李國杰，楊曉東

(1.沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部，沈陽 110136;2.北京工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，北京 100124)

振動普遍存在于各種機械結(jié)構(gòu)中。振動會帶來危害，比如降低儀器精度，縮短機械的使用壽命，甚至使機械產(chǎn)生應(yīng)力疲勞直至破壞。顫振為結(jié)構(gòu)的慣性力、彈性力及結(jié)構(gòu)所受的氣動力共同作用下產(chǎn)生的自激振動現(xiàn)象。顫振是一種大幅度的振動，機翼顫振可能會產(chǎn)生嚴重的飛行事故[1]。

粘彈性材料既具有粘性也有彈性，粘性使其能夠吸收振動的能量，從而抑制振動，粘彈性材料廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的振動抑制上。Yang對軸向運動粘彈性梁振動固頻及幅頻響應(yīng)做了分析[2]，Erickson與Anderson對超聲速流中夾層板顫振做了分析[3]，Marynowski等對軸向運動夾層梁用Kelvin模型本構(gòu)關(guān)系與Burgers模型本構(gòu)關(guān)系做了對比顫振分析[2]，尚沒有人研究不同粘彈性模型材料對板結(jié)構(gòu)在氣動力下振動的影響，同一結(jié)構(gòu)的粘彈性特性可由不同的本構(gòu)關(guān)系來描述。每一種模型的粘彈性材料的粘性系數(shù)、彈性系數(shù)也各不相同。如何選擇一種合適的粘彈性材料對振動結(jié)構(gòu)的動力學(xué)精確描述具有重要意義[4-5]。

對于長寬比較大的矩形板結(jié)構(gòu)，梁模型的計算結(jié)果與板模型非常接近[6]。因此，許多細長的工程結(jié)構(gòu)可以簡化為梁模型，對梁的振動方面的研究結(jié)果能夠反映這些結(jié)構(gòu)的振動情況。而且梁理論較為簡單，所以本文選擇夾層梁作為研究對象，借此反映超聲速氣流中的細長板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為。首先本文得到簡支夾層梁結(jié)構(gòu)模型，對其粘彈性阻尼層分別采用Kelvin模型本構(gòu)關(guān)系與Maxwell模型本構(gòu)關(guān)系。然后對超聲速氣流帶來的氣動力采用一階活塞理論，推導(dǎo)出了夾層梁振動控制方程。最后用Galerkin截斷法得到夾層梁振動控制方程的特征值，并對兩種粘彈性模型本構(gòu)關(guān)系做了對比分析。

1 夾層梁運動方程

研究對象為超聲速氣流中的對邊簡支自由矩形夾層板，本文將其簡化為夾層梁，并對其做如下假設(shè)[7]：

(1)上下約束層為不具有粘性的各向同性彈性層。阻尼層為各向同性的粘彈性層；

(2)約束層與阻尼層具有相同橫向振動位移。約束層與阻尼層之間無相對滑移；

(3)夾層梁為大跨度小厚度梁，約束層與阻尼層均只受縱向應(yīng)力σx。

圖1 超聲速流中夾層梁示意圖

對夾層梁所受氣動力，本文采用一種簡化的氣動力理論，即一階活塞理論。研究表明，當馬赫數(shù)在1.6～5.0之間時[1,12]，利用此理論計算得到的氣動力可以滿足工程上對數(shù)值結(jié)果精度的要求。

一階活塞理論的氣動力的表達式如下[8-9]：

(1)

夾層梁的應(yīng)變與橫向振動位移間關(guān)系為：

εx=-zw′xx

(2)

夾層梁約束層應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系為：

(3)

夾層梁阻尼層應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系為：

(4)

Γ為粘彈性材料特性微分算子。

Kelvin本構(gòu)關(guān)系可以表示為[10]，

ΓK=Ej+ηD；

(5)

Maxwell本構(gòu)關(guān)系可以表示為，

(6)

(7)

梁微元橫截面所受剪力設(shè)為Q，根據(jù)梁微元所受力平衡及所受彎矩平衡可得

(8)

(9)

其中

(10)

將應(yīng)變與橫向振動位移關(guān)系式(2)、應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式(3)及式(4)～(6)代入式(7)可得彎矩Mx。將所求得Mx代入式(8)、式(9)即可分別得到兩種粘彈性模型的控制微分方程，如下：

(11)

(12)

其中，H為阻尼層的厚度，h為上下約束層的厚度之和。

2 顫振分析

使用Galerkin法，設(shè)橫向振動位移為：

(13)

qi(t)=Cieλt

(14)

φi(x)=sin(iπx/L)

(15)

其中φi(x)表示滿足簡支邊界條件的試函數(shù)，qi(t)表示位移函數(shù),Ci、λ為常數(shù)，L為梁的長度。當夾層梁采用Kelvin模型本構(gòu)關(guān)系，將式(13-15)代入式(11)可得

(16a)

當夾層梁采用Maxwell模型本構(gòu)關(guān)系，將式(13-15)代入式(12)可得

(16b)

對式(16a)、(16b)左右兩端乘以φj(x)，并在[0，L]之間積分可得到：

(17)

式(17)的解可寫為：

(18)

將式(18)代入式(17)得到，

(19)

|λ2M+λC+K|=0

(20)

利用數(shù)值方法求解可得特征根λ。表1和2給出了本文采用的梁參數(shù)和氣動力參數(shù)。由這些參數(shù)，分別采用Kelvin模型本構(gòu)關(guān)系與Maxwell模型本構(gòu)關(guān)系，通過上述求解方法，得到了馬赫數(shù)在1.6與5.0之間變化時振動方程的特征根λ。對于流固耦合問題，λ為復(fù)數(shù)。提取其虛部lm(λ)作縱坐標，馬赫數(shù)Ma為橫坐標，得到圖2(a)與圖3(a)；提取其實部Re(λ)作縱坐標，馬赫數(shù)Ma為橫坐標，得到圖2(Vb)與圖3(b)。Kelvin 模型運算結(jié)果如圖2所示，Maxwell模型運算結(jié)果如圖3所示。

表1 梁模型參數(shù)

表2 氣動力參數(shù)

由圖2 (a)及圖3 (a)看，隨著氣流流速的增大，夾層梁第一階頻率逐漸增大，第二階頻率逐漸減小，在馬赫數(shù)Ma=3.1處發(fā)生耦合并產(chǎn)生內(nèi)共振，共振頻率隨流速增大而增大。兩種粘彈性模型夾層梁的振動頻率以及共振點一致。振動頻率、共振點受氣動力影響，不受所選取的粘彈性模型影響。由圖2 (b)及圖3 (b)看，氣流流速在馬赫數(shù)Ma=3.1之前，夾層梁第一階頻率、第二階頻率對應(yīng)的實部重合，隨著氣流流速的增大，特征根實部從-6.9470減小為-14.0204；氣流流速在馬赫數(shù)Ma=3.1時，前兩階特征值實部分岔為兩支，第一階特征值實部隨馬赫數(shù)增加而遞增，在馬赫數(shù)Ma=3.2處。這說明系統(tǒng)在該馬赫數(shù)下因顫振而失穩(wěn)。對比圖2 (a)及圖3 (a)，可知系統(tǒng)在該馬赫數(shù)下因為內(nèi)共振不斷地出現(xiàn)能量積累，最終發(fā)生顫振失穩(wěn)。

圖2 Kelvin模型系統(tǒng)特征根隨馬赫數(shù)變化圖

圖3 Maxwell模型系統(tǒng)特征根隨馬赫數(shù)變化圖

(21)

經(jīng)數(shù)值計算驗證，振動方程(21)的求解結(jié)果與圖2、圖3相同。由此可知，對中間層選取不同粘彈性模型對夾層梁的振動頻率與夾層梁的振動穩(wěn)定性不產(chǎn)生影響。

3 結(jié)論

本文研究了超聲速流中粘彈性夾層梁的穩(wěn)定性，使用Galerkin離散方法研究了其在超聲速氣流下的振動情況，主要得到了以下結(jié)論：

(1)雖然中間層的不同粘彈性模型會給夾層梁帶來剛度上的變化，但中間層粘彈性材料彈性模量不足約束層的1/103，使得Kelvin模型與Maxwell模型下夾層梁中間層均對剛度貢獻不足1/106，因此不能影響夾層梁的振動頻率及顫振點。則在選取粘彈性材料時可忽略中間層對剛度的影響，選擇剛度較大的約束層材料能推遲顫振的發(fā)生。

(2)采用Kelvin模型本構(gòu)關(guān)系得到的振動方程中的阻尼項比采用Maxwell模型本構(gòu)關(guān)系得到的振動方程中的略大，高出部分不足1/104，不能對顫振的抑制產(chǎn)生明顯區(qū)別。

以上分析可知中間層粘彈性模型的選取對夾層梁的振動及顫振影響微小，在選取粘彈性材料時可忽略材料屬于哪種模型；選擇粘彈性值較大的材料易于提高該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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