陳廣生, 丁宣浩

(1.廣西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑與信息工程系，廣西 河池 547000; 2.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400067)

(1)

(2)

這里的常數(shù)因子π/sin(π/p)與[sin(π/p)]p是最佳的．式(1)稱為Hardy-Hilbert積分不等式，它在分析學(xué)中有重要的應(yīng)用[2]．文獻(xiàn)[3]首先引人多參數(shù)，對(duì)式(2)進(jìn)行了推廣．文獻(xiàn)[4-5]引入獨(dú)立參數(shù)λ，建立了下列新的Hilbert型積分不等式：

設(shè)p>1，1/p+1/q=1，0<λ<1,f(x)，g(x)≥0.

(3)

這里的系數(shù)kλ(p)=B(λ/p，1-λ)+B(λ/q，1-λ)是最佳的.

(4)

這里的系數(shù)kλ(p)=B(λ/p，1-λ)+B(λ/q，1-λ)是最佳的.

(5)

鐘五一[6]將式(3)、(4)和(5)進(jìn)行了如下的統(tǒng)一推廣：

(6)

這里的系數(shù)kλ(r)=B(λ/r，1-λ)+B(λ/s，1-λ)是最佳的.

本研究的目的是在區(qū)間(0，b)上引入一個(gè)Hilbert型奇異積分算子，并討論其有界性問題．作為應(yīng)用，導(dǎo)出其等價(jià)式及一些相關(guān)不等式．

1 主要結(jié)果

引入獨(dú)立參數(shù)λ，建立如下的Hilbert型奇異積分算子：

(7)

(8)

(9)

則有

ωλ(x,A2,p)≤x1-λ-A2p[B(1-A2p,1-λ)+B(λ+A2p-1,1-λ)],

(10)

ωλ(x,A1,q)≤y1-λ-A1q[B(1-A1q,1-λ)+B(λ+A1q-1,1-λ)].

(11)

B(λ+A2p-1,1-λ)],因此有ωλ(x,A2,p)≤x1-λ-A2p[B(1-A2p,1-λ)+B(λ+A2p-1,1-λ)].

同理可證明ωλ(x,A1,q)≤y1-λ-A1q[B(1-A1q,1-λ)+B(λ+A1q-1,1-λ)].

max{1-A1q,1-A2p},則有

(12)

(13)

若還滿足A2p+A1q=2-λ，則有

‖T‖=B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ).

(14)

由H?lder不等式[7]得

由引理1得

從而得到

故式(13)成立.

下面證明式(14)成立.

若A2p+A1q=2-λ，則有(1-A2p)(λ-1+A2p)=(1-A1q)(λ-1+A1q)=(1-A1q)(1-A2p)，于是有‖Tf‖p,ω≤[B(1-A2p,1-λ]+B(1-A1q,1-λ)]‖f‖p,ω′,故‖T‖≤[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)]|.若式(14)不成立，則存在常數(shù)0

故有

再由引理2得

令ε→0+，則有[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)]≤K,即有[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)]≤K,矛盾，所以‖T‖=[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)].

2 一些應(yīng)用

(15)

證明設(shè)ω=x(p-1)(λ-1)+p(a-b)，由H?lder不等式及式(13)，有

由式(15)可導(dǎo)出式(13)，故式(13)與(15)等價(jià).

(16)

(17)

證明在定理1和推論1中，取A1=A2=A，便可得到(16)式和(17)式.

參考文獻(xiàn):

[1] Hardy G H,Littlewood J E,Polya G．Inequalities[M]．Cambridge：Cambridge University Press,1952．

[2] Mitrinovic D S，Pecaric J E，F(xiàn)ink A M．Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives[M]．Boston：Kluwer Academic Publishers,1991．

[3] Yang B C.On an extension of Hilbert's integral inequality with some parameters [J].J Math Anal Appl，2004(1)：1-8．

[4] 楊必成．一個(gè)新的Hilbert型積分不等式及其推廣[J]．吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理科版，2005，43(5)：580-584．

[5] 楊必成，梁宏偉．一個(gè)新的含參數(shù)的Hilbert型積分不等式[J]．河南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，35(4)：4-8．

[6] 鐘五一，楊必成.一個(gè)新的Hilbert型積分不等式的含多參數(shù)的最佳推廣[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，31(4)：410-414.

[7] 匡繼昌．常用不等式[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.