黃耀光 高 博 李建新 黃山奇

（1.解放軍信息工程大學(xué)信息工程學(xué)院，鄭州，450002；2.中國人民解放軍65022部隊(duì)，沈陽，110000）

引 言

隨著現(xiàn)代電子戰(zhàn)中隱身技術(shù)、反輻射導(dǎo)彈的廣泛應(yīng)用，有源定位系統(tǒng)面臨嚴(yán)重的生存威脅。而無源定位技術(shù)因?yàn)殡[蔽性強(qiáng)的特點(diǎn)，可以增強(qiáng)定位系統(tǒng)在電子戰(zhàn)環(huán)境下的反偵察、反干擾、抗軟硬殺傷力等能力。目前無源定位系統(tǒng)按照觀測(cè)站的數(shù)目可以分為單站無源定位［1］和多站無源定位［2］，其中單站無源定位因具有設(shè)備簡(jiǎn)單、系統(tǒng)相對(duì)獨(dú)立、機(jī)動(dòng)性好等特點(diǎn)，成為當(dāng)前無源定位領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

單站無源定位是一個(gè)典型的非線性濾波問題。其中如何提高濾波器的定位精度、穩(wěn)定性和收斂速度一直是研究的重點(diǎn)。傳統(tǒng)的非線性濾波算法主要包括擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman filter，EKF）及其衍生算法，這些算法的核心是將非線性函數(shù)線性化，通過對(duì)非線性方程進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并作一階近似實(shí)現(xiàn)的。該類算法的缺點(diǎn)主要是非線性誤差導(dǎo)致濾波器性能不穩(wěn)定，容易發(fā)散。而無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman filter，UKF）通過選取一些確定性采樣點(diǎn)來近似隨機(jī)變量的概率分布，使計(jì)算精度至少能夠達(dá)到二階，避免了對(duì)非線性觀測(cè)模型的線性化近似和雅克比矩陣的計(jì)算，性能優(yōu)于 EKF及其衍生算法［3－8］。但是，在單站無源定位中，UKF算法由于數(shù)值計(jì)算舍入誤差、可觀測(cè)性弱（初始誤差較大）和觀測(cè)噪聲大等因素的影響容易產(chǎn)生濾波性能不穩(wěn)定、收斂速度慢和定位精度低等問題［9－10］。為解決以上問題，本文提出一種基于平方根UKF（Square－root UKF，SRUKF）雙向?yàn)V波算法（Square－root unscented Rauch－Tung－Striebel smoother，SRURTS），新算法采用誤差協(xié)方差陣的平方根形式代替協(xié)方差陣進(jìn)行遞推計(jì)算，保證了誤差協(xié)方差陣的非負(fù)定性，從而提高該濾波算法的數(shù)值穩(wěn)定性和運(yùn)行效率；同時(shí)利用k時(shí)刻SRUKF濾波之后的狀態(tài)估計(jì)值及協(xié)方差陣的平方根，對(duì)其采用URTSS后向平滑的方法，將得到的k－1時(shí)刻新的狀態(tài)估計(jì)值及協(xié)方差陣的平方根作為初始值再對(duì)k時(shí)刻狀態(tài)進(jìn)行SRUKF濾波，并依次遞推。新算法由于利用了k當(dāng)前時(shí)刻測(cè)量量的信息，經(jīng)反向預(yù)測(cè)得到的k－1時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)值一定比原來的狀態(tài)預(yù)測(cè)值更接近k－1時(shí)刻狀態(tài)的真實(shí)值，利用k－1時(shí)刻更精確的狀態(tài)估計(jì)值作為初始條件濾波可以得到當(dāng)前k時(shí)刻更精確的狀態(tài)估計(jì)值。仿真結(jié)果表明，SRURTS算法較UKF算法和SRUKF算法，在算法的穩(wěn)定性、收斂速度、定位精度，對(duì)初始值的魯棒性方面都有所提高，是一種更加有效的單站無源定位算法。

1 單站無源定位模型

在三維直角坐標(biāo)系下（見圖1），k時(shí)刻觀測(cè)站狀態(tài)向量為目標(biāo)輻射源狀態(tài)向量為XA，k＝［xA，k，yA，k，

圖1 觀測(cè)站和目標(biāo)在三維空間的幾何關(guān)系圖

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)站作勻速運(yùn)動(dòng)，以觀測(cè)站和目標(biāo)輻射源相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向量Xk＝XA，k－XO，k＝［xk，為狀態(tài)向量，則狀態(tài)運(yùn)動(dòng)方程表示如下

式中：xk，yk，zk為目標(biāo)在坐標(biāo)系中的位置分別為xk，yk，zk對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，也就是速度變量，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，I3是3×3單位矩陣，03×3是3×3零矩陣，T是觀測(cè)周期是狀態(tài)噪聲轉(zhuǎn)移矩陣，wk是三維零均值高斯白噪聲向量，協(xié)方差矩陣為Qw，那么狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣為GQwGT。

1.2 系統(tǒng)測(cè)量方程

本研究以方位角βk及其變化率，俯仰角εk及其變化率，多普勒頻率變化率作為觀測(cè)量的單站無源定位方法為研究背景［11］，系統(tǒng)觀測(cè)方程為式中：fT為目標(biāo)輻射源頻率，c為電磁波的傳播速度為目標(biāo)輻射源到觀測(cè)站的徑向距離，量測(cè)噪聲Vk＝為零均值的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Rk。

2 基于SRUKF雙向?yàn)V波遞推算法

雙向?yàn)V波遞推算法是對(duì)當(dāng)前k時(shí)刻狀態(tài)進(jìn)行SRUKF濾波，然后利用k時(shí)刻SRUKF濾波得到的狀態(tài)估計(jì)值及協(xié)方差陣的平方根，對(duì)其采用URTSS后向平滑的方法，得到k－1時(shí)刻的新的狀態(tài)估計(jì)值及協(xié)方差陣的平方根，將其作為初始值再對(duì)k時(shí)刻狀態(tài)進(jìn)行SRUKF濾波，并依次遞推。

2.1 SRUKF濾波

SRUKF算法［12］只需要誤差協(xié)方差陣的平方根，而不需要完整的協(xié)方差陣，因此，在計(jì)算中只需存儲(chǔ)和運(yùn)算平方根因數(shù)，這樣可以降低計(jì)算負(fù)擔(dān)，提高計(jì)算效率；另外，利用平方根得到的協(xié)方差陣一定是非負(fù)定的，避免了UKF算法由于誤差協(xié)方差非正定而引起的濾波發(fā)散，提高了濾波穩(wěn)定性。SRUKF算法流程如下：

（1）系統(tǒng)初始化

式中chol表示Cholesky分解。

（2）選取Sigma點(diǎn)及加權(quán)系數(shù)

（3）時(shí)間更新

式中qr和cholupdate分別表示QR分解和Cholesky一階更新，為標(biāo)準(zhǔn)的Matlab指令。

（4）量測(cè)更新

2.2 URTSS后向平滑方法

文獻(xiàn)［13～14］給出了URTSS后向平滑算法如下

2.3 第二次SRUKF正向?yàn)V波

SRUKF雙向?yàn)V波遞推算法示意圖如圖2所示，圖中① ② ③ 表示算法運(yùn)算順序，該算法的實(shí)現(xiàn)步驟總結(jié)歸納為：

（1）當(dāng)k≥1時(shí)，按式（4～17）得到k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值；

（2）根據(jù)式（18～20）進(jìn)行 URTSS后向平滑，得到k－1時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值；

（3）將作為k－1時(shí)刻新的狀態(tài)預(yù)測(cè)值，再按式（4～17）進(jìn)行更新，得到狀態(tài)估計(jì)值

按照以上步驟進(jìn)行遞推，就可以依次得到各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值。當(dāng)k≥1時(shí)，每一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值有3個(gè)，兩個(gè)是以前一時(shí)刻估計(jì)值為初始條件進(jìn)行正向?yàn)V波得到的，另一個(gè)是以后一時(shí)刻估計(jì)值后向平滑濾波得到的，在這里把作為最終當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值。

圖2 算法示意圖

3 算法仿真與結(jié)果分析

采用相對(duì)距離誤差（Relative range error，RRE）來描述算法的收斂性能，其定義為

式中：（xk，yk，zk）為k時(shí)刻的真實(shí)位置（），為k時(shí)刻位置的估計(jì)值。

假設(shè)目標(biāo)輻射源作帶加速度擾動(dòng)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)真實(shí)的初始位置為x0＝180km，y0＝90km，z0＝8km，速度 為＝ －300m／s，＝100m／s＝0m／s，加速度擾動(dòng)wk的協(xié)方差矩陣為diag［（0.1m／s2）2，（0.1m／s2）2，（0.1m／s2）2］。觀測(cè)站位于坐標(biāo)原點(diǎn)，輻射源信號(hào)載頻為10GHz，觀測(cè)周期T＝0.1s，觀測(cè)時(shí)間持續(xù)100s。

為了檢驗(yàn)本文算法（SRURTS算法）濾波的穩(wěn)定性、收斂速度和定位精度，將其與UKF算法、SRUKF算法進(jìn)行比較，在初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差20%的條件下，給定3組不同的觀測(cè)精度，參數(shù)的觀測(cè)精度分別為：

（1）σβ＝2mrad，σ˙β＝0.15mrad／s，σε＝0.1mrad，σ˙ε＝0.1mrad／s，σ˙fd＝0.5Hz／s；

（2）σβ＝4mrad，σ˙β＝0.3mrad／s，σε＝0.3mrad，σ˙ε＝0.2mrad／s，σ˙fd＝1Hz／s；

（3）σβ＝10mrad，σ˙β＝0.5mrad／s，σε＝0.5mrad，σ˙ε＝0.9mrad／s，σ˙fd＝4Hz／s；

在不同的測(cè)量精度下作100次 Monte－Carlo實(shí)驗(yàn)，在定位跟蹤結(jié)束時(shí)刻RRE＜15%則視本次實(shí)驗(yàn)收斂，否則視為發(fā)散。定位精度為跟蹤結(jié)束時(shí)RRE的統(tǒng)計(jì)平均值，仿真結(jié)果如表1和圖3所示（剔除發(fā)散的實(shí)驗(yàn)結(jié)果）。

表1 初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差為20%時(shí)不同觀測(cè)精度穩(wěn)定性與定位精度比較

由表1可以得知，在高精度觀測(cè)時(shí)，算法的性能均有較好的表現(xiàn)，但隨著觀測(cè)精度逐漸降低，各算法的性能開始發(fā)生變化。各算法的定位精度隨著觀測(cè)精度的降低而降低，相比較SRURTS算法定位精度最高，SRUKF算法次之，UKF算法最差；同時(shí)隨著觀測(cè)精度逐漸降低，UKF算法和SRUKF算法發(fā)散次數(shù)開始增多，尤其UKF算法發(fā)散次數(shù)增加最多，即濾波穩(wěn)定性最差，而SRURTS算法穩(wěn)定性不受影響。

從圖3可以很直觀地得知，隨著觀測(cè)精度的逐漸降低，各算法的收斂速度變慢，其中UKF算法收斂速度影響最大；在不同的觀測(cè)精度下，SRURTS算法的收斂速度最快，SRUKF算法次之，UKF算法收斂速度最慢。

此外，為了檢驗(yàn)SRURTS算法對(duì)初始值的魯棒性，在中等觀測(cè)精度2的條件下，初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差取從0到100%的11組值。在不同的初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差下，作100次Monte－Carlo實(shí)驗(yàn)，定位精度為跟蹤結(jié)束時(shí)RRE的統(tǒng)計(jì)平均值，仿真結(jié)果如表2和圖4所示。

圖3 初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差為20%時(shí)不同觀測(cè)精度各算法的統(tǒng)計(jì)平均曲線

表2 觀測(cè)精度2時(shí)不同初始狀態(tài)估計(jì)誤差下各算法的定位精度 %

圖4 觀測(cè)精度2時(shí)不同初始狀態(tài)估計(jì)誤差下各算法的定位精度曲線

由表2看出，在初始狀態(tài)估計(jì)無誤差時(shí)，各算法的定位精度都較高，其中SRURTS算法的定位精度略高于UKF算法和SRUKF算法。隨著初始狀態(tài)估計(jì)誤差的增大，各算法的定位精度逐漸降低。不論初始狀態(tài)估計(jì)誤差多大，UKF算法定位精度都是最低的，SRUKF算法次之，SRURTS算法的定位精度是最高的，而且即使初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差為20%時(shí)，定位精度仍能在5%以內(nèi)。

由圖4可以看到，各算法隨著初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差增大時(shí)定位精度的變化趨勢(shì)，各算法的定位精度均隨著初始狀態(tài)估計(jì)誤差的增大而降低，其中UKF算法的變化趨勢(shì)最快，也說明UKF算法對(duì)初始值是最敏感的，SRUKF算法次之，而SRURTS算法的變化趨勢(shì)最慢，表明了該算法對(duì)初始值的魯棒性最好。

歸納以上的分析可以得到，SRURTS算法在濾波的穩(wěn)定性、收斂速度、定位精度及對(duì)初始值的魯棒性上均優(yōu)于SRUKF算法和UKF算法。

需要指出的是SRURTS算法的計(jì)算量有所增加，與SRUKF算法相比，由于增加了后向平滑和又一次SRUKF濾波的過程，計(jì)算量是SRUKF算法的2倍多。

在內(nèi)存為2GB，CPU主頻為2.9GHz的計(jì)算機(jī)上用Matlab軟件運(yùn)行各算法，得到各算法單次遞推平均所需時(shí)間見表3。

表3 不同算法實(shí)現(xiàn)時(shí)間比較 ms

由表3可知，盡管SRURTS算法增加了計(jì)算量，還是可以滿足定位的實(shí)時(shí)性要求。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于平方根UKF雙向?yàn)V波的單站無源定位算法（SRURTS算法），該算法在滿足實(shí)時(shí)性要求的條件下，通過采用誤差協(xié)方差陣的平方根形式進(jìn)行遞推計(jì)算和后向平滑的方法對(duì)UKF算法進(jìn)行改進(jìn)，適當(dāng)增加了計(jì)算量，能夠有效提高濾波的穩(wěn)定性、收斂速度、定位精度及對(duì)初始值的魯棒性。仿真結(jié)果也表明了SRURTS算法相對(duì)于UKF算法和SRUKF算法在初始狀態(tài)估計(jì)誤差大和低觀測(cè)精度背景的條件下具有更好的定位跟蹤精度和穩(wěn)定性。該算法對(duì)單站無源定位系統(tǒng)工程化有較大的參考價(jià)值，同時(shí)也可以應(yīng)用于其他無源定位和非線性濾波領(lǐng)域中。

［1］孫仲康，郭福成，馮道旺.單站無源定位跟蹤技術(shù)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2008：98－100.Sun Zhongkang，Guo Fucheng，F(xiàn)eng Daowang.Single observer passive location［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2008：98－100.

［2］何友，王本才.多站虛擬量測(cè)變換均值無源定位算法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2012，27（1）：13－19.He You，Wang Bencai.Multi－sensor ME passive localization algorithm based on virtual measurement transform［J］.Journal of Data Acquisition and Processing，2012，27（1）：13－19.

［3］Julier S J，Uhlman J K.Unscented filtering and nonlinear estimation［J］.Proc of the IEEE，2004，92（3）：401－422.

［4］徐璟，何明浩，郁春來，等.固定單站被動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法性能分析［J］.電子信息對(duì)抗技術(shù)，2011，26（1）：29－33.Xu Jing，He Minghao，Yu Chunlai，et al.Analysis of single non－moving observer passive tracking algorithms［J］.Electronic Warfare Technology，2011，26（1）：29－33.

［5］宋驪平，姬紅兵.多被動(dòng)傳感器UKF與EKF算法的應(yīng)用與比較［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（5）：1083－1086.Song Liping，Ji Hongbing.Application and comparison of UKF and EKF algorithm in target tracking with multiple passive sensors［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31（5）：1083－1086.

［6］程水英.UKF與EKF在空對(duì)海單站TO－TMA中的應(yīng)用［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2009，24（S1）：49－53.Chen Shuiying.Application of air－to－sea time－of－arrival only TMA based on UKF and EKF algorithm［J］.Journal of Data Acquisition and Processing，2009，24（S1）：49－53.

［7］Crassidis J L，Junkins J L.Optimal estimation of dynamic systems［M］.Boca Raton：CRC，2004：343－350.

［8］顧曉東，袁志勇，周浩.基于IMM－UKF的純方位機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2009，24（S1）：88－91.Gu Xiaodong，Yuan Zhiyong，Zhou Hao.Bearingsonly tracking of maneuvering target based on IMMUKF algorithm［J］.Journal of Data Acquisition and Processing，2009，24（S1）：88－91.

［9］袁罡，陳鯨.基于UKF的單站無源定位與跟蹤算法［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2008，30（9）：2120－2123.Yuan Gang，Chen Jing.An algorithm based on UKF for single observer passive location and tracking［J］.Journal of Electronics Information Technology，2008，30（9）：2120－2123.

［10］郁春來.利用空頻域信息的單站無源定位與跟蹤關(guān)鍵技術(shù)研究［D］.長(zhǎng)沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.Yu Chunlai.Research on crucial technologies for single observer passive location and tracking via spatialfrequency domain information［D］.Changsha：National University of Defense Technology，2008.

［11］牛新亮，趙國慶，劉原華，等.基于多普勒變化率的機(jī)載無源定位研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21（11）：3370－3373.Niu Xinliang，Zhao Guoqing，Liu Yuanhua，et al.Research on airborne passive location using Doppler changing rate［J］.Journal of System Simulation，2009，21（11）：3370－3373.

［12］Van Der Merwe R，Wan E A.The square－root unscented Kalman filter for state and parameter estimation［C］∥Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal.New York：IEEE，2001：3461－3464.

［13］Liu H，Nassar S，El－Sheimy N.Two－filter smoothing for accurate INS／GPS land－vehicle navigation in urban centers［J］.IEEE Transaction on Vehicular Technology，2010，59（9）：4256－4267.

［14］S¨arkk¨a S.Unscented Rauch－Tung－Striebel smoother［J］.IEEE Transaction on Automatic Control，2008，53（3）：845－849.