錢 超， 張金業(yè)

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

計算機技術(shù)的發(fā)展不僅使光學(xué)設(shè)計工作從繁雜性和龐大的計算工作中解放出來，而且給光學(xué)設(shè)計帶來了新的活力．光學(xué)設(shè)計問題從數(shù)學(xué)角度看，就是建立和求解像差方程組[1]．卡塞格林望遠(yuǎn)鏡因其能在較小的結(jié)構(gòu)尺寸內(nèi)獲得較長的焦距，所以其在天文觀測以及激光雷達(dá)回波的接收領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用．但是由于非球面鏡的加工難度及成本問題，制造一臺口徑大的卡塞格林式望遠(yuǎn)鏡的工藝要求極其嚴(yán)苛，加工工藝以及非球面鏡的質(zhì)量將直接影響望遠(yuǎn)鏡的成像質(zhì)量．相比較而言球面鏡的加工則相對容易得多，再加上校正透鏡來校正球面鏡在非傍軸區(qū)產(chǎn)生的像差，則可大大降低卡式系統(tǒng)的加工難度和加工成本．

1 卡塞格林望遠(yuǎn)鏡基本結(jié)構(gòu)和工作原理

反射式望遠(yuǎn)鏡通常由主鏡和次鏡構(gòu)成，卡塞格林望遠(yuǎn)鏡也不例外．其主鏡為拋物面的凹面反射鏡，次鏡為雙曲面的凸面反射鏡．主鏡拋物面的焦點與次鏡雙曲面的左焦點重合，這樣入射的平行光將匯聚在雙曲面的另一焦點處．這種類型的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)在后來的許多領(lǐng)域都有過廣泛的應(yīng)用[2]．

隨著科技的發(fā)展，卡式系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不斷得到改進，隨之出現(xiàn)加施密特校正板的卡塞格林望遠(yuǎn)鏡、Maksutov卡塞格林望遠(yuǎn)鏡等帶有折射元件的卡塞格林望遠(yuǎn)鏡，以增大視場．這種類型的望遠(yuǎn)鏡后來被定義為折反射光學(xué)系統(tǒng)望遠(yuǎn)鏡．

2 基于Zemax的設(shè)計

2.1 初始結(jié)構(gòu)

在設(shè)計之初只要給出系統(tǒng)的筒長和像面位置，主次面的曲率半徑只需給出大致的值，系統(tǒng)最前面的平板玻璃是折射元件的雛形．在需要加入透鏡時，只要改變平板玻璃兩個面的曲率半徑即可，由幾何光學(xué)的知識可知，它不會影響系統(tǒng)的像差及色差．這塊平板玻璃還有另一個作用：在設(shè)計之初，它并不產(chǎn)生像差，所有的像差均由主次鏡的球面鏡產(chǎn)生；在改變其兩個面的曲率半徑即加入校正透鏡后，通過觀察評價圖表可以看出其像差的明顯變化，這些變化就是由于透鏡校正了部分像差．所以通過加入這塊平板玻璃可方便對比系統(tǒng)前后的成像質(zhì)量變化．

系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)如圖1所示．

圖 1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖,cm

2.2 默認(rèn)評價函數(shù)的創(chuàng)建

將主次鏡的曲率半徑設(shè)為變量后，創(chuàng)建默認(rèn)評價函數(shù)(圖2)．

圖 2 鏡頭編輯器

在上述鏡頭編輯器中，Radius表示曲面的曲率半徑；thickness表示此面與下一面的距離；glass表示玻璃的類型，玻璃平板采用BK7(nf=1.52238，nd=1.51680，nc=1.51432)玻璃，圖3的Default Merit Function(默認(rèn)評價函數(shù))對話框由四組選項構(gòu)成:Optimization Function and Reference(優(yōu)化函數(shù)和參考點)、PupilIntergration Method(人瞳積分式),Thickness Boundary Values(厚度間隔邊界條件)和評價函數(shù)其它輔助選項．默認(rèn)評價函數(shù)通過使用4個基本選擇：優(yōu)化類型、像差類型、像差計算參考點和入瞳積分方式來構(gòu)建．

圖 3 創(chuàng)建默認(rèn)評價函數(shù)

在Optimization Function Reference(優(yōu)化函數(shù)和參考點)一項中，RMS為默認(rèn)的優(yōu)化類型，表示評價函數(shù)由像差的均方根偏差組成 ；wavefront表示采用的像差類型為波像差，其單位為λ；Centroid表示像差計算的參考點為彌散斑的質(zhì)心．

ZEMAX中像差值計算是追跡視場中代表物點發(fā)出若干條光線實現(xiàn)的，ZEMAX提供了兩種光線通過人瞳的分布形式:高斯積分(Gaussian Quadrature)法和矩陣 (Rectangular Array)法．GQ法中通過設(shè)定軸對稱入瞳面上劃分的環(huán)帶數(shù)(Rings)以及沿每個環(huán)上的半徑臂數(shù) (Arms ),確定每個視場和每種波長將被追跡的光線; RA法中則通過設(shè)定入瞳面上的網(wǎng)格(Grid )，對軸對稱的入瞳按照正方形進行各種密度的抽樣，確定每個視場和每種波長將被追跡的光線．如果網(wǎng)格上的光線落在入瞳之外，那么這條光線將被自動省略，因此實際使用的光線要比Grid的乘積少(圖4)．在上面的兩種算法中，GQ算法在所有實際意義的算法中具有很大的優(yōu)勢，它比其他方法精確并且所需要追跡的光線較少，計算速度較快，并且具有中心對稱的特性，有利于減少所需要追跡的光線[1]．

圖 4 兩種光線的入瞳分布方式

第三欄為厚度邊界值設(shè)定，用于設(shè)定評價函數(shù)中對空氣間隔和(或)玻璃厚度的邊界約束．第四欄為其他輔助選項，通常勾選中其中的Assume Axial Symmetry(假設(shè)軸對稱)一項，這樣在構(gòu)造和計算評價函數(shù)時，默認(rèn)評價函數(shù)將認(rèn)為光學(xué)系統(tǒng)是左右對稱和旋轉(zhuǎn)對稱的，此時更少的光線將被追跡，優(yōu)化速度快而不降低精度．若在設(shè)計非旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)時，此項可不選．Ignore Lateral Color(忽略垂軸色差)復(fù)選框默認(rèn)條件下不予選擇．Start At(起始為序)用來設(shè)定Merit Function Editor(默認(rèn)函數(shù)編輯器)中加入默認(rèn)評價函數(shù)的操作符的起始行序．Overall Weight(全部權(quán)重)文本框:默認(rèn)值為1，表示構(gòu)建默認(rèn)評價函數(shù)時，操作符原默認(rèn)權(quán)重和權(quán)重．

設(shè)置好所有的約束條件后，點擊OK生成圖5的MFE(默認(rèn)評價函數(shù)編輯器)．第一列為操作數(shù)序號．第二列為操作數(shù)類型：MNCG、MXCG、MNEG、MXEG操作符用來約束玻璃的邊界條件；OPDX用來指定Wave,(Hx,Hy)，(Px,Py)光線相對于一個移動和傾斜的球面的光程差．該球面可以使RMS波前差最小化，ZEMAX用質(zhì)心作為參考．

默認(rèn)評價函數(shù)創(chuàng)建后調(diào)用優(yōu)化，優(yōu)化后系統(tǒng)的評價函數(shù)的值為0.0746．此值越小表示系統(tǒng)的性能越好(圖6)．圖6中：“Automatic”表示自動執(zhí)行優(yōu)化循環(huán)，直到系統(tǒng)優(yōu)化不再有明顯改善為止；“1 Cycle、5Cycle、10 Cycle、50 Cycle”分別表示執(zhí)行1、5、10和50次優(yōu)化循環(huán)；“Inf. Cycle”表示執(zhí)行無限次循環(huán)，直到按下“Terminate”按鈕為止；“Terminate”表示終止循環(huán)；“#CPU’s”表示分配運算的cpu核心數(shù)；“Algorithm”表示在下拉菜單中可選擇合適的優(yōu)化算法；“Variable”表示“設(shè)定的變量個數(shù)”．

圖 5 默認(rèn)評價函數(shù)

圖 6 優(yōu)化操作圖

優(yōu)化完成之后，可以通過點列圖來查看初步優(yōu)化后系統(tǒng)的成像質(zhì)量如何．在理想光學(xué)系統(tǒng)中，經(jīng)入瞳的平行光線會匯聚在像面的某點處，但在實際的成像過程中，由于球差、色差等因素的存在，經(jīng)入瞳的平行光線并不能嚴(yán)格匯聚在像面的某點處，而是在此點處形成一個彌散斑，理論上該彌散斑的半徑越小越好．在zemax中有兩種對彌散斑半徑的描述，它們分別是RMS Radius(均方根半徑)、GEO Radius(幾何半徑)．前者是追跡每條光線到達(dá)像面后的坐標(biāo)平方和然后再除以點的數(shù)量后再開方的值，這個值能近似反映彌散斑的質(zhì)量；后者則表示彌散斑的最大半徑．

光線經(jīng)球面鏡反射后形成的彌散斑，主要還和球面鏡幾何性質(zhì)有關(guān)．拋物線、橢圓以及雙曲線都是有焦點一說的：從拋物線凹的一面入射的平行光經(jīng)拋物面反射后會匯聚在其焦點處；從橢圓一焦點發(fā)出的發(fā)散光鏡橢圓面反射后會匯聚在另一焦點處；匯聚到雙曲線一焦點處的光線經(jīng)雙曲面反射后會匯聚到另一焦點處．雖然圓卻沒有這種性質(zhì)，但是在幾何光學(xué)中可近似地認(rèn)為：在傍軸條件下，其焦點在圓心與曲面頂點的中心處．這可以由物像公式[3]得出

1l'+ 1l= 2f,l'=∞，所以l=r2．

但這僅僅在傍軸條件下才成立，對于望遠(yuǎn)鏡這種大孔徑系統(tǒng)來說很難做到．

由于系統(tǒng)主要采用反射鏡設(shè)計，而且平板玻璃不產(chǎn)生任何單色像差和色差，所以此時的系統(tǒng)是沒有色差的，這在圖7中得到了充分的體現(xiàn)，因為 F、D、C三種顏色的彌散斑是嚴(yán)格重合的．但是點列圖的中心結(jié)構(gòu)是放射狀的，這說明此時系統(tǒng)存在著離焦，這樣較大的彌散斑直徑就不可避免了．

圖 7 點列圖

在實際的成像過程中，無窮遠(yuǎn)處的光線并不是嚴(yán)格的匯聚在某一點的，所以對整個入瞳而言，球面鏡的球差是不可消除的．在點列圖中RMS Radius 為13.76 μm；GEO Radius 為24.131 μm，這兩個半徑均可以通過引入校正透鏡來降低．

2.3 優(yōu)化后成像質(zhì)量評價

初步的優(yōu)化完成后，為了使系統(tǒng)的性能得到更大的提升，還需要對其進行更進一步的優(yōu)化．在初步的優(yōu)化中只引入了兩個變量，即主次鏡的曲率半徑，這一步僅僅通過控制這兩個量來減小像面上球差．現(xiàn)在要將透鏡引入，并同時控制主次面的曲率半徑，透鏡的引入只要將之前的平板玻璃的兩個面設(shè)為變量即可．按照上面的步驟創(chuàng)建默認(rèn)評價函數(shù)并運行優(yōu)化之后的LDE(鏡頭數(shù)據(jù)編輯器)如圖8所示.

圖 8 鏡頭編輯器

從圖9中可以看到，此時系統(tǒng)的評價函數(shù)下降到0.000 34．評價函數(shù)的下降表示透鏡的引入對成像質(zhì)量有了較為明顯的改善．

圖 9 優(yōu)化操作圖

系統(tǒng)的2D結(jié)構(gòu)圖如圖10所示.

圖10 系統(tǒng)的2D模型

2.4 系統(tǒng)的圖表分析

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化已經(jīng)基本完成，接下來要用zemax給出的分析圖表判斷所設(shè)計系統(tǒng)的成像優(yōu)劣．主要通過點列圖(SPOT DIAGRAM)、光線扇面圖(RAY FAN)、光程差圖(OPD)以及MTF函數(shù)來分析．

圖11 點列圖

與圖7相比，因為引入了透射元件，所以色差被引入，點列圖的半徑有所下降．RMS RADIUS從0.436下降到0.256；GEO RADIUS從0.977下降到0.549．這兩個半徑都不超過1 μm ，所以此時的色差相對而言也是很小的．點列圖中心的放射狀結(jié)構(gòu)消失，大部分光線都集中在點列圖中央，可以認(rèn)為此時離焦的情況已基本消除．

圖12給出了視場角為0°時的橫向球差曲線．橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)的入瞳，縱坐標(biāo)為橫向球差的值．從圖中可以得出系統(tǒng)橫向球差與入瞳半徑的關(guān)系，原點附近曲線的斜率還可以反映系統(tǒng)的離焦情況．此時縱坐標(biāo)的最大橫向球差為1 μm，總體球差都控制在0.5 μm之內(nèi)；代表F、D、C三種色光的曲線彼此之間離得很近，這說明色差是很小的；原點附近的曲率也可以證實上面點列圖的判斷結(jié)果．

圖12 光線扇面圖

圖13 光程差圖

圖13給出了系統(tǒng)的光程差曲線，它表示不同入瞳高度的光線經(jīng)過系統(tǒng)后到達(dá)像面時的光程與主光線的光程之差．根據(jù)瑞利判據(jù)，當(dāng)最大光程差小于波長的1/4可以認(rèn)為是理想成像[4]．此時圖中縱坐標(biāo)的最大光程差下降到0.01個波長，遠(yuǎn)小于瑞利判據(jù)的0.25個波長．

3 最終系統(tǒng)設(shè)計結(jié)構(gòu)

最后為了模擬次鏡對光線的遮擋，在系統(tǒng)第一面與主鏡之間加入一個半徑與次鏡相同的輔助鏡面，并在主鏡中心開一個半徑為0.5 cm的圓孔以便讓光線通過并與后方的目視系統(tǒng)銜接．最終的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖14所示．

圖14 最終系統(tǒng)的2D及3D模型

由于遮攔面的加入，MTF曲線在中頻部分有所下降．

圖15中，當(dāng)MTF的值為0.1時，最大分辨率為229線對/mm．MTF曲線的低頻反映輪廓，中頻反映層次，高頻反映細(xì)節(jié)．在60線對/mm處，MTF的值為0.4，此時系統(tǒng)能準(zhǔn)確的反映出物體的輪廓，但是細(xì)節(jié)反映較差．

圖15 MTF曲線

上面的各項圖表都是在視場角為0°的情況下得出的．從圖16中可以看出系統(tǒng)的視場角非常小的，雖然視場角的變化不大，但是MTF曲線的下降非常明顯，成像質(zhì)量也隨之下降．這說明，系統(tǒng)的視場角依然非常?。∫晥鍪强ㄈ窳滞h(yuǎn)鏡的缺點之一，雖然本設(shè)計中的卡式望遠(yuǎn)鏡的主次鏡都采用球面鏡，并且通過透鏡校正了球面鏡的球差，這雖然降低了成本和加工難度，但是系統(tǒng)的視場并沒有因此而變大．

圖16 視場角分別為0°、0.3°、0.5°時的MTF曲線

4 結(jié)束語

采用球面鏡的卡塞格林系統(tǒng)，降低了系統(tǒng)鏡面的加工難度和加工成本，并且利用透射元件校正了兩球面鏡的固有球差．在視場角為0°時，從各項分析圖表來看，該系統(tǒng)具有較好的成像質(zhì)量，但是當(dāng)視場角變化很小時，成像質(zhì)量便有了較嚴(yán)重的惡化，該缺點可以通過增加更復(fù)雜的前置透鏡組和后置透鏡組來解決，這是以后工作中所要解決的問題．

[參考文獻]

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