龍愛芳, 胡軍浩

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 湖北武漢 430074)

文獻(xiàn)[1]-文獻(xiàn)[10]給出了求解常微分方程的各種計(jì)算方法，筆者給出了另一個(gè)求解常微分方程的顯式的單步法,它是二階的,而且是無條件穩(wěn)定的。

1 無條件穩(wěn)定的二階顯式的單步法

設(shè)初值問題：

(1)

的理論解為y(x),將方程(1)兩邊在區(qū)間[xn,xn+1]上積分得：

(2)

(3)

成立,而yn+1=P(xn+1),由式(3)得確定A,B,C各值的方程組:

(4)

(5)

由式(4)與式(5)化簡得

(6)

把式(6)代入式(2)化簡得

(7)

把式(7)代入式(6)化簡得

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

(10)

把式(9)和式(10)代入上式并化簡得

(11)

式(11)即為筆者提出的求解初值問題的常微分方程(1)的顯式單步法。

定理1式(11)是求解初值問題的常微分方程(1)的一個(gè)二階顯式單步法。

證明由式(11)得

故式(11)是求解初值問題的常微分方程(1)的一個(gè)二階顯式單步法。

定理2式(11)是求解初值問題的常微分方程(1)的一個(gè)無條件穩(wěn)定方法。

(12)

2 數(shù)值試驗(yàn)

表1 例1的二階顯式單步法(11)數(shù)值試驗(yàn)

表2 例2的二階顯式單步法(11)數(shù)值試驗(yàn)

參考文獻(xiàn)/References:

[1] LAMBERT J D.Nonlinear methods for stiff system of ordinary differential equation[A].Conference on the Numerical Solution of Differential Equation[C].[S.l.]: Springer-Verlag,1974.75-88.

[2] 文立平. 一族多步二階導(dǎo)數(shù)方法的收縮性[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2001,23(3):265-270.

WEN Liping. The countractivity of a class of second derivative multistep methods[J]. Methematica Numerica Sinica,2001,23(3):265-270.

[3] LINIGER W， NEVALINNA O.Contractive methods for stiff differential equations Part Ⅰ [J]. BIT,1978,16:457-474.

[4] LINIGER W，NEVALINNA O.Contractive methods for stiff differential equations Part Ⅱ[J]. BIT,1979,19:53-72.

[5] ENRIGHT E H.Second dervative multistep methods for stiff ordinary differential equations[J]. SIAM J Numer Anal,1974,11(2):321-331.

[6] 楊小遠(yuǎn). 基于拋物線逼近法方法的常微分方程數(shù)值解法研究[J]. 河南科學(xué),2011,29(2):127-132.

YANG Xiaoyuan. Improved Euler’s method-parabolic approximation[J]. Henan Science,2011,29(2):127-132.

[7] 張宇平,姜 晗，朱愛玲. 常微分方程的梯形外推法[J]. 山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,27(1):29-31.

ZHANG Yuping，JIANG Han, ZHU Ailing. The extrapolation trapezoidal method of ordinary differential equation[J]. Journal of Shandong Normal University(Natural Science), 2012,27(1):29-31.

[8] AZIZ A K，MONK D．Continuous finite elements in space and time for the heat equation[J]．Math Comp，1969，52：255-274.

[9] DAVID C L．Linear Algebra and Its Applications[M]．[S.l.]:Publishing House of Electronics Industry，2004.

[10] WILLD D R. Experiments in stepsize control for adams linear multistep methods[J]. Advancs in Computatkraal Mathematics．1998,8:335-344.