張礁石 楊子賢 盧結(jié)成

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，合肥，230027）

引 言

隨機(jī)共振（Stochastic resonance，SR）是一種現(xiàn)象：在某些非線性系統(tǒng)中，衡量隨機(jī)共振的測(cè)度（如輸出信噪比增益、互信息量等）隨著加入噪聲的改變呈現(xiàn)出非單調(diào)變化的規(guī)律。國內(nèi)外早期的研究大多集中在一類非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)——雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)［1］其中V（x）＝但該模型受限于絕熱近似理論（A?1，Ω?1）。

Wiesenfeld［2］等在1994年首次提出SR實(shí)際上是一種閾值效應(yīng)，低閾值信號(hào)、噪聲、閾值系統(tǒng)是產(chǎn)生SR現(xiàn)象的必需因素。在2000年Stocks［3］提出超閾值SR概念以前，人們僅研究由一個(gè)閾值單元組成的SR系統(tǒng)，并認(rèn)為只有當(dāng)輸入信號(hào)幅值低于系統(tǒng)閾值時(shí)（即輸入為低閾值信號(hào)），才能產(chǎn)生SR現(xiàn)象。Stocks提出閾值陣列模型，證實(shí)當(dāng)輸入信號(hào)幅值高于系統(tǒng)閾值時(shí) （即輸入為超閾值信號(hào)），通過此模型可得到另一種形式的SR現(xiàn)象——超閾值SR（Suprathreshold SR）。目前，對(duì)于超閾值SR的研究主要針對(duì)非周期信號(hào)輸入信號(hào)下，輸入輸出互信息量［3］、輸入輸出相關(guān)系數(shù)［4］等隨閾值噪聲的加入非單調(diào)變化的情況，但對(duì)于周期輸入?yún)s很少有研究。

對(duì)于周期輸入，采用輸出信噪比增益來衡量其SR測(cè)度。本文采用閾值陣列模型為研究對(duì)象，研究輸出信噪比增益是否大于1的問題。然而，與之前對(duì)于輸出信噪比增益研究不同的是，本文所處理的輸入信號(hào)為周期信號(hào)與噪聲的混合信號(hào)，即含噪信號(hào)。這樣一來，輸入信噪比是固定的，通過閾值陣列系統(tǒng)，在閾值噪聲的作用下 （注意，含噪輸入信號(hào)通過閾值陣列系統(tǒng)又受到閾值噪聲的作用，相當(dāng)于在本來就受污染的信號(hào)中再加入噪聲），可觀察到輸出信噪比相對(duì)于輸入信噪比有所提高（即輸出信噪比增益大于1），且輸出信噪比增益隨著閾值噪聲方差的變化而非單調(diào)變化。從黑盒角度看，對(duì)原本含噪聲的信號(hào)進(jìn)行處理，期望其輸出信噪比相比輸入信噪比增加，相當(dāng)于對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波去噪。而閾值陣列系統(tǒng)就等價(jià)于這個(gè)濾波器。只不過這個(gè)特殊的非線性濾波器借助了噪聲的有效性，對(duì)“模糊”的輸入信號(hào)進(jìn)行處理，得到更“清晰”的輸出信號(hào)。

1 隨機(jī)共振的測(cè)度——信噪比增益

最早用于衡量SR現(xiàn)象是否存在的標(biāo)志就是信噪比是否得到改善，人們對(duì)于SR是否能夠使系統(tǒng)輸出信噪比高于輸入信噪比存在爭論［4］。但公認(rèn)的是，在線性響應(yīng)理論下，限定輸入信號(hào)幅值遠(yuǎn)小于噪聲幅值，SR不能提供大于1的信噪比增益。本文利用超閾值SR理論模型證實(shí)在周期輸入信號(hào)下可獲得大于1的信噪比增益。

Chapeau［5］提出的靜態(tài)閾值SR理論中給出輸出信噪比為輸出信號(hào)諧頻m／Ts上的譜線高度與附近帶寬ΔB內(nèi)噪聲功率之比

式中：〈·〉代表時(shí)域平均，E［Y（t）］為輸出信號(hào)均值，var［Y（t）］為輸出信號(hào)方差。

輸入信噪比為

式中：s（t）為輸入有用信號(hào)為輸入噪聲ξ（t）的方差。

輸出信噪比增益為

式中：m／Ts表示輸出信號(hào)諧頻，文中僅研究m＝1的情況，即輸出信號(hào)基頻。

2 閾值陣列模型

最初，人們研究的閾值SR是基于單閾值模型的，該模型的傳遞函數(shù)為

式中：s（t）為輸入信號(hào)，ξ（t）為引入的噪聲項(xiàng)，θ為系統(tǒng)閾值，y（t）為輸出信號(hào)。對(duì)于超閾值周期信號(hào)輸入，單閾值系統(tǒng)輸出信噪比增益小于1。

文獻(xiàn)［3］研究以非周期信號(hào)為輸入的超閾值SR，提出了閾值陣列模型，如圖1所示，該模型由N個(gè)獨(dú)立的閾值單元組成，在N個(gè)閾值單元的輸入端分別引入獨(dú)立同分布的加性閾值噪聲，將N個(gè)閾值單元的輸出累加得到系統(tǒng)的輸出。

圖1 非周期輸入超閾值SR閾值陣列模型

此處引入集總平均（Ensemble averaging，EA）的概念［6］：最初由統(tǒng)計(jì)學(xué)中提出，后被引入到信息領(lǐng)域，EA技術(shù)曾廣泛應(yīng)用在聲納信號(hào)處理中，并在生物信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)、神經(jīng)元信號(hào)處理等中得到應(yīng)用。

EA可由式（5）描述，輸入周期信號(hào)x（t）與噪聲的N次獨(dú)立實(shí)現(xiàn)樣本η1（t），η2（t），…，ηN（t）相加（N個(gè)獨(dú)立同分布的噪聲樣本與輸入周期信號(hào)疊加得到N個(gè)含噪信號(hào)樣本），并對(duì)累加結(jié)果取平均，得到輸出信號(hào)y（t）。若輸入噪聲η（t）的方差為σ2，那么輸出信號(hào)y（t）的方差為σ2／N；則輸出信號(hào)的信噪比SNR會(huì)提高約N倍。鑒于集總平均能改善周期信號(hào)的信噪比，可在單閾值系統(tǒng)之后級(jí)聯(lián)集總平均器，改善單閾值系統(tǒng)的輸出信噪比。本文提出適用于周期輸入的超閾值SR系統(tǒng)，如圖2所示。圖2所示系統(tǒng)展開可得圖3所示的周期輸入下的超閾值SR閾值陣列模型。

圖2 閾值系統(tǒng)與集總平均器的級(jí)聯(lián)

圖3 周期輸入的超閾值SR閾值陣列模型

基于超閾值SR的閾值陣列共有N個(gè)閾值單元，每個(gè)閾值單元有兩個(gè)輸入端。其中一個(gè)為共同輸入x（t），另一個(gè)輸入端引入閾值噪聲ηi（t），N個(gè)閾值單元輸入的閾值噪聲彼此獨(dú)立且同分布，其概率密度函數(shù)（Probability density function，PDF）為fη（η），分布函數(shù)（Cumulative distribution function，CDF）為Fη（η）。第i個(gè)閾值單元的閾值為θi，在閾值噪聲ηi（t）的作用下，其輸出為

式中：sign為符號(hào)函數(shù)，

x

（

t

）＋

ηi

（

t

）－

θi

＞0，

yi

（

t

）＝1，或

yi

（

t

）＝－1。

N

個(gè)閾值單元的輸出累加后平均得到系統(tǒng)輸出，即

本文研究的輸入為有用信號(hào)和噪聲的混合，x（t）＝s（t）＋ξ（t），即s（t）為輸入周期信號(hào)，ξ（t）為高斯白噪聲，其PDF為fξ（ξ）。固定所有閾值單元的閾值為θi＝θ，i＝1，2，…N。則根據(jù)條件期望公式可知

由x（t）＝s（t）＋ξ（t），則x（t）的 PDF 為fξ（x－s（t）），且E［yi（t）］，i＝1，2，…，N都相等，所以

同理

由式（6）知E［（t）｜x（t）］＝1，所以

3 信噪比增益的實(shí)驗(yàn)分析

3.1 高斯輸入噪聲下的超閾值SR

考慮輸入信號(hào)x（t）為余弦周期信號(hào)s（t）＝a·cos（2πt／Ts）與均值為0、方差為的獨(dú)立高斯白噪聲ξ（t）的混合，在閾值陣列中，每個(gè)單元的閾值噪聲η1（t），…，ηN（t）為獨(dú)立同分布的均值為0、方差為的高斯白噪聲，且ηi（t）獨(dú)立于x（t）。s（t）頻率1／Ts＝0.1Hz，采樣頻率為1Hz，ξ（t）的方差＝0.5或1，固定所有單元的閾值為θi＝0。圖4所示為輸出信噪比增益GSNR隨閾值噪聲η（t）方差遞增產(chǎn)生非單調(diào)的變化。因?yàn)檩斎胄盘?hào)x（t）已經(jīng)確定，即輸入信噪比SNRin是常數(shù)，所以圖4也可以看作是輸出信噪比SNRout隨著閾值噪聲η（t）加入產(chǎn)生的非單調(diào)變化。

圖4中每條曲線代表不同的閾值單元個(gè)數(shù)，從1到1 024。當(dāng)N＝1時(shí)，輸出信噪比增益GSNR隨閾值噪聲η（t）的加入逐漸降低，這也是直觀的感覺：加入噪聲使得有用信號(hào)變得模糊。這也證明了在輸入為超閾值信號(hào)時(shí)，單個(gè)閾值單元無法產(chǎn)生SR現(xiàn)象。此處“超閾值”并非指輸入信號(hào)任何時(shí)候都大于閾值，而是指輸入信號(hào)有時(shí)在閾值之上，有時(shí)在閾值之下。當(dāng)閾值為輸入信號(hào)均值時(shí)，閾值陣列系統(tǒng)的性能將達(dá)到最優(yōu)［7］。這里選擇的閾值θi＝0就是輸入信號(hào)x（t）的均值。當(dāng)N＞1，隨著閾值噪聲的加入，信噪比增益曲線會(huì)產(chǎn)生非單調(diào)的變化，且N越大，曲線峰值越高。但是當(dāng)N很大（大于256）時(shí)，峰值趨于穩(wěn)定。當(dāng)s（t）的幅值為1，考慮輸入噪聲方差＝1和＝0.5兩種情況，分布如圖4（a，b）所示。圖4（a）中“×”標(biāo)記N＝1 024時(shí)GSNR的峰值為1.036 2，對(duì)應(yīng)的閾值噪聲方差為1.45。圖4（b）中“×”標(biāo)記N＝1 024時(shí)GSNR的峰值為 1.257 1，對(duì)應(yīng)的 閾 值噪聲 方差為 0.60。GSNR＞1被認(rèn)為是閾值陣列系統(tǒng)對(duì)輸入含噪信號(hào)產(chǎn)生積極作用的標(biāo)志。圖4（a）中隨著N的繼續(xù)增加，GSNR趨于恒定，僅在1附近。圖4（b）中當(dāng)N＝8時(shí)，GSNR開始超越1，峰值在1.2附近。

圖4 對(duì)于不同的閾值單元個(gè)數(shù)N，GSNR隨閾值噪聲方差增加非單調(diào)地變化

值得一提的是，超閾值SR不再適合強(qiáng)噪聲下的微弱輸入信號(hào)，而是要求輸入噪聲強(qiáng)度小于有用信號(hào)幅度或二者相當(dāng)。圖5所示的每條曲線對(duì)應(yīng)不同的輸入有用信號(hào)s（t）＝a·cos（2πt／Ts）幅值a，GSNR隨閾值噪聲η（t）方差的遞增產(chǎn)生非單調(diào)的變化。其中閾值單元個(gè)數(shù)N為64，輸入噪聲ξ（t）的方差＝1。可知，當(dāng)a＜1時(shí)，GSNR始終不能突破1，而當(dāng)a＝1.2時(shí)，GSNR大于1，并隨著a的增加而上升。

圖5 對(duì)不同的s（t）幅值a，GSNR隨閾值噪聲方差的變化

3.2 非高斯輸入噪聲下的超閾值SR

以上實(shí)驗(yàn)都是限定輸入噪聲服從高斯分布的情況下進(jìn)行的。文獻(xiàn)［8］研究在非高斯噪聲中利用閾值陣列SR系統(tǒng)檢測(cè)微弱周期信號(hào)。典型的非高斯噪聲服從拉普拉斯分布（Laplacian Gaussian）和混合高斯分布（Gaussian mixture）。服從拉普拉斯分布，均值為0，方差為的噪聲其PDF為

當(dāng)輸入信號(hào)為余弦信號(hào)與拉普拉斯噪聲的混合時(shí)，通過閾值陣列系統(tǒng)后，輸出GSNR的變化如圖6所示，其中，s（t）幅值a為1，ξ（t）均值為0，方差＝1。當(dāng)輸入噪聲ξ（t）服從Laplacian分布時(shí)，輸出信噪比增益GSNR隨閾值噪聲方差的增加非單調(diào)地變化。

圖6 輸入噪聲服從Laplacian分布時(shí)，GSNR隨閾值噪聲方差的變化

服從混合高斯分布，均值為0，方差為σξ2的噪聲其PDF為

當(dāng)輸入噪聲ξ（t）服從混合高斯分布時(shí)，α＝0.5，β＝0.5，其余條件同圖6，輸出信噪比增益GSNR的變化如圖7所示。當(dāng)輸入噪聲ξ（t）服從混合高斯分布時(shí)，輸出信噪比增益GSNR隨閾值噪聲方差的增加非單調(diào)地變化。

圖7 輸入噪聲服從混合高斯分布時(shí)，GSNR隨閾值噪聲方差的變化

由圖6，7可以看出，在相同條件下，當(dāng)輸入噪聲服從非高斯分布，相比服從高斯分布情況，可以獲得更好的輸出信噪比增益。而且，非高斯情況下，當(dāng)輸入信號(hào)幅值不大于輸入噪聲的均方根時(shí)，也可以產(chǎn)生大于1的信噪比增益?？梢哉J(rèn)為GSNR＞1不僅與閾值陣列模型參數(shù)有關(guān)，也與輸入噪聲的分布及方差有關(guān)。

4 結(jié)束語

綜上所述，本文研究了輸入超閾值周期信號(hào)和不同分布的輸入噪聲混合，經(jīng)閾值陣列系統(tǒng)得到了輸出信噪比大于輸入信噪比（即輸出信噪比增益大于1）的結(jié)果，這正是超閾值SR現(xiàn)象的體現(xiàn)。盡管很多學(xué)者認(rèn)為輸出信噪比增益作為衡量SR的測(cè)度實(shí)踐性較小。然而，在一般的信號(hào)處理中，總是先對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，盡可能濾除有害噪聲，再將濾波后的信號(hào)送入信號(hào)處理單元，如果利用閾值陣列系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，利用噪聲的有效性，提高其信噪比，則可能會(huì)獲得更好的效果。目前在圖像分割［9］和數(shù)字圖像水?。?0］檢測(cè)領(lǐng)域，超閾值SR均得到應(yīng)用。

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