蘇艷云，李開燦

(湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002)

0 前 言

在實踐和統(tǒng)計研究中，線性回歸模型Y=XTθ+e是一類被廣泛使用的模型。但是在許多實際問題中，響應變量Y和自變量X之間可能不滿足這類簡單的線性關系，因為它們的線性系數(shù)可能隨著其它的協(xié)變量(如時間、溫度等)而變化。自從Hastie和Tibshirani[1]第一次定義了變系數(shù)模型，它已經(jīng)變成了一種用來探索變量間動態(tài)關系的重要工具，并被廣泛應用在經(jīng)濟學、政治學、金融學等領域。隨著數(shù)據(jù)存儲技術的發(fā)展，變系數(shù)模型也是一種用來進行高維回歸分析的有用工具。首先我們給出它的一般形式：

Y=XTθ(t)+e

(1)

其中X是一個p維的協(xié)變量向量，Y是響應變量；θ(t)=(θ1(t),……,θp(t))T是一個p維的未知向量，并且假設變系數(shù)函數(shù)θk(t),k=1,…,p關于t是連續(xù)有界的；隨機誤差e滿足E(e|X,t)=0，并且通常假設e獨立同分布；t是可以觀測的協(xié)變量，這里假設t是一個單變量，不失一般性設t∈[0,1].

為了估計模型(1)中的變系數(shù)，我們可以用傳統(tǒng)的非參數(shù)回歸方法：核估計、樣條逼近、正交級數(shù)逼近等。應用這些方法，模型(1)已經(jīng)被許多學者研究過，更詳細的可以參見文獻[1,2,5-7]。在這些文獻中，證明了估計值的大樣本性質，結果表明對模型(1)的估計，這些方法是有效的。另一方面，在模型(1)中，常假設協(xié)變量X能夠被直接觀測，但在實際應用中，X可能存在隨機測量誤差，這時模型(1)就變?yōu)樽兿禂?shù) EV(error-in-variable)模型。此外變系數(shù)模型常用來進行時間序列、縱向數(shù)據(jù)，功能數(shù)據(jù)分析等，我們將模型(1)中獨立的隨機誤差e拓展為線性平穩(wěn)的時間序列?，F(xiàn)給出本文的變系數(shù)EV模型：

(2)

在本文中，我們假設隨機誤差ei是一個時間序列，它已經(jīng)被許多學者研究過，具體可參見文獻[9-11]。在這些文獻中，通過對時間序列性質的討論，得到了相應估計值的漸近性質。另一方面，當協(xié)變量x的維數(shù)p相當大并且真實的變系數(shù)θ0(t)的部分分量為零或者漸近趨近于零時，為了減少模型的復雜度、增強模型的預測能力，我們需要對模型進行變量選擇，選出對Y真正有效的變量。自從Fan和Li[3]提出帶有懲罰函數(shù)的變量選擇方法，許多統(tǒng)計學家將其應用到模型(1)中。Wang和Xia[4]通過結合局部多項式光滑和收縮估計的方法，對模型(1)進行變量選擇。Zhao和Xue[6]基于樣條函數(shù)逼近和收縮估計，對半?yún)?shù)變系數(shù)部分線性EV模型提出偏差修正的變量選擇方法。Zhao和Xue[7]運用同樣的方法對帶有獨立隨機誤差ei的模型(2)選擇有效的變量。但是，對帶有相依誤差的變系數(shù)EV模型的變量選擇，卻很少有人研究。本文即是關于模型(2)，對文獻[7]中結論的一個推廣。

本文的安排如下：在第一節(jié)中，當測量誤差的協(xié)方差矩陣Σuu已知，我們提出了基于樣條函數(shù)逼近和SCAD懲罰函數(shù)的偏差修正的變量選擇方法。在第二節(jié)中，當隨機誤差ei是一個線性平穩(wěn)時間序列，在一些合適的正則條件下，我們得到了正則估計的相合性和最優(yōu)收斂速率，并且所得到的估計滿足變量選擇稀疏性。在第三節(jié)中，我們給出了漸近結果的詳細證明。

1 變量選擇

記B(t)=(B1(t),…,BL(t)T是M階B樣條基函數(shù)，其中L=K+M+1并且K是內(nèi)結點的個數(shù)。那么，應用B樣條逼近的思想[8]，θk(t)能夠被下式逼近

θk(t)≈B(t)Tβk,k=1,…,p

(3)

將(3)式帶入模型(2)中，我們可以得到

(4)

(5)

其中a>2,ω>0,并且pλ(0)=0.

2 必要條件和主要結論

在給出本文的結論之前，首先給出本文必需的一些正則性條件。為了敘述的簡單和方便，讓C表示正的常數(shù)，并且在不同的地方其值可以不同。

C2.t的密度函數(shù)，記為f(t)，在[0,1]上有限，進一步假設f(t)在(0,1)內(nèi)連續(xù)可導。

C3. 記G1(t)=E{xxT|t},G2(t)=E{(μμT)2|t},并且對所有的t∈[0,1],G1(t)和G2(t)連續(xù)，對給定的t，G1(t)和G2(t)是正定陣，它們的特征值有界。

C4. 記s1,…,sK為[0,1]中有序的內(nèi)結點，s0=0,sK+1=1,hi=si-si-1則存在常數(shù)C0使得

C5. 對給定的非零變量ω，滿足

本文對懲罰函數(shù)的要求類似于Fan和Li[3]、Wang和Xia[4]、Zhao和Xue[6][7]，并且SCAD懲罰函數(shù)滿足這些約束條件。

為了敘述的簡單和方便，讓θ0(t)表示變系數(shù)θ(t)的真實值，相應β的真實值記為β0.不失一般性，我們假設θk0(t)≡0，k=d+1,…,p,并且θk0(t),k=1,…,d是未知的非零部分。本文主要結論如下：

通過文獻[3]中的注記1，對SCAD閥值懲罰函數(shù)，當λ→0，有an=0.再結合定理1和定理2，當選擇合適的調整參數(shù)時，我們的變量選擇是相合的，可以達到最優(yōu)收斂速率，并且滿足選擇稀疏性，就像真實系數(shù)的非零部分我們事先已經(jīng)知道了一樣。

3 定理的證明

(6)

首先，定義△(α)=K-1{Q(β)-Q(β0)},Rk(ti)=θk0(ti)-B(ti)Tβk0,k=1,…,p,并且Zi=Ip?B(ti)·μi，那么R(ti)=(R1(ti)，…,Rp(ti))T寫成向量的形式為

R(ti)=θ(ti)-[Ip?B(ti)]T·β

J1+J2+J3+J4+J5+J6+J7

應用條件C1-C4和文獻[8]中的Corollary 6.21，我們能夠得到‖R(·)‖=O(K-r).更進一步，由于E{Zi|xi,ti}=0,sup1≤t≤1B(t)=O(1)和E{ei|xi,ti}=0，并且

從而選擇足夠大的C，J6在階數(shù)上能夠一致得控制Jv,v=1,…,5,‖α‖=C.再結合條件C5，對pλ(‖βk‖H)進行Taylor展開，可以得到

綜上，當‖α‖=C時，J6一致地控制著Jv,v=1,…,5,7.那么，通過選擇足夠大的常數(shù)C，(6)式可以滿足，定理1中的第一個結論得以證明。此外，由于

證明定理2：(稀疏性) 定理2的證明可以類似地參考文獻[7]，這里我們省略了它的證明。

參考文獻:

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