與增益系數(shù)

        表2 a=0.001λ時的輸入阻抗與增益系數(shù)

        計(jì)算結(jié)果表明:采用全域基、點(diǎn)匹配法時,N值不宜取的過大,一般取N=2~3即可,N值過大,會使阻抗矩陣產(chǎn)生病態(tài);采用脈沖分域基、點(diǎn)匹配法時,偶極子的分段情況和匹配點(diǎn)的選取尤為重要,雖然不同的選取方法大致都能得到較為理想的結(jié)果,但在細(xì)節(jié)上,比如阻抗矩陣的條件數(shù)等方面還是存在很大差距。

        兩種方法在求解偶極子輻射特性方面差別不大,功率方向圖的結(jié)果比較一致;對于線徑較大的偶極子天線,全域基比分域基給出的電流分布結(jié)果更加穩(wěn)定;輸入阻抗和增益系數(shù)方面,全域基也比分域基的情況要好一些。

        5 病態(tài)矩陣[5,7,10]

        使用全域基、點(diǎn)匹配方法,在偶極子線徑較小時,對基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)N感度不是很大,不同N值對阻抗矩陣條件數(shù)的影響不大,但隨著偶極子線徑的增加,阻抗矩陣的條件數(shù)對N值的敏感度增強(qiáng),此時,如果N取得過大,會使阻抗矩陣Zmn變?yōu)椴B(tài),條件數(shù)隨著N的增加不斷變大,導(dǎo)致電流分布產(chǎn)生畸變。a=0.005λ的半波偶極子天線隨N值的變化電流分布如圖6~7所示。

        圖6 N 為3、5、7、9時的電流分布

        圖7 N 為3、11、13、15時的電流分布

        全域基、點(diǎn)匹配法阻抗矩陣的條件數(shù)隨N的變化見表3。分域基、點(diǎn)匹配法得到的阻抗矩陣條件數(shù)在偶極子線徑較大時,隨分段數(shù)的增加,變化更為劇烈,更容易使阻抗矩陣產(chǎn)生病態(tài)。

        表3 阻抗矩陣的條件數(shù)

        6 結(jié)語

        海倫積分方程是天線矩量法研究中的一種重要方程,在實(shí)際應(yīng)用中,采用不同的基函數(shù)和權(quán)函數(shù),對數(shù)值計(jì)算結(jié)果有一定影響。本文詳細(xì)推導(dǎo)了海倫積分方程的建立過程,分別采用全域基和分域基對偶極子天線進(jìn)行了矩量法分析,實(shí)現(xiàn)了一種新的分段和匹配方法,并對計(jì)算過程中阻抗矩陣的性態(tài)進(jìn)行了分析研究,下一步工作的重點(diǎn)是對病態(tài)矩陣的產(chǎn)生原因做進(jìn)一步分析。

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