楊良, 周浩, 陳萬春

(北京航空航天大學 宇航學院, 北京 100191)

高超聲速飛行器末段軌跡快速優(yōu)化

楊良, 周浩, 陳萬春

(北京航空航天大學 宇航學院, 北京 100191)

利用高斯偽譜法求解具有路徑約束和落角、落速等終端約束條件下的高超聲速飛行器末段軌跡優(yōu)化問題。分析了不同LG節(jié)點數(shù)目對該問題求解精度和計算時間的影響,以及不同LG節(jié)點的擬合多項式與實際積分結(jié)果之間的相對誤差關(guān)系。根據(jù)精度需要,選擇合適的LG節(jié)點進行優(yōu)化,分析了狀態(tài)變量與積分結(jié)果的相對誤差傳播情況。仿真結(jié)果表明,采用節(jié)點分析后的高斯偽譜法在求解該問題上具有較高的計算精度和計算效率。

高超聲速飛行器; 軌跡優(yōu)化; 高斯偽譜法

0 引言

高超聲速飛行器對控制變量比較敏感,并且需要考慮最大動壓約束和最大過載約束等情況,因此,可行解就在一個非常狹窄的范圍內(nèi),許多學者對這一問題進行了研究。近十幾年來,隨著偽譜法在優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用,能夠較快地尋到最優(yōu)解[1]。文獻[2]使用間接法對高超聲速飛行器的滑行軌跡進行了優(yōu)化。文獻[3-4]分別利用高斯偽譜法對高超聲速飛行器的再入軌跡進行了優(yōu)化,文獻[4]同時提出了分段串行優(yōu)化策略。文獻[5]利用Legendre偽譜法對高超聲速飛行器的再入軌跡進行了優(yōu)化,同時利用Hamilton函數(shù)分析了解的最優(yōu)性。文獻[6]利用高斯偽譜法對路徑點與禁飛區(qū)等多過程約束的高超聲速飛行器進行了軌跡優(yōu)化。這些研究都集中在高超聲速飛行器的滑翔段,很少有研究對不同LG節(jié)點與求解精度進行定量的分析。本文針對高超聲速飛行器末段軌跡優(yōu)化這一特定問題進行研究,分析了不同節(jié)點對計算時間和計算精度的影響,利用Hamilton函數(shù)分析了求解結(jié)果的最優(yōu)性,計算得到不同LG節(jié)點的擬合多項式與實際積分結(jié)果之間的相對誤差關(guān)系。通過相對誤差的關(guān)系,根據(jù)精度要求,選擇合適的LG節(jié)點,仿真結(jié)果表明,選取合適LG節(jié)點的高斯偽譜法[7]在求解該問題上具有較高的計算精度和計算效率,最后分析了不同狀態(tài)變量之間的誤差傳播關(guān)系。對于高超聲速飛行器的末段軌跡優(yōu)化問題,準確的選點能夠保證較高的計算精度和計算效率,這為高斯偽譜法的在線制導提供了較好的仿真數(shù)據(jù)。

1 高斯偽譜法介紹

考慮下面的最優(yōu)控制問題,狀態(tài)量x(τ)∈Rn,控制量u(τ)∈Rm,初始時刻和終端時刻為t0和tf。

J[u,x,τf]=Φ[x(τ0),x(τf),τ0,τf]+

φ[x(-1),x(1),t0,tf]=0∈Rq

C[x(-1),x(1),t0,tf]≤0∈Rc

式中,φ為過程等式約束;C為過程不等式約束。一般的最優(yōu)控制問題可以通過下面的公式轉(zhuǎn)化為時間區(qū)域為τ∈[-1,1]的問題。

t=(tf-t0)τ/2+(tf-t0)/2

高斯偽譜法與文獻[8-9]中介紹的Legendre偽譜法和Chebyshev偽譜法一樣,都是采用插值多項式來逼近狀態(tài)變量和控制變量。

在LG節(jié)點的每個Lagrange多項式的微分方程可以用一個微分矩陣來逼近,這個矩陣就是D∈RN×N+1,微分矩陣的元素可以表示為:

式中,k=1,…,N;i=0,…,N。這樣狀態(tài)微分方程就可以通過微分矩陣轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束,可表示為:

式中,ωk為高斯權(quán)函數(shù)。連續(xù)的性能指標函數(shù)也可以通過積分公式表示為:

J=Φ[x(-1),x(1),t0,tf]+

φ(X0,Xf,t0,tf)=0,C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0

不規(guī)范處方主要包括：①處方超量，如普通處方超過7天量，急診處方超過3天量，省特約處方超過7天量，無特殊治療需要處方超過1個月用量等；②臨床診斷書寫不全、病人信息不全；③醫(yī)生輸入錯誤；④醫(yī)師處方未簽名（蓋章）或與留樣不一致；⑤處方上藥品品種數(shù)量超過規(guī)定（5種）；⑥處方修改未簽名蓋章，也未注明修改日期；⑦處方用箋不規(guī)范，如門診手寫處方用的是住院處方或自費藥房處方。

這樣就把連續(xù)的Bolza問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃(NLP)問題,通過成熟的非線性規(guī)劃求解器就可以找到該問題的最優(yōu)解。

2 高超聲速飛行器動力學模型

2.1 動力學方程

大氣相對于地球靜止的無動力三自由度質(zhì)點彈道運動學方程[10]為:

式中,x,y,z為大地坐標;V為地球相對速度;γ為航跡角;φ為航向角;α為迎角;σ為側(cè)傾角;g=μ/r2為重力加速度;μ為地球重力加速度常數(shù)。升力L和阻力D如下:

L=qSrefCL/m,D=qSrefCD/m

式中,q=ρV2/2為飛行過程中的動壓;CL為升力系數(shù);CD為阻力系數(shù);Sref為飛行器的參考面積;m為飛行器質(zhì)量;ρ為大氣密度,ρ=ρ0exp(-βH),其中ρ0為海平面大氣密度,H=r-Re為高度,Re為地球半徑,β為密度常數(shù)。

2.2 約束條件

從結(jié)構(gòu)和熱防護的角度出發(fā),要求高超聲速飛行器在飛行過程中滿足動壓約束以及過載約束,其約束的表達式為:

q=(1/2)ρV2≤qmax,nz=L/(mg)≤nzmax

式中,qmax,nzmax根據(jù)具體飛行器的設(shè)計進行選取。

|u1|≤u1max, |u2|≤u2max

2.3 優(yōu)化性能指標

為了保證優(yōu)化得到的控制變量能夠足夠光滑,選取各個控制變量的平方和最小這一性能指標作為優(yōu)化性能指標。各個控制變量的平方和最小也意味著飛行器在飛行過程中以消耗能量最小的方式達到所滿足的條件,其具體表達形式為:

3 數(shù)值計算與分析

3.1LG節(jié)點數(shù)目的影響

選取高斯偽譜法的LG節(jié)點數(shù)為60,30,15,10,6分別對該問題進行優(yōu)化。所有計算均在Window 7的系統(tǒng)環(huán)境下運行MATLAB 2008B進行計算,非線性規(guī)劃問題采用著名的snopt軟件包進行求解。

采用不同LG節(jié)點進行優(yōu)化的仿真結(jié)果如圖1所示。由圖可知,這些結(jié)果非常相似,多次優(yōu)化的結(jié)果都同時收斂到最優(yōu)解。從各狀態(tài)變量的曲線來看,其最優(yōu)結(jié)果都非常光滑。

通過對不同擬合多項式的相對節(jié)點誤差比較,采用階數(shù)相對較少的多項式直接逼近各狀態(tài)變量就可以達到較高的逼近精度,這也意味著能夠選取很少的LG節(jié)點達到較高的計算精度。LG節(jié)點的減少同時也能夠帶來通過高斯偽譜法離散后的非線性規(guī)劃問題的規(guī)模減少。但隨著節(jié)點數(shù)目的減少,計算精度也會下降,從圖中可以看出,采用6個LG節(jié)點的優(yōu)化結(jié)果明顯出現(xiàn)較大的偏差。

圖1 優(yōu)化結(jié)果仿真曲線Fig.1 Curve of optimization simulation

表1分別對不同LG節(jié)點數(shù)進行優(yōu)化的計算時間進行對比。隨著節(jié)點的減少,優(yōu)化變量和計算時間大大減少,優(yōu)化問題的規(guī)模得到了很大的改善。從表中可以看出,采用10個LG節(jié)點的計算時間相對于60個LG節(jié)點也從520.71 s減少到4.975 1 s。

表1 不同LG節(jié)點的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization of various LG nodes

3.2 最優(yōu)性驗證

根據(jù)文獻[7],可以通過約束的Lagrange乘子估算出最優(yōu)控制問題的協(xié)態(tài)變量。這樣就提供了一種對所得結(jié)果進行最優(yōu)性驗證的方法。

根據(jù)最優(yōu)控制理論,在約束不受限的情況下,Hamilton方程恒等于零;在受限情況下,其Hamilton函數(shù)應(yīng)該盡可能地接近于不受限的Hamilton函數(shù),這樣就為解的最優(yōu)性提供了一個驗證(見圖2)。在Hamilton函數(shù)曲線上,Hamilton函數(shù)的數(shù)值結(jié)果基本接近于零,通過Hamilton函數(shù)的近似性,保證了解的最優(yōu)性。

圖2 Hamilton函數(shù)Fig.2 Hamilton function

3.3 優(yōu)化結(jié)果比較與誤差分析

圖3為不同LG節(jié)點與積分彈道的相對誤差之間的關(guān)系。從圖中可以看出,隨著LG節(jié)點的增加,誤差精度越來越小,但變化趨勢趨于平緩,在較少的LG節(jié)點時,精度出現(xiàn)比較大的變化,因此,根據(jù)精度要求,合理選擇LG節(jié)點個數(shù)非常重要。圖4為采用10個LG節(jié)點的高斯偽譜法優(yōu)化彈道與積分彈道進行對比的結(jié)果,通過MATLAB 2008B中的Simulink搭建動力學模型實現(xiàn)彈道積分,積分方法選用四階R-K法。從圖中可以看出,優(yōu)化結(jié)果與積分結(jié)果基本相同。

圖3 相對誤差精度與LG節(jié)點的關(guān)系Fig.3 Relationship between relative error and LG nodes

圖4 優(yōu)化結(jié)果對比曲線Fig.4 Comparison of optimization results

圖5為各個狀態(tài)變量的相對誤差傳播變化情況,是通過各個狀態(tài)變量的積分結(jié)果與優(yōu)化結(jié)果的Lagrange插值多項式相減,然后除以相對系數(shù)。從圖中可以看出,各個狀態(tài)量之間的相對誤差都很小,且呈振蕩分布,在LG節(jié)點上達到優(yōu)化算法的可行性精度。x和y方向的相對誤差基本上保持在10-5數(shù)量級上,而z方向、速度和航跡角的相對誤差基本保持在10-4數(shù)量級上,最小的為航向角相對誤差,保持在10-8數(shù)量級上。因此,采用10個LG節(jié)點的高斯偽譜法在處理高超聲速飛行器末段軌跡快速優(yōu)化問題上,能夠很快地收斂到全局最優(yōu)解,并且具有很高的計算效率與計算精度。

圖5 誤差的仿真結(jié)果Fig.5 Results of error simulation

4 結(jié)束語

本文針對高超聲速飛行器的末段軌跡快速優(yōu)化問題進行了研究,采用高斯偽譜法進行優(yōu)化。分析了不同LG節(jié)點對計算時間和計算效率的影響,不同LG節(jié)點的擬合多項式與實際積分結(jié)果之間的相對誤差關(guān)系以及狀態(tài)的誤差傳播情況。結(jié)果表明,合理選擇LG節(jié)點的高斯偽譜法具有很高的計算精度和計算效率。高精度、高效率的優(yōu)化結(jié)果也為高超聲速飛行器的末段軌跡在線優(yōu)化實現(xiàn)提供了很好的計算依據(jù),下一步將以本文工作為基礎(chǔ),重點研究高斯偽譜法的在線優(yōu)化問題。

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Fastterminaltrajectoryoptimizationforhypersonicspacecraft

YANG Liang, ZHOU Hao, CHEN Wan-chun

(School of Astronautics, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China)

In this paper, the terminal trajectory optimization with the constraints on process, impact angles and impact speed for hypersonic spacecraft is solved by Gauss pesudospctral method. By various Lambert-Gauss nodes operated to optimize this problem, the effect of the number of nodes on calculation time and calculation efficiency is studied. By comparing optimal results of various nodes with integral results, the relative error is obtained. According to specified accuracy, appropriate LG node is selected to optimize this problem and the extensive analysis of propagation relationship of the relative errors between Lagrange interpolation polynomial and integrated states is carried out. The results show that Gauss pseudospectral method applying nodes analysis is of high calculation accuracy and high calculation time to solve this problem.

hypersonic spacecraft; trajectory optimization; Gauss pseudospectral method

V412.4

A

1002-0853(2013)04-0341-04

2012-11-14;

2013-03-24; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間:2013-06-06 12:25

楊良(1985-)，男，湖南常德人，博士研究生，研究方向為飛行動力學及彈道優(yōu)化。

(編輯：方春玲)