石學軍，穆靜靜，楊 叢

(中國礦業(yè)大學理學院，中國 徐州 221116)

考慮下面的反射倒向隨機微分方程(簡記為RBSDE)：

(1)

所對應的障礙問題.文獻[1]在生成元g滿足Lipschitz條件下得到了方程的適應解，并說明了此類方程的解與最優(yōu)停時問題的值函數(shù)及偏微分方程障礙問題的聯(lián)系.隨后，文獻[2]運用該理論解決了金融市場上的美式期權定價問題.由于RBSDE在經(jīng)濟金融、隨機控制等領域的重要應用，它的基本理論及與之相關問題也引起了眾多學者的關注.特別地，人們在減弱關于生成元g滿足Lipschitz連續(xù)條件的存在唯一性及比較定理方面做了很多工作.例如，Matoussi[3]在生成元g關于(y,z)連續(xù)、線性增長且g(t,0,0)有界的條件下，證明了極大和極小解的存在性.文獻[4]證明了g關于y連續(xù)、超線性增長，且關于z連續(xù)、平方增長的條件下得到了解的存在性.Xu[5]在生成元g關于y滿足單調(diào)條件、具有一般增長性，且關于z滿足Lipschitz連續(xù)的條件下得到了解的存在唯一性.文獻[6]在生成元g關于(y,z)廣義Lipschitz的條件下，給出了無窮區(qū)間的RBSDE存在唯一解的結果.最近，F(xiàn)an[7]研究了無窮區(qū)間的無障礙BSDE，又在一類更弱的條件下獲得了解的存在唯一性及比較定理等相關結果.其他研究成果請見文獻[8～15].那么，在RBSDE理論中是否也有類似的結論呢？

本文通過BSDE構造懲罰方程列，把BSDE的解不斷推向障礙之上而得到相應的RBSDE的解的辦法，得到了生成元廣義線性增長且關于(y,z)連續(xù)的RBSDE解的存在性.其次，在此基礎上證明了RBSDE解的比較定理；進一步，可將解的唯一性作為其推論.

1 預備知識

設(Ω,F,P)為一概念空間，T是一個取值有限或無限的廣義實值常數(shù).(Bt)t≥0是此空間上的d維標準Brown運動，(Ft)t≥0是該Brown運動生成的完備σ域流：

Ft

其中，N是所得P-可略集全體.

RBSDE的生成元g是一個定義在[0，T]×Ω×R×Rd上的實值函數(shù)，并且對任意給定的y,z∈R×Rd,(g(t,ω,y,z))0≤t≤T是一個Ft-循序可測過程；下障礙(Lt)t∈[0,T]是一個連續(xù)的Ft-適應過程.如果存在Ft-適應過程形成的三元組(Yt,Zt,Kt)t∈[0,T],其中(Yt,Kt)t∈[0,T]連續(xù)且(Kt)t∈[0,T]是初值為0的增過程，使得RBSDE(1)成立，則稱此三元組(Yt,Zt,Kt)t∈[0,T]為RBSDE(1)的一個解.

在本文中，我們只討論如下意義的具有平方可積特征的解.為此引入如下記號：

L2(Ω,FT,P){ξ是FT可測的實值隨機變量：E()<+∞};

H2{(φt)t∈[0,T]是Rn值循序可測過程：

P2{(φt)t∈[0,T]是Rn值連續(xù)，循序可測過程：

定義1(RBSDE的L2-解) 我們稱適應過程構成的三元組(Yt,Zt,Kt)t∈[0,T]為關于終端變量ξ,終端時刻T，生成元g和下障礙L的RBSDE(ξ,T,g,L)的一個L2-解，若它是此方程的解，且滿足(Yt,Zt)t∈[0,T]屬于空間P2×H2;KT∈L2(Ω,FT,P).

文獻[6]在下述的(A1)～(A2)條件下，得到了無窮區(qū)間RBSDE的存在唯一性結果.

(A1)生成元關于(y,z)滿足廣義Lipschitz條件，即dP×dt-a.e.,

?y1,y2,z1,z2,|g(t,ω,y1,z1)-g(t,ω,y2,z2)|≤u(t)|y1-y2|+v(t)|z1-z2|.

進而，如果BSDE的生成元g滿足如下2個假設：

(H1)生成元g關于(y,z)廣義線性增長，即

dP×dt-a.e.,?y,z,|g(t,ω,y,z)|≤ft(ω)+u(t)|y|+v(t)|z|.

(H2)生成元g關于(y,z)連續(xù)，即dP×dt-a.e.,g(t,ω,·,·):R×Rd→R為一個連續(xù)函數(shù).

注2這是文獻[9]結果的無窮時間區(qū)間的版本，其證明與有限時間區(qū)間相仿.

進一步，記H{φ(t)|φ(·):R+→R+為確定性非減函數(shù)且φ(0)=0},若生成元g滿足如下條件：

則在BSDE中，亦會有比較定理成立；從而結合前面的存在性條件易知這樣的BSDE存在唯一解.

本文的主要結果就是在生成元滿足(H1)～(H2)，(H3)～(H4)的條件下，分別得到了RBSDE的解的存在性、比較定理和唯一性定理.

2 主要結果

2.1 存在性

(2)

的一個極小L2-解，并定義

(3)

取α(s)=2u(s)+2v2(s),對(3)式兩邊取期望，則

(4)

對(3)式兩邊分別取sup和期望運算，令C為一變動常數(shù)(下文亦然)并用Davis-Burkholder-Gundy不等式，可知

(5)

(6)

結合式(4)～(6)可得

(7)

則由(4)，(5)，(7)式可得

(8)

由于

(9)

結合(7)～(9)可得?n∈N*,

則引理2得證.

令τ是一個滿足0≤τ≤T的停時，那么

通過分部積分公式和Lebesgue控制收斂定理，易得

由于生成元滿足假設(H1),我們可得

且

(10)

注意到隨機積分部分為一致可積鞅，因此

(11)

由引理2和3可知，(11)式右邊第2，3項收斂到0.對于第1項，由于生成元g滿足(H1)，由H?lder不等式，引理2，可得

再由基本不等式2yz≤εy2+1/εz2(ε>0取值待定)，并結合Davis-Burkholder-Gundy不等式可知

對方程(2)兩邊取極限，則可知(Yt，Zt，Kt)t∈[0,T]是方程RBSDE的解.

2.2 比較定理與唯一性

按文獻[7]證明BSDE解的比較定理的辦法，可以得到如下RBSDE的比較定理.

注3對生成元假設條件(H3)中的函數(shù)ρ(·)的凹性假設可去掉.

通過前述結果并驗證生成元g的條件，可以得到如下結果.

從定理1的證明可知

另外，由無障礙BSDE的極小解比較定理(引理1)可知

參考文獻：

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