溫 建，王 莉，王慶祿

（1.武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072，2.唐山師范學(xué)院 物理系，河北 唐山 063000；3.唐山師范學(xué)院 現(xiàn)代教育技術(shù)中心，河北 唐山 063000）

物理上及工程技術(shù)上常常需要研究各種各樣的場(chǎng)，例如電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)、溫度場(chǎng)等[1]。對(duì)于與時(shí)間無(wú)關(guān)的恒定場(chǎng)，若在空間某方向上是均勻的，則在垂直于該方向的平面內(nèi)，場(chǎng)的分布情況完全相同。這樣的場(chǎng)稱為平面場(chǎng)。比較常見(jiàn)的平面場(chǎng)有平面靜電場(chǎng)、平面無(wú)旋液流場(chǎng)、平面溫度場(chǎng)等。其中，平面溫度場(chǎng)是一種無(wú)旋無(wú)源平面場(chǎng)，可以用復(fù)勢(shì)理論[2,3]進(jìn)行分析和研究。

馬仁和滕敦朋[2]用復(fù)勢(shì)理論研究了平面靜電場(chǎng)，證明了任意電力線既不相交也不相切。李秀燕和陳賜海[3]給出給出了無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的復(fù)勢(shì)，討論了平行直線排列與平行環(huán)形排列兩種情況下，無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線組的復(fù)勢(shì)與電場(chǎng)，得出了相應(yīng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)線方程。張華和潘際鑾[4]采用圖象比色法建立了焊接溫度場(chǎng)實(shí)時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)，快速獲取了二維焊接溫度場(chǎng)分布。他們的研究表明，雙橢圓熱源分布模型二維溫度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際溫度檢測(cè)結(jié)果最為接近。洪新蘭等[5]采用無(wú)單元法對(duì)平面熱應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行了研究，求解了平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的第一類邊值條件的溫度分布，并對(duì)其進(jìn)行了熱應(yīng)力分析，取得了較好的數(shù)值結(jié)果。這里，我們將討論穩(wěn)恒的平面溫度場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，計(jì)算其溫度分布。

1 平面溫度場(chǎng)的復(fù)勢(shì)

任何無(wú)旋無(wú)源平面向量場(chǎng)都有復(fù)勢(shì)[1]，任f (z )必有以它為復(fù)勢(shì)的無(wú)旋無(wú)源平面向量場(chǎng)何解析函數(shù)

即

因而

因此在單連通區(qū)域B內(nèi)，

則

由此可得：

即為傅里葉定律。

在z軸方向上，溫度是恒定的，溫度的分布只是在垂直于z軸的橫向上有變化。令溫度為U(x, y)，它滿足

結(jié)合U(x,y)的邊界條件可求出平面溫度場(chǎng)的溫度分布，再根據(jù)柯西—黎曼方程可求出平面溫度場(chǎng)的熱流量函數(shù)，進(jìn)而得出該平面溫度場(chǎng)的復(fù)勢(shì)

其中

為等溫線，

為熱流線族。

2 平面長(zhǎng)方形溫度場(chǎng)分布

長(zhǎng)為a，寬為b的矩形板，在達(dá)到穩(wěn)定后x=0，y=0的兩個(gè)邊分別有熱量流入、流出，其熱流強(qiáng)度分別為q/b和q/a，而另外兩個(gè)邊均絕熱。該物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述為：

得

由柯西-黎曼方程

得

則相應(yīng)的復(fù)勢(shì)為

令 k=1，q=8，a=0.8，b=0.5，由 MATLAB可以得出如圖1所示的長(zhǎng)方體的矩形溫度分布。

圖1 橫截面長(zhǎng)0.8寬0.5的矩形溫度場(chǎng)穩(wěn)定分布

如圖1所示，熱流從左側(cè)流入，從下側(cè)流出，且上邊和右邊絕熱，溫度達(dá)到穩(wěn)定分布。在（0.8, 0）點(diǎn)溫度最低。隨著y方向增加、x方向減小溫度逐漸增加，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)（0,0.5）時(shí)溫度最高。圖中曲線為等溫線，箭頭為熱量傳遞的方向。

3 圓柱體溫度場(chǎng)分布

如圖2所示，半徑為ρ0，表面熏黑了的長(zhǎng)圓柱，在零度的空氣中受著陽(yáng)光照射，陽(yáng)光垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為q0。

圖2 受陽(yáng)光照射的圓柱截面

泛定方程為ΔU=0，邊界條件為

f(φ)是熱流強(qiáng)度的法向分量。由題意可知：

定解問(wèn)題為

由柯西-黎曼方程

得

取 a=1，H=1.5，k=0.3，h=0.2，q=5，應(yīng)用 MATLAB可得圖3和圖4。

圖3為溫度穩(wěn)定分布圖像，圓形橫截面上溫度在（0，-1）點(diǎn)溫度最低，為0度。在點(diǎn)（0,1）上溫度達(dá)到最大2.8度。圖像關(guān)于過(guò)（0，-1）（0,1）兩點(diǎn)的直線 l1對(duì)稱。令θ為半徑與直線 l1沿y軸正方向的夾角，則隨著θ的增大溫度逐漸地降低。圖4直觀地給示出該平面溫度場(chǎng)的等溫線。

圖3 受光照射圓柱溫度穩(wěn)定分布圖

圖4 受光照射圓柱的等溫線

4 結(jié)論

平面溫度場(chǎng)為無(wú)旋無(wú)源平面場(chǎng)，一定存在復(fù)勢(shì)f(z)。物體溫度穩(wěn)定分布可通過(guò)復(fù)勢(shì)方法來(lái)研究。本文利用柯西—黎曼公式求解熱傳導(dǎo)的定解問(wèn)題得出了兩種典型平面溫度場(chǎng)的復(fù)勢(shì)f(z)，并應(yīng)用MATLAB工具直觀地描繪出了溫度場(chǎng)的穩(wěn)定分布圖像和等溫線。

[1] 梁坤淼.數(shù)學(xué)物理方法(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2009:10-20.

[2] 馬仁,滕敦朋.關(guān)于電力線的一點(diǎn)討論[J].青島大學(xué)報(bào),2001,14(2):27-29.

[3] 李秀燕,陳賜海.無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線組電場(chǎng)分布的復(fù)勢(shì)解法[J].大學(xué)物理,2010,29(1):23-25.

[4] 張華,潘際鑾.基于二維焊接溫度場(chǎng)檢測(cè)的三維溫度場(chǎng)計(jì)算模擬[J].焊接學(xué)報(bào),1999,20(4):225-231.

[5] 洪新蘭,鄧苗毅,李炳南.無(wú)單元法在平面熱應(yīng)力分析中的應(yīng)用[J].河南科學(xué),2004,22(4):455-457.