蔡美香

(中南林業(yè)科技大學數(shù)理所,中國 長沙 410004)

(1)

這里δ為阻尼或耗散系數(shù)，ηcosΩt為周期阻尼擾動，γx+βx3+αx5為非線性恢復力，fcosωt為周期外力．

本文研究Duffing方程(1)的周期解分支與混沌．與只具有1個周期外力的Duffing方程相比，方程(1)具有3個頻率Ω，ω和ω0，當加入第3個頻率Ω后，系統(tǒng)的動態(tài)有了很大的變化．下面分別在兩類共振條件Ω∶ω∶ω0=2∶3∶1和1∶1/2∶1下，研究方程(1)的周期解及其分支存在的充分條件，并應用數(shù)值模擬，驗證理論分析結果的正確性，以及發(fā)現(xiàn)新的動態(tài)．

1 在共振條件 Ω∶ω∶ω0=2∶3∶1下的周期解及其分支

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(5)

方程(5)有1個平凡不動點(0,0)，非平凡的不動點滿足如下方程

由sin2θ+cos2θ=1，令x=r2可得1個關于x的9次方程．由伽羅華理論，5次以上的方程一般不能得出解的解析表達式，因此，令γ=-1，β=2，α=-0.36，f=1，δ=1，Γ=1，可得x0=0.745 356，ω0=1.333 33 ，a2=2.981 42，a3=2.22×10-16，A=-3.416 67，B=-3,C=-2.5,σ=0.093 75，這個9次方程可近似表示為

18 570.4x9+44 278.8x8+(57 607.1-1 414.04η2)x7+(47 950.5-2 512.78η2)x6+

(28 103-2 526.74η2+26.92η4)x5+(11 629.4-1 537.64η2-8.01η3+29.05η4)x4+

(3 388.5-634.69η2-9.64η3+19.31η4)x3+(631.68-161.93η2-6.81η3+5.66η4)x2+

(64.25-24.66η2-2.35η3+0.93η4)x-0.8η2-0.48η3-0.12η4=0.

(6)

圖1 當η變化時，方程(6)不動點的分支圖Fig.1 Bifurcation diagram of fixed points of Eq.(6) when η varies

圖1為方程(6)不動點的分支圖，它顯示了方程(6)的不動點是如何產(chǎn)生和消亡的．

由平均定理，可得到如下定理.

定理1對方程(2)，有

(1)方程(2)無非共振解；

(2)當ηA≤η≤ηB時，方程(2)有1個穩(wěn)定的共振解；

(3)當η≤ηA和η≥ηB時，方程(2)有3個穩(wěn)定的共振解；

(4)隨著η的增大(減小)，當η=ηB時(當η=ηA時)，在超臨界(次臨界)鞍-結分支附近，2個穩(wěn)定的共振解出現(xiàn)了(消失了)；

2 在共振條件Ω∶ω∶ω0=1∶1/2∶1下的周期解及其分支

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(8)

令k=1,l=2，同時考慮共振條件Ω∶ω∶ω0=1∶1/2∶1，對方程(8)應用Van Der Pol變換和二階平均方法，可得二階平均方程為

(9)

(10)

方程(10)的不動點滿足如下方程

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(12)

(i)若Δ′>0，方程(12)有4個實根分別為

(ii)若Δ′<0，方程(12)沒有實根；

(iii)若Δ′=0，方程(12)有2個實根分別為

由以上分析可得如下定理.

定理2對方程(7)，有

(3)方程(7)的共振解可近似表示為x(t)=x0+εrscos(2ωt+θs)+ε3/2τcosωt+O(ε2)，其中(rs,θs)為方程(10)的不動點．

在圖2(a)中當Γ=-4時，方程(11)的不動點分支圖如圖2(b)，它顯示了共振解的超臨界與次臨界鞍-結分支以及方程(11)的不動點是怎樣出現(xiàn)和消失的．

圖2 (a) 共振解的超臨界與次臨界鞍-結分支；(b) Γ=-4時，方程(11)的不動點分支圖Fig.2 (a) Super and subcritical saddle-node bifurcations for resonant solutions;(b) Bifurcation diagram of fixed points of Eq.(11) for Γ=-4

3 對方程(1)的數(shù)值模擬

本節(jié)分2種情形對方程(1)應用數(shù)值模擬，驗證理論分析的正確性并發(fā)現(xiàn)新的動態(tài)．

情形(i)：令Ω∶ω∶ω0=2∶3∶1，γ=-1，β=2，α=-0.36，f=1.2，δ=0.2，取未擾動系統(tǒng)的中心(x0,0)=(0.745 356,0)附近的點(0.7,0)為初始值，方程(1)在(η，x)平面的分支圖和與之相對應的最大Lyapunov指數(shù)圖分別如圖3(a)和(b)．從圖上可以看到來自周期3軌的周期2分支到混沌，以及無周期窗口的混沌區(qū)域．當η=0.2時的周期3吸引子，當η=2.32時的周期9吸引子，當η=3時的混沌吸引子的相圖與Poincare映射圖分別如圖4(a)～(c)與(d)～(f)．

圖3 (a) 方程(1)在(η，x)平面的分支圖；(b) (a)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 (a) Bifurcation diagram of Eq.(1) in (η,x) plane; (b) Maximum Lyapunov exponents corresponding to (a)

圖4 (a)～(c) η=0.2,2.32，3時的相圖； (d)～(f) η=0.2,2.32，3時的Poincare映射圖Fig.4 (a)～(c) phase portraits for η=0.2,2.32，3; (d)～(f) Poincare map for η=0.2,2.32，3

情形(ii)：令Ω∶ω∶ω0=1∶1/2∶1，γ=-1，β=2，α=1，f=1，δ=0.5，取未擾動系統(tǒng)的中心(x0,0)=(0.643 594,0)附近的點(0.6,0)為初始值，方程(1)在(η，x)平面的分支圖和與之相對應的最大Lyapunov指數(shù)圖分別如圖5(a)和(b)．從圖上可以看到當η=0.65和η=5.62時，周期1軌的跳躍行為；當η∈(2.10,2.68)，η∈(4.018,4.028)和η∈(4.5,4.58)時，由周期2分支到混沌的過程；當η∈(2.74,2.78)時，由逆周期2分支到混沌的過程；當η≈2.835時，周期2軌突然轉變?yōu)榛煦缧袨椋划敠恰?.138時，混沌行為突然收斂到周期3軌；當η≈5.85時，混沌行為突然收斂到周期1軌；當η=2.7，η=5.3，η=6.7時的混沌吸引子的相圖與Poincare映射圖分別如圖6(a)～(c)與(d)～(f)．

圖5 (a) 方程(1)在(η，x)平面的分支圖；(b) (a)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Bifurcation diagram of Eq.(1) in (η,x) plane; (b) Maximum Lyapunov exponents corresponding to (a)

圖6 (a)～(c) η=2.7,5.3，6.7時的相圖； (d)～(f) η=2.7,5.3，6.7時的Poincare映射圖Fig.6 (a)～(c) phase portraits for η=2.7,5.3，6.7; (d)～(f) Poincare map for η=2.7,5.3，6.7

4 結論

本文應用常規(guī)擾動方法與二階平均方法，討論了在2類共振條件下，Duffing方程的周期解及其分支的存在性，并應用數(shù)值模擬驗證理論分析結果和發(fā)現(xiàn)新的動態(tài)．結果顯示，當加入第3個頻率Ω后，二階平均方程、共振解的近似表達式以及分支情況更為復雜；阻尼擾動項ηcosΩt對方程(1)的整個動態(tài)變化有很大的影響．

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