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        自伴算子代數(shù)上保投影映射

        2013-11-21 00:59:42張芳娟
        關(guān)鍵詞:有界共軛雙邊

        張芳娟

        (1.西安郵電大學(xué)理學(xué)院,中國(guó) 西安 710121;2.西安外事學(xué)院工學(xué)院,中國(guó) 西安 710077)

        保持問(wèn)題的一個(gè)重要內(nèi)容是尋找一些代數(shù)或幾何不變量作為算子代數(shù)的同構(gòu)不變量.即,以盡可能少的代數(shù)或幾何性質(zhì)刻畫(huà)算子代數(shù)間的同構(gòu)問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題的研究最初是在線性的前提下[1-2].最近一些學(xué)者將線性條件減弱為可加或非線性[3-10].令B(H)是無(wú)限維Hilbert空間H上的所有有界線性算子全體,Dolinar[4]得到了B(H)滿射滿足A-λB是冪等算子當(dāng)且僅當(dāng)φ(A)-λφ(B)是冪等算子,或者存在有界可逆線性算子或有界可逆共軛線性酉算子T:H→H,使得對(duì)任意A∈B(H),有φ(A)=TAT-1,或者存在有界可逆線性算子或有界可逆共軛線性酉算子T:H→H,使得對(duì)任意A∈B(H),有φ(A)=TA*T-1.

        設(shè)H是維數(shù)大于2的復(fù)Hilbert空間,B(H)是H上的所有有界線性算子全體;S(H)是H上的所有自伴算子全體;P(H)是B(H)中的正交投影的集合,即P(H)={P∈B(H):P=P2=P*}.設(shè)φ:S(H)→S(H)是滿射,如果對(duì)λ∈C,A,B∈B(H),有A-λB∈P(H)?φ(A)-λφ(B)∈P(H)成立,則稱φ雙邊保投影.取P,Q∈P(H),若PQ=QP=0,則稱P與Q是正交投影;取A,B∈B(H),若AB=BA=A,則稱A≤B.

        S(H)是復(fù)Hilbert空間H上的自伴算子全體組成的集合.則S(H)是實(shí)線性空間.眾所周知,在量子力學(xué)的框架下,Hilbert空間上的有界自伴算子即為有界可觀測(cè)量.因此S(H)上的各種保持問(wèn)題吸引了許多學(xué)者的關(guān)注.受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā),本文刻畫(huà)了自伴算子空間上保投影映射.

        本文的主要結(jié)論如下:

        定理1設(shè)H是維數(shù)大于2的復(fù)Hilbert空間,P(H)={P∈B(H):P=P2=P*}.S(H)是H上的自伴算子代數(shù).φ:S(H)→S(H)是滿射,且對(duì)λ∈C,A,B∈B(H),滿足A-λB∈P(H)?φ(A)-λφ(B)∈P(H)當(dāng)且僅當(dāng)存在酉算子或共軛酉算子U:H→H,使得對(duì)任意A∈S(H),有φ(A)=UAU*.

        證充分性顯然成立,分下面5步證明必要性.

        1)φ(0)=0,φ(I)=I且φ是單射.

        由0-λ·0=0∈P(H),λ∈C,得φ(0)-λφ(0)=(1-λ)φ(0)∈P(H).由λ的任意性得φ(0)=0.

        設(shè)φ(A)=I,則A∈P(H).又φ(I)<φ(A)=I,因此φ(A)-φ(I)∈P(H)?A-I∈P(H).所以A=I,于是φ(I)=I.若φ(A)=φ(B),A,B∈S(H),則φ(A)-φ(B)∈P(H)?A-B∈P(H).又φ(B)-φ(A)∈P(H)?B-A∈P(H).于是A=B,因此φ是單射.

        2) 對(duì)所有A∈S(H),λ∈C,有φ(λA)=λφ(A).

        當(dāng)λ=0時(shí),由于φ(0)=0,則φ(λA)=λφ(A)成立.當(dāng)λ∈C{0}時(shí),對(duì)所有A∈S(H),λA-λA∈P(H)?φ(λA)-λφ(A)∈P(H).令Q=φ(λA)-λφ(A).又A-(1/λ)(λA)∈P(H)?φ(A)-(1/λ)φ(λA)∈P(H),則-(1/λ)Q=φ(A)-(1/λ)φ(λA)∈P(H).由λ的任意性得Q=0,即φ(λA)-λφ(A)=0.

        3)φ雙邊保投影的正交性.

        若P,Q是相互正交的非零投影,則φ(P),φ(Q),P+Q∈P(H),P+Q∈P(H)?φ(P)+φ(Q)∈P(H).進(jìn)而由(φ(P)+φ(Q))2=φ(P)+φ(Q)得

        φ(P)φ(Q)+φ(Q)φ(P)=0.

        (1)

        (1)式分別左乘和右乘φ(P)得φ(P)φ(Q)=φ(Q)φ(P)=0.

        同理可得φ-1保正交投影,所以φ雙邊保投影的正交性.

        4)φ雙邊保一秩投影.

        設(shè)P為一秩投影,若rankφ(P)≥2,則對(duì)任意一秩投影Q,有0

        同理可得φ-1保一秩投影,所以φ雙邊保一秩投影.

        5) 存在酉算子或共軛算子U:H→H使得對(duì)任意A∈S(H)有φ(A)=UAU*.

        由于φ|P(H)是作用在P(H)上的雙邊保正交的雙射,由文獻(xiàn)[11]或[12]可得存在一個(gè)酉算子或共軛酉算子U:H→H使得對(duì)任意P∈P(H)有φ(P)=UPU*.

        令ψ(A)=U*φ(A)U,則ψ(P)=P.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明ψ在S(H)上都是恒等算子,即對(duì)任意A∈S(H)有ψ(A)=A.

        當(dāng)m=1時(shí),由2),對(duì)α1∈R,P1∈P(H),有ψ(α1P1)=α1ψ(P1)=α1P1.

        (2)

        則C∈P(H)..

        (3)

        進(jìn)而

        P1-αkD+αkPk∈P(H).

        (4)

        由(2)得

        (5)

        由(3)得

        (6)

        由(5)和(6)可知

        αkPk-αkD=P1-C.

        (7)

        由(4)和(7),P1-αkD+αkPk=2P1-C∈P(H).于是(2P1-C)2=4P1-2P1C-2CP1+C=2P1-C,即

        P1+C=P1C+CP1.

        (8)

        (9)

        若α1≠0,則由2)和(9)式得

        因此ψ在S(H)上是恒等算子,即對(duì)任意A∈S(H)有ψ(A)=A.則存在酉算子或共軛酉算子U:H→H使得對(duì)任意A∈S(H)有φ(A)=UAU*.

        參考文獻(xiàn):

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