李同榮，崔文艷

(濱州學院 數學與信息科學系，山東 濱州 256603)

0 引言

在研究復雜函數的性質時，通常采用的思路是利用已知性質的簡單函數在局部近似代替待研究函數，通過簡單函數的性質來得到待研究函數的某些性質.這種用函數在局部的近似值來代替真實值引起的誤差稱為方法誤差［1］.解決方法誤差的途徑就是需要對近似函數進行不斷地修正.如果函數f(x)在某個小區(qū)間(a，b) 上有定義，選擇一個函數g(x)在(a，b) 上來近似代替，這時就會得到一個誤差函數g(x)－ f(x).這樣在衡量選擇的函數g(x)是否能滿足需要時，只需在(a，b) 上考慮誤差函數g(x)－ f(x)的絕對值是否能達到足夠小，以滿足允許的精度.

基于上述思想，本文通過定義誤差允許函數引入函數連續(xù)的新定義，新定義的給出既豐富了無痛微積分理論，同時也為高等數學教學提供新的參考.

1 主要結論

定義1 如果對于絕對值足夠小的h，ε(h)≥0 能達到任意要求的精度，即ε(h)≤指定的精度，則稱ε(h)為誤差允許函數.

定義2 (函數連續(xù)的新定義)設函數y = f(x)在(a，b) 上有定義，x∈(a，b) ，如果f(x)對于絕對值足夠小的h，滿足一致不等式

其中ε(h)表示誤差允許函數，則稱f(x)在x點連續(xù).

為了研究方便，一般可選擇| h|的冪函數作為誤差允許函數，例如令ε(h)= C| h|，這里C為大于零的某一常數.類似地，可定義函數在某一點左連續(xù)和右連續(xù).

定義3 設函數y = f(x)在[x，b)(或(a，x])上有定義，如果f(x)對于絕對值足夠小的h≥0(或h≤0)，滿足一致不等式

其中ε(h)表示誤差允許函數，則稱f(x)在x點右(或左)連續(xù).

連續(xù)的幾何意義 對于函數f(x)，如果用與x + h接近的點x的函數值f(x)近似代替f(x + h)，如果x與x + h足夠接近，產生的誤差就可以控制在規(guī)定的范圍之內.

證明首先，對于任意指定的精度ε，滿足絕對值足夠小的h，有

其中α(h)為h→0 時的無窮小量，則對于任意指定的正數ε(h)(精度)，存在h，使得| h |足夠小時，

定理2【2－3】函數f(x)在點x處連續(xù)的充要條件是f(x)在點x處既左連續(xù)又右連續(xù).

證明 由定義2，3 便得.

2 例題

例1【4】證明y = sinx在x處連續(xù).

所以，由定義2 可知，結論成立.

所以，由定義2 可知結論成立.

例3 證明y = ax(a ＞1)在x =0 處連續(xù).

證明 當h足夠小，不妨設，當h ＞0 時，一定存在正整數n，使得，此時

當h ＜0 時，有－ h ＞0，所以，a－h(huán) ＞a0=1，此時

由上邊的推導可知

當h =0 時顯然成立.

由此，對于絕對值足夠小的h，成立一致不等式

由定義2 可知，結論成立.

3 連續(xù)與可導的關系

文獻［5，6］中依據誤差理論曾給出微分的初等定義，下面依據連續(xù)的新定義給出連續(xù)與可導的關系.

定義4 設函數y = f(x)在(a，b) 上有定義，x∈(a，b) ，如果f(x)滿足一致不等式

則稱f′(x)為函數f(x)在x點的導數.

如果說連續(xù)的定義可看作零次多項式的近似，那么可導的定義可看作用一次函數f(x)+f′(x)h來近似f(x +h)的值.這里，不妨看作是對零次近似產生的誤差的進一步修正.當然，在一定條件下，這種修正可以繼續(xù)下去，因此函數在某一點的n階泰勒展開式可以看做用n次多項式函數近似的結果.

定理3 函數f(x)在x處可導?函數f(x)在x處連續(xù).

證明由f(x)在x處可導，即可知

所以

由定義2 可知，函數f(x)在x處連續(xù).

［1］費業(yè)泰.誤差理論與數據處理［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2005.

［2］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［3］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，2011.

［5］林群.微積分快餐［M］.北京:科學出版社，2009.

［6］林群.寫給高中生的微積分［M］.北京:人民教育出版社，2010.