高 芳,魯世平

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

人口有增長傳染病模型的周期解

高 芳,魯世平

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

本文利用重合度理論和一些分析技巧討論了一類人口有增長傳染病模型, 得到了其周期解存在性的新結(jié)論.

人口增長；傳染?。恢芷诮?重合度

0 引 言

近幾十年來, 傳染病動力學(xué)的研究進(jìn)展迅速, 大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各種各樣的傳染病問題[1-5].如:研究具有暫時免疫傳染病帶有隔離的傳染?。痪哂忻}沖出生和脈沖接種的傳染?。痪哂写怪眰魅静〉鹊? 在討論傳染病模型時，一般多假設(shè)在所研究的區(qū)域內(nèi)，任何時間人口總數(shù)不變，即人口出生率與死亡率相等，而在文獻(xiàn)[6]中考慮了人口有增長的傳染病模型:

其中：S=S(t)表示t時刻易感冒者數(shù)目,I=I(t)表示t時刻染病者數(shù)目；R=R(t)表示t時刻消除者數(shù)目, 記t時刻總?cè)藬?shù)為N=N(t)=S(t)+I(t)+R(t),β>0為傳染率,r>0為移除率；a>0表示3類人共有的死亡率；α>0代表因傳染病而死亡的死亡率；v>0代表R類人免疫率的喪失率.

根據(jù)實際問題需要考慮環(huán)境變化的影響，則考慮下列非自治模型：

(1)

在此假設(shè)所有的變系數(shù)都是正ω周期函數(shù), 本文將利用重合度系統(tǒng)的正定理來討論系統(tǒng)(1)正ω周期解的存在性.

1 引 理

1) 對任意的λ∈(0,1)，x∈ ?Ω∩D(L),均有Lx≠λNx;

2) 對任意的x∈ KerL∩ ?Ω,均有QNx≠0;

為方便起見, 對連續(xù)的正Ω周期函數(shù)g(t),記gL=min[0,ω]g(t),gM=max[0,ω]g(t)

2 主要結(jié)果

證明令I(lǐng)(t)=eu1(t),R(t)=eu2(t),N(t)=eu3(t),則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

u1′(t)=-(α(t)+b(t)+r(t))+β(t)eu3(t)-β(t)eu1(t)-β(t)eu2(t),u2′(t)=r(t)eu1(t)-u2(t)-(b(t)+v(t)),

u3′(t)=(a(t)-b(t))-α(t)eu1(t)-u3(t),

(2)

分別定義算子

L:D(L)?X,Lu=u′,N:X→X,

其中X=Cω={u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈C(R,R3):u(t+ω)≡u(t)},記||u(t)||=max|u1(t)|+max|u2(t)|+max|u3(t)|,D(L)={u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈C(R,R3):u(t+ω)≡u(t)}?X,顯然X為Banach空間. 易見方程可以轉(zhuǎn)化為算子方程Lu=Nu.

記Ω1={u:u∈D(L)?Cω,Lu=λNu,λ∈(0,1)},?u∈Ω1,得

u1′(t)=λ[-(α(t)+b(t)+r(t))+β(t)eu3(t)-β(t)eu1(t)-β(t)eu2(t)],u2′(t)=λ[r(t)eu1(t)-u2(t)-(b(t)+v(t))],

u3′(t)=λ[(a(t)-b(t))-α(t)eu1(t)-u3(t)],

(3)

因為u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈X，所以存在ξi,ηiε[0,ω](i=1,2,3)使得

則顯然得到u1(ξ1)′=u1(η1)′=0，u2(ξ2)′=u2(η2)′=0，u3(ξ3)′=u3(η3)′=0,

由系統(tǒng)(3)的第一個式子得:

(α+b+r)L≤α(ξ1)+b(ξ1)+r(ξ1)=β(ξ1)eu3(ξ1)-β(ξ1)eu1(ξ1)-β(ξ1)eu2(ξ1),

所以

β(ξ1)eu1(ξ1)≤β(ξ1)eu3(ξ1)-β(ξ1)eu2(ξ1)-(α+b+r)L≤β(ξ1)eu3(ξ1)≤βMeu3(ξ3),

所以

(4)

再由系統(tǒng)(3)的第二個式子得:(b+v)L≤b(ξ2)+v(ξ2)=r(ξ2)eu1(ξ2)-u2(ξ2)≤rMeu1(ξ1)-u2(ξ2),

則

(b+v)Leu2(ξ2)≤rMeu1(ξ1),

(5)

又因為由系統(tǒng)(3)得:(a-b)L≤a(ξ3)-b(ξ3)=α(ξ3)eu1(ξ3)-u3(ξ3)≤αMeu1(ξ1)-u3(ξ3),

則

eu3(ξ3)(a-b)L≤αMeu1(ξ1).

(6)

再將(6)代入(4)有

(7)

由(5)(6)有

(8)

同理：

(α+b+r)L≤α(η1)+b(η1)+r(η1)=β(η1)eu3(η1)-β(η1)eu1(η1)-β(η1)eu2(η1)≤β(η1)eu3(η1)+β(η1)eu1(η1)+β(η1)eu2(η1)≤βMeu3(ξ3)+βMeu1(η1)+βMeu2(ξ2)=βM(R2+R3)+βMeu1(η1),

βMeu1(η1)≥(α+b+r)L-βM(R2+R3),

(9)

同理

(b+v)Meu2(η2)≥rLeu1(η1),

則

(10)

同理

(11)

由(7)-(11)知

u1(ξ1)≤lnR1,u2(ξ2)≤lnR2,u3(ξ3)≤lnR3,u1(η1)≥lnL1,u2(η2)≥lnL2,u3(η3)≥lnL3,

則對任意t∈[0,ω],有|ui(t)|

在定理1的條件成立時, 代數(shù)方程組

令Ω={u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈X,||u(t)||

當(dāng)u∈?Ω∩KerL時u是一個常向量, 且||u||=B,所以QNu≠0.

另一方面令J:ImQ→KerL滿足J(u)=u,作同論φ(u,μ)=-μu+(1-μ)JQNu,μ∈[0,1], 則有

deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0, 所以由定理知系統(tǒng)存在ω周期解.

[1] Li Jianquan, Ma Zhien. Qualitative analyses of SIS epidemic model with Vaccination and Varying total Population Siza [J].Mathematical and Computer,2002,35(11-12):1235-1243.

[2] Hwthcote H W.The Mathematics of infentius diseases [J]. SIAM Review,2000,42(4):599-653.

[3] Song Xinyu, Wang Shaoli. Stability properties and Hopf bifurcation of a delayed viral infection model with lytic immune response[J]. J Math Anal Appl,2010,373(2):345-355.

[4] Kuang Yang. Delay differential equation with applications in population dynamics[M]. New York:A cademicpress,1993.

[5] 李武,林師仲.具有外來感染者和急慢性階段流行病模型的周期解[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2009,39(8):101-105.

[6] 岳錫亭，潘家齊.人口有增長傳染病模型的定性分析[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2003,24(3):1-4.

PeridicSolutionsofPopulationGrowthEpidemicModel

GAO Fang, LU Shiping

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

This paper studied a class of population growth epidemic model by means of an continuation degree theorem and some analysis methods, and obtained new results on the existence of periodic solutions.

population growth; epidemic model; peridic solutions; coincidence degree

2012-10-22

教育部科研基金項目(207047);安徽省應(yīng)用數(shù)學(xué)重點學(xué)科基金項目(2009-2014).

魯世平(1962—),男,教授,博士,主要從事泛函分析研究. E-mail:lushiping26@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.02.008

O175.1MSC201034K13;34K60

A

1674-232X(2013)02-0128-03