張 勇 (瀘州醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，四川 瀘州 646000)

何國良 (電子科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，四川 成都 611731)

變形雙重介質(zhì)分形油藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型有限元法求解研究

張 勇 (瀘州醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，四川 瀘州 646000)

何國良 (電子科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，四川 成都 611731)

變形雙重介質(zhì)分形油藏的不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，當(dāng)邊界條件為第一類邊界條件時(shí)，用預(yù)估-校正法可以很好地解決；當(dāng)邊界條件含有第二類邊界條件時(shí)，證明差分解的存在性和收斂性時(shí)卻遇到巨大困難。為了較為簡單地解決上述問題，采用有限元方法求其數(shù)值解，并證明了有限元離散解的存在性和收斂性，為其在石油工程中的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

不穩(wěn)定滲流；收斂；有限元法；收斂性

在石油勘探和開采中，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行油藏?cái)?shù)值模擬是了解地下儲(chǔ)油變化的一項(xiàng)簡便方法。為此，研究者提出相關(guān)模型和算法。Warren-Root模型建立在均質(zhì)油藏歐幾里得幾何基礎(chǔ)上，不適用于具有壓力敏感效應(yīng)的非均質(zhì)油藏[1]。文獻(xiàn)[2]以Warren-Root模型為基礎(chǔ)，引入分形參數(shù)df、θ和壓縮系數(shù)αf、βf，考慮壓力對具有分形特征的滲透率和孔隙度的影響，建立變形雙重介質(zhì)分形油藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

(2)

上述模型可用來刻畫具有軸稱特征的地下油藏，然而由于該模型的復(fù)雜性，如何高效求解成為一個(gè)亟待解決的問題。

1 含有第二類邊界條件滲流數(shù)學(xué)模型的有限元離散

當(dāng)邊界條件為第一類邊界條件(井底定壓和有界定壓外邊界)時(shí)，用預(yù)估-校正法[2]可以很好地解決該類定解問題；當(dāng)邊界條件含有第二類邊界條件(定產(chǎn)量和封閉外邊界)時(shí)，對差分解的存在性以及收斂性的證明卻十分困難。因此，為了較為簡單地解決上述問題，可以采用有限元方法來求其數(shù)值解。

在不引起混淆的情況下，令t=τ，τ=Δt，則將式(2)代入式(1)并記為如下形式：

(3)

其中:

f1(u,η)=ωe(θ+2)u(1-αDη)γD-1f(u,η)=(β-1)

定解條件上述各條件令l=lnRe，記:

將式(3)按如下格式對時(shí)間進(jìn)行離散化：

于是有：

(4)

用單元線性插值的有限元方法求解式(10)和其定解條件。對于不同的邊界條件選取不同類型的有限元空間sh，其都滿足通常的逼近性質(zhì)和逆性質(zhì)[3]。

(5)

于是可得到方程組為：

CP=G

(6)

(7)

2 有限元離散的滲流數(shù)學(xué)模型的收斂性分析

為了證明該有限元算法的收斂性，可以在解存在、有界性的基礎(chǔ)上利用經(jīng)典的Gronwall不等式來進(jìn)行分析。

為方便起見，記：

(8)

式(3)、式(2)所對應(yīng)的弱解形式在各邊界條件下為：

(9)

其中HΓ由式(8)來定義，且由式(3)有：

(10)

設(shè)Pi為原始地層壓力，則PfD為一有界量，不妨設(shè)為PD0，則在有限區(qū)域Ω:Ω={0

|f1(u,ηn)-f1(u,ηn-1)|≤C2ωe(θ+2)l|ηn-ηn-1|C2=αD(1-γD)(1-αDη*)γD-2

于是由式(2)、式(3)、式(9)及邊界條件，可得誤差方程為：

(11)

其中：

Fn=(

取檢驗(yàn)函數(shù)v=dtζn，則有：

有:

此外:

利用分部積分和分部求和有：

將式(11)兩端同乘以2τ，并對n從2到M-1(m≤N)求和有：

則當(dāng)h和τ充分小時(shí)，由離散的Gronwall不等式有[5]：

在式(11)中，取n=1,v=d1ζ1，有:

從而有：

由此該有限元離散解的的收斂性得到證明。

3 結(jié)語

數(shù)學(xué)建模同數(shù)值模擬相結(jié)合是解決復(fù)雜問題的便捷而有效的分析工具。有限元方法是求偏微分方程中使用較為普遍的方法，其對邊界條件恰如其分的處理是其他許多方法無可比擬的。當(dāng)建立的變形雙重介質(zhì)分形油藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型的定解問題含有第二類邊界條件時(shí)，由于相關(guān)方程是非線性的，為了克服有限差分法證明其離散解的存在性和收斂性時(shí)遇到的困難，利用有限元法解決該類定解問題。研究表明，利用有限元方法能夠方便、簡潔地證明有限元離散解的存在性和收斂性，從而為變形雙重介質(zhì)分形油藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于石油工程提供理論參考。

[1]Warren J E，Root P J.The behavior of naturally fractured reservoirs[J].SPE13245,1963.

[2]何國良,向開理.變形雙重介質(zhì)分形油藏滲流數(shù)學(xué)模型及壓力動(dòng)態(tài)特征[J].西南石油學(xué)院學(xué)報(bào),2002,24(4):24-27.

[3]Dendy J E.An analysis of some Galerkin schemes for the solution of nonlinear time-dependent problems[J].SIAM J Numer Anal,1975，12(4): 541-565.

[4]Wheeler M F.A priori -error estimates for Galerkin approximations to parabolic differential equations[J].SIAM J Numer Anal,1973，10(4):723-759.

[5]袁益讓,王宏.非線性雙曲型方程有限元方法的誤差估計(jì)[J].系統(tǒng)科學(xué)和數(shù)學(xué),1985，5(3):161-165.

[編輯] 李啟棟

O29

A

1673-1409(2013)22-0013-04

2013-05-14

張勇(1976-)男,碩士，講師,現(xiàn)主要從事數(shù)據(jù)挖掘方面的教學(xué)與研究工作。