朱長青， 田德生

(1 湖北工業(yè)大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院, 湖北 武漢 430068; 2 湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

雖然在通過建立數(shù)學(xué)模型解決生物學(xué)問題[1-2]的過程中，對具有功能反應(yīng)的捕食-食餌系統(tǒng)的定性研究已獲大量結(jié)論[3-6]，但由于生物現(xiàn)象的復(fù)雜性，功能反應(yīng)函數(shù)Φ(x)只依賴食餌密度，卻不能很好地解釋生態(tài)系統(tǒng)的現(xiàn)象.因此，生物數(shù)學(xué)還要從生物學(xué)的具體生態(tài)背景以及需要和特點(diǎn)，對某一類具體的生物模型進(jìn)行分析研究，探求新方法、新手段，才能更加深入的了解其分支動力學(xué)性態(tài).

1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)分析

本文取功能反應(yīng)函數(shù)Φ(x)=cx2(my2+x2)-1，則此類比率依賴Holling-Ⅲ的食餌-捕食者模型形式如下：

其中：r,k,c,d,m,β均為正常數(shù)(H1).

假設(shè)：β-d>0(H2).

y1=qx1．(4)

將式(4)代入(3)得

從而

定理1.1 在系統(tǒng)(1)中，假設(shè)(H1)、(H2)成立，則P0(0,0),P1(k,0)是系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn).

證明 為了方便計(jì)算，在系統(tǒng)(1)中記

計(jì)算可得

，

因此

同理，

所以，P0(0,0),P1(k,0)是系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn).

定理1.2 在系統(tǒng)(1)中，假設(shè)(H1),(H2)，(H3)成立，則系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點(diǎn)P2(x1,y1)，且

1)當(dāng)β≥2d時，P2(x1,y1)是系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn);

證明 1)從前面的論述，系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點(diǎn)P2(x1,y1)這是顯然的，下面來證定理的后半部分.

由定理1.1的證明，經(jīng)計(jì)算可得

由條件(H3)知

因此

T=Px′(x1,y1)+Qy′(x1,y1)=

所以當(dāng)β≥2d時，有D>0,T<0,故P2(x1,y1)是系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

2)當(dāng)條件(H4),(H5)成立時，

T=Px′(x1,y1)+Qy′(x1,y1)=

所以，當(dāng)(H4)、(H5)成立時，有D>0,T>0.故P2(x1,y1)是系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

2 正解的有界性

定理2.1 在系統(tǒng)(1)中，假設(shè)(H1),(H2)，(H3)成立,則系統(tǒng)(1)的所有正初始條件的解有界.

證明 為了便于表述，作如下記號：

l1:x=k(y>0);

B2={(x,y)|00}.

由定理1.1知，P0(0,0),P1(k,0)是系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn)，且易驗(yàn)證從正y軸上的點(diǎn)出發(fā)的軌線，最終進(jìn)入P0點(diǎn)，從正x軸上的點(diǎn)出發(fā)的軌線，最終進(jìn)入P1點(diǎn)，又沿著l1，有

沿著l2，有×

現(xiàn)在設(shè)從任一點(diǎn)(x0,y0)(x0>0,y0>0)出發(fā)的正軌線γ0+，若(x0,y0)∈B1,則定理的結(jié)論成立;若(x0,y0)∈B2B1,則沿著直線段

有

這表明軌線γ0+總是向下，而最終進(jìn)入B1.

若(x0,y0)?B2，即(x0,y0)在l1及其右側(cè)，則沿著l:x=θ2(k≤θ2≤x0).有.可見軌線γ0+總是向右，而最終越過l1進(jìn)入B2.

綜合上述證明可知，系統(tǒng)(1)的所有正初始條件的解有界.其軌線走向見圖1．

圖 1 系統(tǒng)(1)正軌線圖

定理2.1表明系統(tǒng)(1)為耗散性系統(tǒng).

定理2.2. 在系統(tǒng)(1)中假設(shè)(H1)～(H5)成立，則系統(tǒng)在B1中存在極限環(huán).

證明 根據(jù)定理1.2可得，在定理2.2的假設(shè)條件下，P2(x1,y1)為系統(tǒng)(1)唯一的不穩(wěn)定焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).以l1,l2,x軸，y軸構(gòu)成閉曲線(即B1的邊界線)為外境線(即圖1中OP1AB，由定理2.1及其證明可知，從外境線上出發(fā)的軌線都是指向B1的內(nèi)部，或者停留在邊界線上，因此根據(jù)Poincaré-Bendxon定理得，系統(tǒng)(1)在B1內(nèi)至少存在一個極限環(huán).定理2.2得證.

3 結(jié)論

前面對系統(tǒng)(1)進(jìn)行了定性分析，系統(tǒng)(1)是比率依賴Holling-Ⅲ捕食食餌模型，這是一個自治系統(tǒng).通過對定理1.1的證明得到了該系統(tǒng)的鞍點(diǎn)，即在系統(tǒng)(1)中，如果(H1)、(H2)成立，則P0(0,0),P1(k,0)是系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn).通過對定理1.2的證明得知了該系統(tǒng)存在唯一的正平衡點(diǎn),即在系統(tǒng)中，如果(H1),(H2)，(H3)成立，則系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點(diǎn)P2(x1,y1)，且：

1)當(dāng)β≥2d時，P2(x1,y1)是系統(tǒng)(1.4)穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)，

2)當(dāng)(H4)、(H5)成立時，P2(x1,y1)是系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).通過對定理2.1的證明得到了該系統(tǒng)的所有正初始條件的解有界,即在系統(tǒng)(1)中；如果(H1),(H2)，(H3)成立,則系統(tǒng)(1)的所有正初始條件的解有界,并且表明該系統(tǒng)為耗散性系統(tǒng).通過對定理2.2的證明得到了該系統(tǒng)極限環(huán)存在的一些結(jié)果,即在系統(tǒng)(1)中假設(shè)(H1)～(H5)成立，則系統(tǒng)在B1中存在極限環(huán).

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