楊 杰

(上海電機學院 機械學院， 上海 200245)

SH波入射下半空間垂直界面附近對稱圓孔的動應力分析

楊 杰

(上海電機學院 機械學院， 上海 200245)

采用復變函數(shù)和“鏡像”的方法,對雙相介質(zhì)半空間垂直界面附近含有對稱圓形彈性孔洞,在穩(wěn)態(tài)入射SH波作用下的動應力情況進行分析。首先，采用“鏡像”的方法,構(gòu)造問題所需的Green函數(shù)和散射波場表達式；其次，采用界面“契合”的技術,建立含有無窮未知力的第一類Fredholm積分方程組，并通過有效截斷求解該方程組;最后，給出圓形孔洞周邊的動應力集中系數(shù)的具體算例分析。結(jié)果顯示,波數(shù)比和圓孔到垂直邊界的距離均對孔洞周邊動應力集中系數(shù)有一定程度的影響。

SH波; 垂直界面; 圓形孔洞; 鏡像; 動應力集中系數(shù)

隨著科學技術的快速發(fā)展和新型材料的廣泛使用，將不可避免地在材料上開孔、加入轉(zhuǎn)角等以滿足功能上的需求。然而，由于幾何不連續(xù)性，在動載荷作用下這些介質(zhì)缺陷將產(chǎn)生應力集中現(xiàn)象，進而影響材料的宏觀力學性能，故對于在動荷載作用下應力集中問題的研究一直是力學研究人員探討的熱點問題之一[1-3]，其中，采用彈性波散射理論對介質(zhì)缺陷附近的動應力集中情況的研究已經(jīng)有相對成熟的理論和方法。20世紀70年代，Lee[4]等采用波函數(shù)展開方法，對均勻各向同性半空間中含有洞室對SH波的散射響應進行了研究。1991年，劉殿魁[5]等提出復變函數(shù)方法，對無限半空間凹陷地形對SH波的散射問題進行了進一步的研究和討論。2003年，梁建文[6]等采用Fourier-Bessel級數(shù)展開方法，對地下隧道在穩(wěn)態(tài)SV波入射下的地表反應問題進行了研究。2007年，梁建文[7]等對Wolf理論進行拓展，解決了彈性層狀半空間對SH波的散射問題。2010年，Lee[8]等采用多極Trefttz方法，對薄板中含有多個圓形孔對彈性波的散射問題進行了研究。以上這些研究方法的提出及應用，為彈性波散射理論問題的研究提供了理論基礎。由于SH波相對SV波、P波等對應問題的求解要簡單得多，故近年來對介質(zhì)中各種缺陷對SH波的散射問題研究比較常見[9-11]。然而，對于復雜邊界介質(zhì)中含有各種缺陷在SH波作用下的散射問題研究成果并不多見。2006年以后，史文譜[12-13]等采用復變函數(shù)和Fourier級數(shù)展開方法，對直角域中含有各種缺陷的問題進行了研究。

本文主要采用復變函數(shù)和“鏡像”的方法，對雙相介質(zhì)半空間垂直界面附近含有對稱圓形彈性孔洞在穩(wěn)態(tài)入射SH波作用下的動應力情況進行了分析，其屬于具有復雜邊界的界面動力學研究范疇。該問題求解的難點在于Green函數(shù)以及散射波場位移表達式的構(gòu)造，由于圓形孔洞產(chǎn)生的散射波將會在半空間自由表面和雙相介質(zhì)垂直界面之間發(fā)生多次的反射，故直接構(gòu)造滿足邊界條件的散射波場表達式變得尤其困難。本文的創(chuàng)新點在于提出“鏡像”的方法，同時結(jié)合復變函數(shù)方法，構(gòu)造出滿足控制方程和邊界條件的Green函數(shù)、散射波場表達式的解析解答。最后給出具體算例，討論了波數(shù)比、圓形孔洞與垂直界面之間的距離對孔邊動應力集中系數(shù)的影響。

1 理論模型

無限半空間介質(zhì)由雙相介質(zhì)垂直界面分為左右兩部分，穩(wěn)態(tài)SH波由左側(cè)空間入射，同時在左右兩側(cè)分別含有一個圓形彈性孔洞缺陷，其理論模型如圖1所示。其中，SH波的入射角度記作α0；介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的彈性模量和密度分別設為μ1、μ2和ρ1、ρ2；圓形孔洞半徑設為R，其圓心到半空間水平表面與垂直界面的距離分別設為h和d。同時建立如圖所示坐標系x1O1y1，x′O′y′，x″O″y″，x2O2y2，它們之間的關系如下:z1=z″+d，z′=z″-ih，z2=z″-d。

圖1 SH波作用下雙相介質(zhì)半空間理論模型Fig.1 Theoretical model of bi-material half impacted by SH waves

2 控制方程和邊界條件

(1)

在極坐標系下，與式(1)對應的應力表達式為

(2)

在直角坐標系下，與式(1)對應的應力表達式為

(3)

對于問題的求解，首先采用“契合”[14]的方法，將雙相介質(zhì)半空間沿著垂直界面“剖開”，則半空間將被拆分為兩個含有圓形孔洞的1/4空間。同時，需要在剖分面的左右兩側(cè)施加大小相等、方向相反的未知力f1和f2來滿足原來垂直界面處位移和應力的連續(xù)性。契合模型如圖2所示?？梢钥闯?，求解垂直界面處的未知反力是解答本文問題的主要任務之一。因此，本文采用Green函數(shù)方法解答此問題。

圖2 契合模型Fig.2 Model of conjunction

2.1Green函數(shù)

含有圓形彈性孔洞的1/4空間，其垂直邊界承受時間諧和的出平面點源荷載作用時位移函數(shù)的基本解答作為本文所需的Green函數(shù)。理論模型如圖3所示。

圖3 點源荷載作用下1/4空間理論模型Fig.3 Theoretical model of quarter space impacted by point source loads

Green函數(shù)滿足式(1)所示的控制方程，而問題的邊界條件如下：

(4)

在圓形孔洞周邊滿足應力自由條件，即

τr1z1|r1=R=0

(5)

Green函數(shù)可以看成點源函數(shù)單獨作用1/4空間時產(chǎn)生的位移函數(shù)G(i)和由1/4空間中圓形孔洞對點源作用產(chǎn)生的散射位移函數(shù)G(s)的疊加。利用“虛設點源”的方法，位移函數(shù)G(i)的表達式為

(6)

式中，

H(·)為Hankel函數(shù)。

在點源函數(shù)的作用下，由圓形孔洞所激發(fā)的散射波將會在1/4空間兩個邊界和孔洞之間發(fā)生多次的反射和散射效應，直接構(gòu)造滿足式(1)和式(4)的散射波場位移表達式是很困難的。因此，本文提出“鏡像”的方法構(gòu)造散射波場位移表達式，其具體思路如圖4所示。

圖4 “鏡像”模型Fig.4 Model of image

以兩個邊界分別為對稱面，將1/4空間問題轉(zhuǎn)化為全空間問題，則散射波場位移表達式構(gòu)造如下：

(7)

2.2定解積分方程組

穩(wěn)態(tài)SH波入射下，雙相介質(zhì)半空間中入射波場位移表達式W(i)、反射波場W(r)以及折射波場位移表達式W(f)可以分別表示如下：

(8)

(9)

(10)

式中，W0、W1和W2分別是入射波、反射波和折射波的位移幅值，三者之間的關系如下：

同樣地，根據(jù)“鏡像”思想，散射波場位移表達式可以構(gòu)造如下:

(11)

根據(jù)“契合”模型在雙相介質(zhì)界面處位移和應力的連續(xù)性，可以得到如下表達式：

(12)

式中，W(sΙ)和W(sΠ)分別為介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的散射波在剖分面處產(chǎn)生的位移；W(f1)和W(f2)分別為f1和f2在剖分面處產(chǎn)生的位移。利用

式(12)可以化為

(13)

根據(jù)Green函數(shù)具體表達式和式(13)，定解積分方程組可以表示如下：

(14)

3 動應力集中系數(shù)

半空間垂直界面附近對稱圓形孔洞在SH波作用下的動力特性分析的主要任務之一就是對圓孔周邊動應力集中系數(shù)的求解[15]。在介質(zhì)Ⅰ中，沿圓形孔洞周邊的環(huán)向動應力集中系數(shù)的表達式為

(15)

通常，動應力集中系數(shù)表達式可以寫成

(16)

式中，τ0=μ1k1W0為半空間入射應力的最大幅值。

4 算例分析與討論

在具體算例中，給出圖1所示模型介質(zhì)Ⅰ中圓形彈性孔洞周邊的動應力集中系數(shù)DSCF的分布情況。其中SH波入射波的位移幅值W0=1，介質(zhì)Ⅰ和Ⅱ的彈性模量比值和波數(shù)比值分別為μ*=μ2/μ1和k*=k2/k1。

(1) 圖5所示為SH波水平入射時，圓形孔邊動應力集中系數(shù)DSCF隨波數(shù)比k*的變化分布情況。取無量綱參數(shù)h/R=12.0，d/R=12.0。由圖5(a)和(b)可以看出： 當SH波以低頻入射時，孔邊DSCF值隨波數(shù)比k*的增加而變小，最大值發(fā)生在靠近半空間水平表面附近。由此說明，當SH波由相對較硬介質(zhì)進入到相對較軟介質(zhì)中(k*gt;1.0)時，孔邊DSCF值會變小，這正是由于軟介質(zhì)吸收更多能量造成的。由圖5(c)和(d)可以看出，當SH波入射頻率增加時，孔邊DSCF值分布變化比較復雜，同時，DSCF數(shù)值隨著波數(shù)比k*的增加有整體變大趨勢。對比SH低頻入射和高頻入射兩種情況，孔邊DSCF最大值減小約21.60%。

(2) 圖6所示SH波水平入射時，圓孔周邊一點(θ=90°)DSCF隨距離d/R的變化分布情況。取無量綱參數(shù)h/R=12.0。由圖6(a)可以看出：“準靜態(tài)”情況下(k1R=0.1)，孔邊一點DSCF值隨距離d/R的增加而變化并不明顯，同時曲線分布呈現(xiàn)波動性變化。當k*=1.0時，曲線近似為一條直線，此結(jié)果與文獻[16]一致。然而，隨著入射波數(shù)的增大，孔邊一點DSCF曲線波動幅度加大，同時當距離d/Rgt;30附近，曲線有衰減趨勢。由此說明，圓孔距離雙相介質(zhì)界面較遠時，其對孔邊DSCF的影響近似可以被忽略。

圖5 SH波水平入射時，孔邊DSCF的分布情況

圖6 SH波水平入射時，孔邊一點DSCF的分布情況(θ=90°)Fig.6 Distribution of DSCF on a point of circular hole edge when SH waves are incident horizontally

5 結(jié) 語

本文主要采用復變函數(shù)和“鏡像”的方法,求解了雙相介質(zhì)半空間垂直界面附近含有對稱圓形彈性孔洞對穩(wěn)態(tài)入射SH波的散射問題，同時,對孔邊的動應力分布情況進行了分析討論。從具體算例可以看出，不同的介質(zhì)波數(shù)和孔洞到垂直邊界的距離遠近等因素都會對孔邊的動應力集中系數(shù)的分布有一定影響。因此,在相應問題的研究中應予以重視。同時，本文算例分析結(jié)果可以為設計和工程實踐等提供理論參考。

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Dynamic Stress Analysis for Symmetrical Circular Holes Near Vertical Interface Impacted by SH Waves in Bi-material Half Space

YANGJie

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 200245, China)

A dynamic stress analysis for symmetrical circular holes near a vertical interface in a bi-material half space is performed using a methods of complex function and image. Expressions of Green’s functions and scattering waves are obtained with the aid of an image method. A series of Fredholm integral equations containing unknown forces are derived using an interface conjunction. The equations are solved using an effective truncation. Numerical examples for dynamic stress concentration around the edge of the circular hole are given. Numerical results demonstrate that the distribution of the dynamic stress concentration factor is influenced to some degree by the wave number ratio and distance between the circular hole and the vertical interface.

SH waves; vertical interface; circular hole; image; dynamic stress concentration factor

2095-0020(2013)05 -0262-06

O 347.4; O 348

A

2013-07-16

國家自然科學基金項目資助(10972064);上海電機學院重點學科資助(12xk501)

楊 杰(1985-)，女，講師,博士，主要研究方向為波動理論及應用，E-mail: yangj@sdju.edu.cn