晉金才，竇霽虹，楊建飛

（1.西安郵電大學 電子工程學院，陜西西安 710121；2.西北大學 數學系，陜西西安 710127；3.西北大學 經濟管理學院，陜西西安 710127）

在生物數學中，具有階段結構或者具有功能性反應的生物數學模型被研究者所重視[1-9]，文獻[1]研究了具有Beddington-DeAngelis功能性反應的三維順環(huán)捕食系統，得到了系統一致持續(xù)生存、存在唯一全局漸近穩(wěn)定正周期解與概周期解的充分條件，文獻[2,10]研究了食餌具有階段結構和Beddington-DeAngelis功能性反應的兩種群食餌-捕食者模型的持久性和周期解的存在性。本文對一類同時具有階段結構和Beddington-DeAngelis功能性反應的非自治三種群順環(huán)捕食系統進行研究①。

1 數學模型

本文研究了一類具有階段結構和Beddington-DeAngelis功能性反應的非自治三種群順環(huán)捕食系統②，即

其中 x11(t)，x12(t)，x2(t)，x3(t)分別表示種群 1 的幼年個體和成年個體及種群2,種群3在t時刻的種群密度，幼年個體x11(t)不能捕食x3(t)，成年個體 x12(t)捕食 x2(t)，x2(t)捕食 x3(t)，x3(t)捕食幼年個體x11(t)，ri(t),i=1,2,3,4為種群的死亡率，a(t)為成年個體對新生幼年個體的轉化系數，d(t)為幼年個體向成年個體的轉化系數，ei(t),i=1,2,3,4為密度制約系數。這里所有系數都是關于t函數，比如a=a(t))，且都是定義在[0,+∞]上連續(xù)的正周期函數，并記

定義1[1]對于系統的任意正解(x11(t),x12(t)，x2(t),x3(t)),若存在實數M≥m＞0滿足

引理1[5]若微分不等式滿足y(t)(p-qy(t))，y(t)=x(0),其中 p，q 是常數，則其解滿足不等式

引理2[11](Brouwer不動點定理)假設中的有界閉凸集，T∈C(Ω,Ω)，則存在 X0∈Ω，使得TX0=X0。

引理3[12]設f（x）為定義在[0，+∞]上的非負可微函數，若有界，則為一常數，且有

2 定理及其證明

定理1如果系統(1)的解滿足初值條件xli(0)＞0，xj(0)＞0，i=1，2，j=2，3 那么系統(1)的所有滿足初值條件解最終都滿足xli（t）＞0，xj(t)＞0,i=1，2，j=2，3。

證明 因為

由比較定理知

由生物學意義知 x11(0)＞0，則 x11(t)＞0；同理知x12(t)＞0。

又由于

由生物學意義知 x2(0)＞0，則 x2(t)＞0；同理知x3(t)＞0，故定理 1 成立。

定理2 如果系統(1)滿足條件

那么系統(1)是一致持續(xù)生存的。

證明 取函數S(t)=x11(t)+x12(t)，則S(t)沿系統(1)的導函數是

則對于常數c，有

由系統的后兩個方程及xj(t)＞0,j=2，3則，取實數

對(1)，(2)兩式從 0 到 t積分得

同理可知存在 mj＞0，j=2,3，使得 xj(t)≥mj，j=2,3。

令 V(t)=min{x11(t),x12(t)}，當 x11(t)≤x12(t)時，則V(t)沿系統的右上導數為

當 x11(t)≥x12(t)時，

定理3 如果系統(1)滿足定理2的條件，并且滿足

那么系統(1)唯一存在全局漸近穩(wěn)定的周期正解。

如果X0∈Ω0，則由解對初值的連續(xù)依賴性定理知，T關于X0在Ω0上是連續(xù)的，并且X0∈Ω0一定有令 t=ω，則有 x(t+t0,t0X0)∈Ω0，也就是TΩ0∈Ω0由引理2知，映射T在Ω0中至少存在一個不動點X0，即系統(2)至少存在一個周期解。設為Y(t)=(y11(t),y12(t),y2(t),y3(t),y1i(t)＞0，i=1，2，j=2，3）為系統(1)的周期解，X(t)為系統(1)滿足初值 x1i(0)＞0,xj(0)＞0,i=1,2,j=2，3 的任意解，構造函數：

則W(t)沿系統(1)正解的右上導數是

取常數β使

則t≥T。

對(8)兩端從T到t積分得

故系統(2)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的周期正解。

注釋：

① 本文在文獻[1]的基礎上將階段結構引入三種群順環(huán)捕食系統中，使系統更接近實際的生態(tài)意義，同時又將文獻[2]的研究推廣到三種群順環(huán)捕食系統使研究的難度進一步加大。

② 系統(1)所具有的生態(tài)意義是：當自然環(huán)境與人類對環(huán)境干預的共同作用下，具有階段結構和Beddington-De Angelis功能性反應的三維順環(huán)捕食生態(tài)系統在一定條件下，會出現周期平衡震蕩，這對環(huán)境保護和生態(tài)平衡都具有一定的意義。

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