白斌, 徐敏, 祝小平, 郭東

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

正交多項(xiàng)式在非定常氣動(dòng)建模上的運(yùn)用

白斌, 徐敏, 祝小平, 郭東

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

介紹了一種基于多變量正交多項(xiàng)式的全局非線性氣動(dòng)系數(shù)建模方法。首先由離散數(shù)據(jù)點(diǎn)生成多變量正交函數(shù);然后根據(jù)建立的最小平方誤差預(yù)測(cè)準(zhǔn)則,對(duì)正交函數(shù)進(jìn)行篩選,保留下來的正交函數(shù)均可以分解成普通的獨(dú)立變量多項(xiàng)式,最后的模型可以看作是多變量冪級(jí)數(shù)展開系列中的選擇性保留項(xiàng)。將該方法應(yīng)用于某高超聲速飛行器的阻力系數(shù)建模;將所建模型和仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較,其誤差小于3%,能夠滿足工程應(yīng)用要求。

多變量正交函數(shù); 非線性; 數(shù)據(jù)擬合; 氣動(dòng)系數(shù)建模

0 引言

隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)代高性能戰(zhàn)斗機(jī)的飛行包線逐漸擴(kuò)大,研究范疇由線性區(qū)域拓展至非線性區(qū)域。第三代以后的戰(zhàn)斗機(jī)的顯著特點(diǎn)是能夠在非線性區(qū)域內(nèi)機(jī)動(dòng)。飛行仿真、動(dòng)力學(xué)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中都需要高度可信的非線性氣動(dòng)模型[1]。由于飛行器所處力學(xué)環(huán)境復(fù)雜,氣動(dòng)系數(shù)具有多變量、非線性特點(diǎn),使得模型難以建立。研究人員通常希望得到一個(gè)簡單解析的全機(jī)氣動(dòng)模型,以便于分析、簡化運(yùn)算,而采用多變量非線性擬合的方法能夠達(dá)到上述目的。

擬合需要解決兩個(gè)問題,即確定模型的結(jié)構(gòu)和計(jì)算結(jié)構(gòu)中的未知參數(shù)。如果模型結(jié)構(gòu)采用多變量級(jí)數(shù)展開的形式,并建立相應(yīng)的準(zhǔn)則對(duì)級(jí)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭h減優(yōu)化,則可得到較好的全局?jǐn)M合解析模型,且能從中獲得更多的非線性氣動(dòng)特性,而這些信息卻難以通過表格式氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫體現(xiàn)。

使用傳統(tǒng)的方法建立全局非線性擬合多項(xiàng)式時(shí)會(huì)遇到很多問題。首先,不知道模型的結(jié)構(gòu),即級(jí)數(shù)展開中哪些項(xiàng)需要保留。很多學(xué)者使用逐步回歸來選擇多項(xiàng)式[2-4],然而最小平方問題中產(chǎn)生的回歸量具有很大的相關(guān)性(例如相同變量構(gòu)成的線性和立方項(xiàng)總是高度相關(guān)),這將導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)出現(xiàn)病態(tài),從而使得參數(shù)估計(jì)結(jié)果不準(zhǔn)確。另一大難題是模型結(jié)構(gòu)的確定和參數(shù)估計(jì)是耦合的。適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是準(zhǔn)確地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的先決條件,而評(píng)價(jià)給定模型結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確度又需要估計(jì)模型參數(shù),這使得建模異常困難。針對(duì)以上問題,文獻(xiàn)[1]提出了多變量正交多項(xiàng)式擬合方法,該方法很好地克服了以上缺點(diǎn),不需要事先建立模型就能夠精確地建立全局非線性氣動(dòng)系數(shù)模型。

與傳統(tǒng)的辨識(shí)建模方法不同,本文從擬合的角度提出了一種新的建模方法——多變量正交擬合方法。首先介紹了多變量非線性正交多項(xiàng)式擬合的一般方法,然后在某高超聲速飛行器的氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算中進(jìn)行了驗(yàn)證,證明了該方法的有效性。

1 多變量正交擬合方法

1.1 多變量正交擬合原理

設(shè)N維非獨(dú)立變量y=[y1,y2,…,yN]T,由n個(gè)線性相關(guān)的正交函數(shù)pj(j=1,2,…,n)表示。pj為N維矢量,由m個(gè)N×1維獨(dú)立變量xi(i=1,2,…,m)決定。令x=[x1,x2,…,xm],則pj=pj(x)?；谝陨霞僭O(shè),y可表示為:

y=a1p1+a2p2+…+anpn+e

(1)

其中:

(2)

式中,aj(j=1,2,…,n)為待定常數(shù);e為模型誤差。為確定正交函數(shù)pj,在此忽略e的影響。定義N×n矩陣

P=[p1,p2,…,pn]

(3)

同時(shí)令a=[a1,a2,…,an]T,則式(1)可以表示為:

y=Pa+e

(4)

為求得a,令

J=(y-Pa)T(y-Pa)

(5)

(6)

1.2 模型結(jié)構(gòu)的確定準(zhǔn)則

(7)

將式(5)進(jìn)一步展開為:

(8)

將式(2)、式(7)代入式(8)可得:

(9)

定義最小平方誤差

(10)

MSE可以保證模型與數(shù)據(jù)的一致性,但是沒有涉及到整個(gè)模型的總項(xiàng)數(shù)。由式(9)可以看到,僅通過不斷增大n即可實(shí)現(xiàn)減小MSE值,因此式(10)不能很好地確定多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),需對(duì)模型加以改進(jìn)。改進(jìn)方式如下:

(11)

其中:

1.3 正交函數(shù)的生成

對(duì)于多變量正交函數(shù)的生成方法在文獻(xiàn)[5]中有詳細(xì)的介紹。正交多項(xiàng)式pj(j=1,2,…,n)的生成與xi(i=1,2,…,m)密切相關(guān)。為此可以先對(duì)普通多項(xiàng)式加以討論,其形式可寫為:

(12)

?{k1,k2,…,kμ-1,kμ,kμ+1,…,km}

k?{k1,k2,…,kμ-1,kμ+1,kμ+1,…,km}

(13)

(14)

將式(13)和式(14)聯(lián)立即可求得正交多項(xiàng)式pj;然后利用PSE判別標(biāo)準(zhǔn),求得能使PSE滿足的n值;最后代入式(7)即可求得相應(yīng)的系數(shù)值,實(shí)現(xiàn)多變量非線性數(shù)據(jù)擬合。

2 氣動(dòng)系數(shù)建模與仿真

以某高超聲速飛行器為例,進(jìn)一步闡述如何進(jìn)行多變量非線性數(shù)據(jù)擬合,本文僅討論定常狀態(tài)。對(duì)于阻力系數(shù)CD其表達(dá)形式如下[6]:

CD=CD0(Ma,α,β)+CDδe(Ma,α,δe)+

CDδa(Ma,α,δa)+CDδr(Ma,α,δr)

(15)

式中,δe,δr,δa分別為升降舵、方向舵、副翼舵偏角。由CFD計(jì)算得到式(15)右邊四項(xiàng)對(duì)應(yīng)的仿真數(shù)值,各參數(shù)范圍如下:

Ma=3.0,4.5, 6.5

-8°≤α≤8° (Δα=4°)

β=±8°,±6°,±4°,0°

-10°≤δe≤10° (Δδe=2°)

-10°≤δa≤10° (Δδa=2°)

-20°≤δr≤20° (Δδr=2°)

運(yùn)用正交函數(shù)擬合首先得到CD0(Ma,α,β)的解析表達(dá)式如下(為表述方便,α,β在式(16)中為弧度,而在其他圖形及表格中均轉(zhuǎn)化為度):

CD0=c1Ma4+c2Ma3α+c3Ma3+c4Ma2α2+

c5Ma2α+c6Ma2β2+c7Ma2+c8Maα3+

c9Maα2+c10Maαβ2+c11Maα+c12α3+

c13α2β2+c14α2+c15αβ2+c16β4+c17β2

(16)

式(16)各系數(shù)值如表1所示。

表1 CD0(Ma, α, β)表達(dá)式各系數(shù)值Table 1 Coefficients of expression CD0(Ma, α, β)

為了形象地進(jìn)行對(duì)比,固定Ma=6.5,表2給出了在不同α,β條件下,部分仿真數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)的結(jié)果。可以看出，不同α,β下擬合誤差均在2%以內(nèi),精度較高。

表2 CD0(Ma, α, β)的仿真數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)Table 2 Simulation and fitted data of CD0(Ma, α, β)

圖1給出了Ma=6.5時(shí)仿真數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)的三維圖,可以看出兩者在空間的走勢(shì)一致,沒有出現(xiàn)突變現(xiàn)象,說明擬合表達(dá)式具有全局有效性。

圖1 CD0(Ma, α, β)三維圖形Fig.1 Three-dimensional results of CD0(Ma, α, β)

圖2分別給出了Ma,α,β中固定兩個(gè)變量時(shí)的二維對(duì)比圖,其中虛線表示擬合多項(xiàng)式的函數(shù)曲線,實(shí)心點(diǎn)表示離散仿真數(shù)據(jù)結(jié)果。由圖2(a)和圖2(b)可知,擬合曲線與仿真數(shù)據(jù)點(diǎn)符合得較好;而在圖2(c)中,由于數(shù)據(jù)點(diǎn)較少擬合曲線波動(dòng)較大,無法驗(yàn)證其精確度。由此可知,擬合精度不但與擬合方法有關(guān),還與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)多少、分布是否合理有關(guān),數(shù)據(jù)量越大,分布越合理,相應(yīng)地?cái)M合精度越高。

圖2 Ma, α, β中固定兩個(gè)變量時(shí)的二維對(duì)比圖Fig.2 Two-dimensional comparison figure when two variables of Ma, α, β are fixed

(17)

將表2的數(shù)據(jù)代入式(17),可以求得當(dāng)Ma=6.5時(shí),擬合誤差為2.18,具有較高的擬合精度。

按照上述方法可以分別求得式(15)中的CD0,CDδe,CDδa,CDδr,進(jìn)而得到阻力系數(shù)CD,最終完成全局氣動(dòng)系數(shù)的建模。

3 結(jié)束語

傳統(tǒng)的非定常氣動(dòng)建模大部分都是從辨識(shí)的角度出發(fā),過程較為復(fù)雜繁瑣,并且模型重復(fù)利用率較低,不利于后續(xù)分析運(yùn)用。本文從擬合的角度闡釋了基于多變量正交多項(xiàng)式的建模方法,該方法較為新穎,省去了很多工作,能夠建立解析的氣動(dòng)模型,簡潔易懂,通用性強(qiáng),值得推廣。同時(shí),已經(jīng)將該方法運(yùn)用到大迎角耦合氣動(dòng)建模中,完成了氣動(dòng)特性分析,這些將在后續(xù)的文章中加以介紹。

[1] Morelli E A.Global nonlinear areodynamic modeling using multivariate orthogonal functions [J].Journal of Aircraft,1995,32(2):270-277.

[2] Klein V,Batterson J G,Murphy P C.Determination of airplane model structure from flight data by using modified stepwise regression[R].NASA-TP-1916,1981.

[3] McBrinn D E,Brassell B B.Aerodynamic parameter identification for the A-7 airplane at high angles of attack[C]//Proceedings of the AIAA 3rd Atmospheric Flight Mechanics Conference.TX,1976:108-117.

[4] Hall W E,Jr Gupta N K.System Identification for nonlinear aerodynamic flight regimes[J].Journal of Spacecraft and Rockets,1977,14(2):73-80.

[5] Weisfeld M.Orthogonal polynomials in several variables[J].Numerische Mathematik,1959,1(2):38-40.

[6] 李新國,方群.有翼導(dǎo)彈飛行動(dòng)力學(xué)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2005:4-9.

Nonlinearaerodynamicmodelingusingonorthogonalpolynomials

BAI Bin, XU Min, ZHU Xiao-ping, GUO Dong

(College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

A technique is introduced for modeling of nonlinear aerodynamic coefficients based on multivariable orthogonal polynomials. All the multivariable orthogonal functions are generated from the scatter data and a minimum squared-error predication criterion is used to screen the orthogonal functions according to their contribution which is easy to optimize. Each retained orthogonal function is then decomposed into an expansion of ordinary independent variable polynomial so that the final model could be interpreted as selectively retained terms from a multivariable power series expansion. The approach has been applied on the drag coefficient modeling for a hypersonic aircraft. By comparing the analytical model with the CFD data, it is found that the squared-fit error is less than 3%, which can meet the requirements for engineering application.

multivariable orthogonal function; nonlinear; data fit; aerodynamic coefficient modeling

V211.4

A

1002-0853(2013)05-0398-04

2012-12-04;

2013-04-08; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間:2013-08-21 18:46

白斌(1990-)，男，四川營山人，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行器穩(wěn)定性分析。

(編輯：李怡)