劉細(xì)憲，陳伯山

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

0 引言

傳染病是當(dāng)今世界極為引人關(guān)注的問題之一，對(duì)傳染病的傳播規(guī)律和防治對(duì)策的研究是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的大問題. 從上世紀(jì)以來, 人們通過傳染病模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的研究, 來顯示疾病的發(fā)展過程, 預(yù)測(cè)其流行規(guī)律和發(fā)展趨勢(shì), 分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素,尋求對(duì)其預(yù)防和控制的最優(yōu)策略, 為人們防治決策提供了理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù).

傳染病學(xué)是研究特定人群中疾病健康狀況的分布及其決定因素, 并研究防治疾病及促進(jìn)健康的策略和措施的科學(xué). 數(shù)學(xué)模型被廣泛的用于傳染病的研究. 1927年, Kermack 和Mckendrick[1]提出了經(jīng)典的SIR傳染病模型，之后， 許多學(xué)者從不同的角度對(duì)流行病模型的系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)并取得了一系列的成果.在不考慮染病者因病死亡的前提下, Anderson等[2]考慮了如下的模型：

(1)

其中 ，S(t) ，I(t),R(t) 分別表示易感者，染病者，恢復(fù)者在t時(shí)刻占總?cè)丝诘谋壤@里所有的參數(shù)都是正常數(shù):μ表示人口的出生率(死亡率)，α表示傳染概率，γ表示患病者的恢復(fù)率. 本文主要運(yùn)用了一種新的方法去證明該模型的全局穩(wěn)定性，從而避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的困難.

本文的結(jié)構(gòu)如下：首先計(jì)算模型的平衡點(diǎn)；其次利用Routh-Hurwitz判據(jù)分析平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性；最后用新的幾何方法證明內(nèi)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

1 平衡點(diǎn)及其局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)存在兩個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)μ+γ>α?xí)r，平衡點(diǎn)為E0(1,0,0) ；當(dāng)μ+γ<α?xí)r，平衡點(diǎn)為

下面分別考慮兩個(gè)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

定理1 當(dāng)μ+γ>α?xí)r，平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)(1)的Jacobi矩陣為

由此可知，

因而有

|J(E0)-λE|=(λ+μ)2(λ-α+γ+μ)

記

f(λ)=(λ+μ)2(λ-α+γ+μ)

又因?yàn)棣?γ>α，所以f(λ)只存在負(fù)實(shí)根。因此，E0是局部漸近穩(wěn)定的。

定理2 當(dāng)μ+γ<α?xí)r，平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 易知

因而有

記

f(λ)=|J(E1)-λE|

顯然A>0 ，又因?yàn)棣?γ<α，所以有

因此，由Routh-Hurwitz判據(jù)可得，E1是局部漸近穩(wěn)定的。

2 內(nèi)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

一般而言，我們都是通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法來證明一個(gè)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。1996年，Li 和Muldowney開創(chuàng)先河，用一種幾何方法證明了一個(gè)傳染病模型的全局穩(wěn)定性[3]，從而避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。本文就是運(yùn)用這種幾何方法來分析系統(tǒng)(1)內(nèi)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

定理3 如果μ+γ<α，那么系統(tǒng)(1)在內(nèi)平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，其中

μ2=min{γ,αμ1+2γ,2γ+αμ1}=γ

證明 自治系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式，

(2)

系統(tǒng)(1)的變分矩陣為

(3)

如果V|2|是變分矩陣V的第二附加矩陣(見[4])，則有

所以有

顯而易見有

因此，

這里的

B11=-αI-γ-2μ

B12=(0 0)

B21=(γ0)T

在R3內(nèi)定義如下形式的向量范式：

|(μ,v,ω)T|=max{|μ|,+|v|+|ω|}

這里的向量 (μ,υ,ω)在 R3內(nèi)，且由跟這個(gè)范式相關(guān)的Lozinskii測(cè)度 Γ(見[5])來表示。

因此，Γ(B)≤sup{g1,g2} 且gi=Γ1(Bii)+|Bij|，i=1 ，2,i≠j.這里|B12| ，|B21| 是跟Γ1相關(guān)的矩陣范式，且Γ1是跟這個(gè)范式相關(guān)的Lozinskii測(cè)度。

由此可以得到：

Γ1(B11)=-αI-γ-2μ

|B12|=0

|B21|=γ

g1=Γ1(B11)+|B12|=-αI-γ-2μ

因此，

假設(shè)存在一個(gè)正數(shù)μ1∈ R且t1>0 ，

min{γ,αμ1+2γ,2γ+αμ1}=γ

所以有

即

所以

由此，定理得證(詳見[3])。

參考文獻(xiàn):

[1]Kermack W O , McKendrick A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics[J]. proc R soc, 1927, A115:700～721.

[2]葉志勇, 豆中麗, 馬文文,等. 具有種群Logistic增長(zhǎng)的SIR模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J] .生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 27 (2):233～240.

[3]Li M Y, Muldowney J S.A geometric approach to global stability problems [J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1996, 27 (4) :1070～1083.

[4]Bunomo B,Onofrio A,Lacitignola D.Global stability of an SIR epidemic model with information dependent vaccination [J]. Mathematical Biosciences, 2008, 216 (1): 9～16.

[5]Chakraborty K,Chakraborty M, Kar T K.Optimal control of harvest and bifurcation of a prey-predator model with stage structure [J]. Applied Mathematics and Computation,2011, 217 (21) :8778～8792.