殷 春 英

(衡水學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，河北 衡水 053000)

超靜定結(jié)構(gòu)是實際工程中經(jīng)常用到的結(jié)構(gòu)，它具有良好的力學(xué)性能，可以有效地提高結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度，滿足多種工藝要求．但由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，應(yīng)用不當(dāng)就會產(chǎn)生很多問題，使得學(xué)生在處理超靜定問題時感到困惑，在此對超靜定問題進(jìn)行歸納和探究，以便學(xué)生更好地求解超靜定問題，并將其應(yīng)用到實際工程當(dāng)中去．

1 什么是超靜定問題

與超靜定問題對應(yīng)的是靜定問題，靜定問題是：對研究對象進(jìn)行受力分析、列方程時，未知力個數(shù)等于獨立平衡方程的數(shù)目，從數(shù)學(xué)的角度看，所有的未知量都可以求出來，此時的結(jié)構(gòu)叫靜定結(jié)構(gòu)．超靜定問題[1]是：為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，有意增加約束，使得在對研究對象進(jìn)行平衡分析時其未知力個數(shù)多于獨立平衡方程的數(shù)目，造成不能直接把未知量求出，我們把這種結(jié)構(gòu)叫超靜定結(jié)構(gòu)，對于超靜定結(jié)構(gòu)需要進(jìn)一步分析，增加方程的個數(shù)，使得未知數(shù)的個數(shù)等于方程的個數(shù)，才能把所有的未知量求出來．

超靜定結(jié)構(gòu)就是在靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加了約束，使各構(gòu)件或構(gòu)件各部分的變形之間互相牽制，因而具有一些與靜定結(jié)構(gòu)不同的特性．

2 加強(qiáng)對超靜定問題的探究

2.1 超靜定結(jié)構(gòu)的分類

超靜定結(jié)構(gòu)按內(nèi)外力可分為3 類，一是僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束，即支反力是超靜定的，可稱為外力超靜定系統(tǒng)；第二類是僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束，即內(nèi)力是超靜定的，可稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)；第三類是在結(jié)構(gòu)外部和內(nèi)部均存在多余約束，即外力和內(nèi)力是超靜定的，可稱為混合超靜定系統(tǒng)．

超靜定結(jié)構(gòu)按未知力個數(shù)分，可分為一次超靜定結(jié)構(gòu)、二次超靜定結(jié)構(gòu)和多次超靜定結(jié)構(gòu)．

2.2 影響超靜定結(jié)構(gòu)的因素

2.2.1 剛度對超靜定問題的影響

荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力除與荷載有關(guān)外，還與各桿的相對剛度有關(guān)，相對剛度越大的桿，其內(nèi)力也越大．當(dāng)結(jié)構(gòu)存在裝配誤差時或溫度變化時，結(jié)構(gòu)就會產(chǎn)生相應(yīng)的裝配應(yīng)力與溫度應(yīng)力，這些應(yīng)力可能使結(jié)構(gòu)損壞．如果在設(shè)計制作超靜定結(jié)構(gòu)時考慮不到這些特性，那工程將存在潛在的危險．因此需要深入研究這些特性，減少其特性對結(jié)構(gòu)的不良影響，還可以合理地利用其特性，將其變成有利條件．

2.2.2 約束設(shè)計對超靜定問題的影響

超靜定結(jié)構(gòu)有較強(qiáng)的防護(hù)能力．由于超靜定結(jié)構(gòu)存在多余約束，某些桿件被破壞后，它仍能維持幾何不變性；而靜定結(jié)構(gòu)在任一約束被破壞后，整體結(jié)構(gòu)將會變形或損壞，從而失去承載能力．因此，超靜定結(jié)構(gòu)常應(yīng)用于抗震防災(zāi)、國防建設(shè)等方面，它與靜定結(jié)構(gòu)相比具有較強(qiáng)的防護(hù)能力，安全性能較高．

超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形分布比較均勻．靜定結(jié)構(gòu)由于沒有多余約束，一般內(nèi)力分布范圍小，峰值大；剛度小、變形大．而超靜定結(jié)構(gòu)由于存在多余約束，與靜定結(jié)構(gòu)相比，其內(nèi)力分布范圍大，峰值小；且剛度大、變形?。虼顺o定結(jié)構(gòu)的整體性好，在局部荷載作用下可以減小局部的內(nèi)力幅值和位移幅值，使結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性都有所提高．

2.2.3 溫度變化及加工誤差對超靜定問題的影響

溫度的變化將會在超靜定結(jié)構(gòu)的構(gòu)件中引起“溫度應(yīng)力”．在實際工程中，桿件遇到溫度的變化，其尺寸將有微小變化．由于桿件受到互相制約而不能自由變形．對于兩端固定桿件，當(dāng)溫度升高△T 時，在桿內(nèi)引起溫度應(yīng)力為：

式中，E 為材料的彈性模量，而1α 則為材料的膨脹系數(shù)．加工構(gòu)件時，尺寸上的一些微小誤差是難以避免的．對于超靜定結(jié)構(gòu)，加工誤差卻往往要引起內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為裝配應(yīng)力，這與溫度應(yīng)力的形成是非常相似的．

由上述原因引起的自內(nèi)力一般與桿件的剛度成正比，故不應(yīng)盲目增大桿件截面尺寸，以期增強(qiáng)桿件抵抗能力．在設(shè)計制作超靜定結(jié)構(gòu)時一定要考慮到自應(yīng)力對結(jié)構(gòu)的影響，并且可以使用預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，主動利用自內(nèi)力調(diào)節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力．

3 超靜定問題的解題思路

3.1 選擇合適的靜定基

解除超靜定結(jié)構(gòu)的某些多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)為原結(jié)構(gòu)的靜定基本結(jié)構(gòu)，簡稱靜定基．

如圖1 去掉動鉸鏈的支撐，用一反約束力代替，這就形成了靜定基．然后再根據(jù)靜定基，尋找補(bǔ)充方程，就可求出反作用力，從而使超靜定問題得到解決．結(jié)構(gòu)中的靜定基并不唯一，求解時，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體特點選擇合適的靜定基．

圖1 靜定基

3.2 補(bǔ)充方程

前面已提到僅用平衡條件不能解出超靜定結(jié)構(gòu)的全部未知力，因此我們就要尋找補(bǔ)充方程．補(bǔ)充方程的求解方法大致分4 種：

3.2.1 位移比較法列變形協(xié)調(diào)方程

雖然結(jié)構(gòu)在力的作用下發(fā)生了變形，但有一些簡單的構(gòu)件變形后仍能找到保持某種協(xié)調(diào)一致的幾何關(guān)系，位移比較法就是在多余約束處尋找這種幾何關(guān)系，就得到了補(bǔ)充方程．前面已提到，超靜定結(jié)構(gòu)的求解與材料的剛度有關(guān)系，所以位移比較法還需通過力和變形之間的關(guān)系，利用胡克定律建立物理方程．這樣將所列出的平衡方程，變形協(xié)調(diào)方程和物理方程聯(lián)立求解[2]，便可求出全部未知力，從而使超靜定結(jié)構(gòu)問題得以解決．

3.2.2 用莫爾積分法列變形協(xié)調(diào)方程

莫爾積分法是指利用積分方法尋找繞度與彎矩之間的關(guān)系，由莫爾積分法列出的彎矩與繞度關(guān)系式即為莫爾定理．莫爾定理常用于輔助其它求解方法來解決超靜定問題．下式則為莫爾定理：

莫爾定理常用于輔助求解，如在下面的疊加法及正則方程解法中就會用到莫爾定理輔助求解．

3.2.3 用力法列變形協(xié)調(diào)方程

力法是指以未知力為基本未知量的求解方法，這也是超靜定結(jié)構(gòu)求解時最常用的方法之一．

3.2.3.1 疊加法列變形協(xié)調(diào)方程

疊加法屬于力法的一種，可以根據(jù)疊加原理解超靜定問題[3]．

圖2 疊加法

如圖2，梁的B 點繞度為零．取靜定基后可知，B 點的繞度為均勻載荷與支撐力X1迭加作用的結(jié)果．然后可以分別查表獲得均勻載荷q、支撐力X1與B 點繞度的關(guān)系式，聯(lián)力兩個關(guān)系式求出X1的值．

3.2.3.2 利用力法—正則方程求解變形協(xié)調(diào)方程

正則方程是指用標(biāo)準(zhǔn)化的形式來表示變形協(xié)調(diào)方程．還是以圖2 為例，對正則方程進(jìn)行說明．B 點繞度為零 Δ1=0．

由迭加原理可知

第一個下標(biāo)1 表示位移發(fā)生在X1的作用點，沿著X1的方向．第2個下標(biāo)X1(或F)表示是由多余反力X1和實際載荷F 引起的．

δ11表示X1=1 時，在X1的作用點，沿著X1的方向的位移．因為線彈性體，位移與力成正比，所以X1引起的B 點的位移為δ11的X1倍．

以上公式為一次超靜定的力法—正則方程，其中δ11和△1F的值可由莫爾積分求得．

上面介紹的是一次超靜定的力法—正則方程，另外還有高次正則方程，用于求解多次超靜定結(jié)構(gòu)．下式則為高次正則方程：

其中n 為靜不定次數(shù)， δij= δj?是位移互等定理．

4 超靜定問題解法舉例

例題 如圖3，EI 已知，求AB 兩鉸鏈的約束．

解 1) 取靜定基

如圖3 可以去除B 端的可動鉸支座的約束，將其用相應(yīng)的約束力(FB)代替，使梁的形變保持與原來相同的效果，也就是要取靜定基．

圖3 超靜定結(jié)構(gòu)

2) 列補(bǔ)充方程

由圖3 可見，B 端的撓度為零，可將其視為均布載荷引起的撓度fBq與未知支座反力fBF的迭加結(jié)果(如圖4)，其迭加撓度為FB，即：

圖4 疊加法

查表得力與形變間的物理關(guān)系[4]：

將其代入前式得：

由此解出多余約束反力：

3) 利用平衡方程和補(bǔ)充方程，求得其它支座反力．

5 結(jié)語

超靜定問題是工程力學(xué)中的一個難點，而且不同的求解方法穿插在不同的章節(jié)．實踐證明，如果采用以上方法，進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)歸納，將對學(xué)生掌握其內(nèi)容起到很好的促進(jìn)作用．

[1]劉智,戴少度,張向同.關(guān)于靜不定結(jié)構(gòu)求位移的證明[J].力學(xué)與實踐,1992(3):62.

[2]殷安琪.靜不定結(jié)構(gòu)解題分析[J].天津輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報,1997(2):85-88.

[3]王立新.彎曲中的靜不定問題[J].新疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報,2003(3):58-59.

[4]張秉榮.工程力學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005:28-32．