陳迎春　曹云鳳　曹云建

【摘 要】本文通過對公路網(wǎng)規(guī)劃評價指標、分形和分形維數(shù)的研究，闡述了分形理論用于路網(wǎng)評價的可行性，將分形理論應(yīng)用于區(qū)域路網(wǎng)的覆蓋性評價，取得較好效果，由此得出，分形理論在路網(wǎng)覆蓋性評價方面是簡單、操作可行的一種評價方法。

【關(guān)鍵詞】公路網(wǎng)評價；分形理論；技術(shù)評價；覆蓋形態(tài)；分形分維

0.引言

道路交通體系是城市機能運轉(zhuǎn)不可缺少的重要組成部分，但現(xiàn)有的路網(wǎng)規(guī)劃評價理論與方法在邏輯分析、量化分析、設(shè)計方法層面還存在諸多不足?！胺中螏缀螌W(xué)”作為一種新興學(xué)科已經(jīng)在國民經(jīng)濟各行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用，而由于公路網(wǎng)從形態(tài)上符合分形理論，所以，作為理論基礎(chǔ)將其應(yīng)用于公路網(wǎng)規(guī)劃評價方面具有很好的前景。

1.分形理論介紹

1.1分形的概念

“分形”用來描述自然界中傳統(tǒng)歐氏幾何所不能描述的一些復(fù)雜而無規(guī)則的幾何現(xiàn)象，如變幻莫測的云彩、雄渾壯闊的地貌、回轉(zhuǎn)曲折的海岸線、動物的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、不斷分叉的樹枝、縱橫交流的血管、燒結(jié)過程中形成的各種尺寸的聚積團等等，這些現(xiàn)象的一個共同特點是：不規(guī)則、不光滑。

分形的定義：其組成部分和整體以某種方式相似的形，這里的“某種方式”是“自相似”或“自仿射”[1]。

1.2分形的維數(shù)

分形幾何學(xué)的數(shù)學(xué)量度是分形幾何形體的維數(shù)，它不是整數(shù)而是分數(shù)，它的計算是分形幾何的創(chuàng)立者們在總結(jié)歸納的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

分形幾何形體的本質(zhì)屬性是自相似性，而這一自相似性一定是在同一形體的不同層次之間（不論是對自然形體的不同程度的放大，還是對人工形體迭代操作所得到的不同代）得以體現(xiàn)的。因而，分形幾何形的維數(shù)正是在形狀的不同層次的比較之間所反映出來的規(guī)律。這一規(guī)律所代表的是分形幾何形狀在空間中的擴張趨勢。維數(shù)越大，就表明它在空間的擴張趨勢越強，形狀本身的變化可能性也越豐富。對于不同類型的分形幾何形體，分形幾何學(xué)定義了三種不同的維數(shù)計算方法：自相似維數(shù)、量度維數(shù)和格數(shù)維數(shù)[2]。

自相似維數(shù)針對的是人工操作所形成的分形幾何形體，它的層次體現(xiàn)在相鄰的父代（即操作起始）和子代（即操作結(jié)果）之間，由于每個父代和子代之間執(zhí)行的都是同樣的人工定義的規(guī)律，因而自相似維數(shù)在不同的層次之間、或在形體不同的代數(shù)之間保持的是穩(wěn)定的常數(shù)。

量度維數(shù)、格數(shù)維數(shù)針對的則是完全自然的形體，它們要把自然形體的層次揭示出來，就必須依據(jù)某種分析手段。在這方面，量度維數(shù)靠的是把自然線條簡化成分辯率不同的折線，格數(shù)維數(shù)依靠的是把自然形體簡化成分辯率不同的位圖，它們都在不同的分辯率下形成不同的簡化結(jié)果，并以之展現(xiàn)出形體本身原有的層次，再通過對這些結(jié)果的比較計算出維數(shù)的數(shù)值。量度維數(shù)和格數(shù)維數(shù)實際上都是一系列存在微小差異的變數(shù)，其趨勢能反映出自然形體的構(gòu)成規(guī)律。

格數(shù)維數(shù)適用于一般的自然形狀。它用不同密度的格網(wǎng)來覆蓋形狀，計算形狀所占據(jù)的格子數(shù)，并通過比較不同密度下格子數(shù)的不同來判斷形狀的維數(shù)。在理論上，格數(shù)維數(shù)的數(shù)值等于自相似維數(shù)。

2.公路網(wǎng)評價指標體系

路網(wǎng)的基本功能是滿足最多的人以最少的時間到達最理想的目的地。而對路網(wǎng)的評價是公路網(wǎng)規(guī)劃過程中的一個重要部分，主要包括技術(shù)評價、經(jīng)濟評價、社會評價和綜合評價，其中技術(shù)評價是一項十分重要的內(nèi)容，而公路網(wǎng)覆蓋形態(tài)則是技術(shù)評價的重要指標之一，如圖1所示。

圖1 公路網(wǎng)規(guī)劃評價體系

公路網(wǎng)絡(luò)的覆蓋形態(tài)描述了公路路線在區(qū)域中的覆蓋狀況，常用“覆蓋率”和“覆蓋深度”進行定量描述，比其它指標更深入、更直觀、更準確的反映公路網(wǎng)的狀況。然而，在過去路網(wǎng)的評價中，常用路網(wǎng)密度描述道路的密集程度， 路網(wǎng)密度指城市中所有的道路總長度與城市總面積之比。該指標只能反映公路網(wǎng)建設(shè)的總體規(guī)模與水平，不能對路網(wǎng)的具體分布特征進行準確的描述。例如，具有相同長度的公路按不同均勻程度分布在相同面積的區(qū)域上，顯然其密度指標是一樣的，但實際上這兩個路網(wǎng)的分布特征是不同的。而基于分形理論的公路網(wǎng)覆蓋形態(tài)評價模型是一種較為簡單的近似算法，為路網(wǎng)覆蓋形態(tài)指標的評價提供了較好的工具。

3.分形理論在公路網(wǎng)評價中的應(yīng)用

3.1分形分維用于公路網(wǎng)評價的可行性

將分形幾何學(xué)的基本概念和原理，以及分形的特征應(yīng)用于工程實踐，是由于分形中的自相似特性，可以是絕對意義上的自相似，也可以是統(tǒng)計意義上的自相似。而統(tǒng)計意義上的自相似正是公路網(wǎng)技術(shù)等級規(guī)劃思路中的理論依據(jù)。

自相似性存在有類屬層次，級別的多種相似。在級別相似中，級別最高的是整體，級別最低的稱為生成元，級別差越小，它們之間的相似性就越高，級別差越大，它們之間的相似性就越低，最終導(dǎo)致相似性消失。公路研究時用的分形幾何中的生成元和分形圖正好與公路線路和公路網(wǎng)兩個層次之間的概念是對應(yīng)的。

公路網(wǎng)規(guī)劃是一種工程實踐，其中所運用的分形為統(tǒng)計意義下的自相似理論。公路線路與公路網(wǎng)是公路中微觀、宏觀兩個不同層次上的“子母”型事物，在它們之間需要有一種特性參數(shù)來劃分其中的過渡特征，且參數(shù)越少越好。在已往的公路網(wǎng)評價中，不論是公路線路的技術(shù)參數(shù)（如地理位置、里程、技術(shù)等級等），還是公路網(wǎng)的技術(shù)參數(shù)（路網(wǎng)密度、平均技術(shù)等級等），都無法完全滿足路網(wǎng)規(guī)劃評價要求[3]。同時，由于公路網(wǎng)在局部和整體上的相似性，并不是在任何尺度上都成立的，通常只是在無標度區(qū)尺度范圍內(nèi)才成立。無標度區(qū)是指自相似性存在的尺度范圍，即自相似性存在的區(qū)域。因此，考察區(qū)域內(nèi)交通網(wǎng)絡(luò)的分形特征時必須在無標度區(qū)內(nèi)進行考察。

正是由于分形有無標度區(qū)間的概念所以可以方便的解決公路“載荷”之中的輸送與集散兩種特征背向功能的統(tǒng)一。在分形區(qū)間中又可解決公路這個“載體”網(wǎng)中的干支關(guān)系，且無論干支層次關(guān)系中有多少層次，都可用分形維數(shù)進行分析研究。因而，分形特征的分維數(shù)為路網(wǎng)規(guī)劃評價過程提出了一種新思路新方法。

3.2分形理論應(yīng)用于公路網(wǎng)規(guī)劃的理論依據(jù)

路網(wǎng)覆蓋度，就是在公路網(wǎng)規(guī)劃中運用分形理論中的分維數(shù)求出的評價指標。下面就路網(wǎng)覆蓋度的含義及應(yīng)用進行分析和說明。

我們用網(wǎng)絡(luò)邊長為r的方格網(wǎng)覆蓋所分析的區(qū)域，設(shè)其中有交通線路通過的網(wǎng)格數(shù)為N（r），當r變化時，N（r）也隨之變化，就形成r-N（r）曲線。

分形理論對分維的定義方法如下方程式：

D（ri）=

將上式進行轉(zhuǎn)換，用差分代替微分可得到：

D（ri）=-

公式中：為第i次細分公路線網(wǎng)后的網(wǎng)格邊長，r（i-1）為第i-1次細分公路線網(wǎng)后的網(wǎng)格邊長，N（ri）為第 i 次細分公路線網(wǎng)后有公路線路通過的網(wǎng)格數(shù)，Nr（i-1）為第 i-1 次細分公路線網(wǎng)后有公路線路通過的網(wǎng)格數(shù)，D（ri）是分維數(shù)[4]。

以下舉例來說明以上理論。設(shè)在一個邊長為 r 的正方形網(wǎng)格內(nèi)有一條公路線通過（如圖2中a），將該正方形四等分，分成4個邊長為r/2的小正方形，形成新的覆蓋網(wǎng)格，這時道路通過狀況有四種不同的情況（如圖2中b-e）。

圖2 不同道路覆蓋形態(tài)下的分維數(shù)

有上面公式計算可得：

當這四個正方形均有道路通過時，計算出 D=2；

當有三個正方形有道路通過時，計算出D=1.58546；

當有兩個正方形有道路通過時，計算出D=1；

當只有一個正方形有道路通過時，計算出D=0。

由此可知，分維數(shù)在是否有公路線通過的意義上，反映出新網(wǎng)絡(luò)與原網(wǎng)絡(luò)的相似程度。當 D=2時，具有完全的自我相似性（因為這時細分正方形前后的情況完全相似，每個方格內(nèi)均有公路線通過）。因此，可用相似分維數(shù)D來定義網(wǎng)絡(luò)覆蓋度。覆蓋度反映了路網(wǎng)均勻性的量化程度，在同樣的路網(wǎng)密度情況下，公路線分布越均勻，路網(wǎng)覆蓋度指標值越高，因而它比路網(wǎng)密度指標提供了更多的特征信息。

3.3分形理論用于路網(wǎng)規(guī)劃評價的重要意義

由于用于路網(wǎng)規(guī)劃評價的路網(wǎng)密度指標只是反映了路網(wǎng)建設(shè)的總體規(guī)模與水平，易于進行不同地區(qū)或國家之間的橫向比較，非常適用于研究交通網(wǎng)絡(luò)的宏觀規(guī)模，但對于路網(wǎng)具體分布特征的描述則仍然不夠完善。當把相同長度的道路按照不同均勻程度布置在同樣面積的區(qū)域上時，它們的密度指標是相同的，但所發(fā)揮的作用卻有差異[5]。而交通網(wǎng)絡(luò)分布的均勻程度在路網(wǎng)規(guī)劃合理性評價中具有重要的作用，例如通過交通網(wǎng)絡(luò)的均勻分布促進不同地區(qū)的均衡發(fā)展，而密度指標通常遺漏了路網(wǎng)規(guī)劃中重要的網(wǎng)絡(luò)分布特征的信息。

公路網(wǎng)的空間布局及網(wǎng)絡(luò)分布具有自相似性，符合分形的特征，因而可以應(yīng)用分形理論對其進行研究?；诜中卫碚摰穆肪W(wǎng)覆蓋形態(tài)評價模型是一種較為簡單的近似算法，可以根據(jù)研究的需要，引用不同種類的分維，應(yīng)用于公路網(wǎng)絡(luò)的分形研究，也可以用來分析公路網(wǎng)絡(luò)的空間幾何特征、空間密度特征、空間復(fù)雜程度以及空間連通性特征等，可有效得出公路網(wǎng)的適應(yīng)性、可達性和連通性，為路網(wǎng)覆蓋形態(tài)指標的評價提供了較好的工具。因此，引進基于分形理論的網(wǎng)絡(luò)覆蓋評價指標對于路網(wǎng)規(guī)劃規(guī)模的合理性評價具有著重要的意義。

4.結(jié)束語

分形理論用于公路網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃評價，不僅反映了網(wǎng)絡(luò)密度指標所反映的公路網(wǎng)絡(luò)建設(shè)的總體規(guī)模與水平，而且分維數(shù)的應(yīng)用為描述網(wǎng)絡(luò)覆蓋的深入程度、網(wǎng)絡(luò)分布的均勻程度等提供了有效的方法。然而本文主要是從路網(wǎng)覆蓋量均勻的角度來評價路網(wǎng)的總體分布的，但路網(wǎng)分布規(guī)劃畢竟是一個多層次的問題，存在許多影響著一個地區(qū)的路網(wǎng)發(fā)展與預(yù)測的自然、地理、經(jīng)濟等不同因素，因此，在計算路網(wǎng)覆蓋度 D 時，應(yīng)該加入多重分形的思想，對于一個系統(tǒng)的分析，應(yīng)該多方位、多角度透徹的考慮各方面的影響，才能使每條線路都得到充分的應(yīng)用，達到最大的效益。 [科]

【參考文獻】

[1]金以文，魯世杰著.分形幾何原理及其應(yīng)用[M].浙江大學(xué)出版社，1998.

[2]李后強，程光錢.分形與分維.成都：四川教育出版社，1990.

[3]張錚，陳亮.基于分形理論的區(qū)域路網(wǎng)覆蓋性評價研究.河北工業(yè)大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報，2005，3.

[4]謝和平，薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法.科學(xué)出版社，1997，3.

[5]楊東援，吳海燕，宗傳苓.采用分形幾何學(xué)方法概述路網(wǎng)覆蓋形態(tài).中國公路學(xué)報.