楊紀華

具時滯正交切削顫振模型的穩(wěn)定性與Hopf分支分析

楊紀華

(寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，寧夏，固原 756000)

研究了具時滯正交切削系統(tǒng)模型。從對系統(tǒng)線性化方程的特征方程根的分布分析入手，討論了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，確定了系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性區(qū)域，發(fā)現(xiàn)當系統(tǒng)中的時滯經(jīng)過一系列臨界值時，系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支，并發(fā)現(xiàn)當時滯較大時，系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌吸引子。最后，數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)構(gòu)的正確性。

時滯；穩(wěn)定性；Hopf分支；混沌

1 模型與引理

在金屬切削過程中，工件與刀具之間常常發(fā)生強烈的顫振，顫振不僅對加工表面光潔度、加工精度產(chǎn)生不利影響，而且還會損壞機床的主軸和刀具，使生產(chǎn)率下降。在實踐中，要達到較高的材料去除率和加工質(zhì)量，切削加工過程必須在穩(wěn)定的狀態(tài)下進行。因此，長期以來許多學(xué)者都致力于機械加工顫振理論的研究，以求揭示其機理，掌握其規(guī)律，從而加以控制和利用[1-2]。

早在上世紀六十年代，Koenigsberger和Tlusty就用正交切削模型對切削的穩(wěn)定性進行分析[3]。近年來此方面的研究更多，Wan Min等人在文獻[4]中提出了預(yù)測多時滯切削過程穩(wěn)定性的的一個統(tǒng)一的方法。在文獻[5]中，作者研究了正交切削模型顫振的全局動力學(xué)行為。在文獻[6]中，作者對圓柱形磨削加工模型進行了穩(wěn)定性和分支分析，并探討了其非線性顫振行為。本文研究的正交顫振穩(wěn)定性模型為[7]

它的兩個根為

引理 2

平方相加可得

進而可得

因此，

令

令

引理3

從而

其中

其中

由本文引理1-4和文獻[9]中第十一章的定理1，可以得到下面關(guān)于系統(tǒng)(2)的平衡點的穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性定理。

定理1

2 數(shù)值模擬

進而可得

圖1 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

圖2 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

圖3 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

圖4 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

圖5 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

圖6 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

圖7 當時，系統(tǒng)(2)波圖和相圖

3 結(jié)論

本文研究了具時滯正交切削系統(tǒng)顫振的數(shù)學(xué)模型，通過特征值方法對該系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析，得出了判斷此類系統(tǒng)的平衡點穩(wěn)定性的充分條件，給出了系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性區(qū)域和Hopf 分支的存在條件，并發(fā)現(xiàn)當時滯較大時，系統(tǒng)出現(xiàn)可混沌現(xiàn)象。最后通過數(shù)值模擬驗證理論的正確性。利用得到的基本定理，能很好地判斷此類機床顫振系統(tǒng)平衡點的漸近穩(wěn)定性和周期軌的存在性，而且能夠為機床顫振系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供更為精確的計算方法，為機床的改進設(shè)計提供理論依據(jù)。因此本文研究結(jié)果具有一定的現(xiàn)實意義。

[1] Xie Q, Zhang Q, Han J. Hopf bifurcation for delay differential equation with application to machine tool chatter[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012,36:3803-3812.

[2] 趙敏德. 非線性顫振系統(tǒng)的分岔與混沌[D]. 天津：天津大學(xué)，2009.

[3] Koenigsberger F, Tlusty J. Machine Tool Structure—vol. I:Stability Against Chatter[M]. Pergamon:Pergamon Press,1967.

[4] Wan Min, Zhang Weihong, Dang Jianwei. A unified stability prediction method for milling process with multiple delays[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2010,50:29-41.

[5] Zoltan D, David A W, Eddie W. On the global dynamics of chatter in the orthogonal cutting model[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2011,46:330-338.

[6] Pilkee kim, Jeeyun Jung, Sooyoung Lee. Stability and bifurcation analyses of chatter vibrations in a nonlinear cylindrical traverse grinding process[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013,332: 3879-3896.

[7] Merritt H E. Theory of self-excited machine Tool chatter[J]. Trans. ASME Journal of Engineering for Industry, 1965,87:447-454.

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[9] Hale J K, Lunel S V. Introduction to functional differential equation[M]. New York:Springer- Verlag,1993.

Stability and Hopf bifurcation analysis of orthogonal cutting model with time delay

YANG Ji-hua

(Department of Mathematics and Computer Science Ningxia Teachers University, Guyuan, Ningxia 756000, China)

The mathematical model of orthogonal cutting model with time delay is studied. The stability of the equilibrium is discussed by analyzing the characteristic equation of the linearized system of original system at the equilibrium. The regions of linear stability of equilibrium are given. It is found that Hopf bifurcation exist when the delay passes through a sequence of critical values and the chaos occurs when delay increase further. Finally, some numerical simulations are carried out for supporting the analytic results.

time delay; stability; Hopf bifurcation; chaos

O175.14

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.06.002

1674-8085(2013)06-0006-06

2013-09-04；

2013-10-16

寧夏自然科學(xué)基金項目(NZ132013);寧夏師范學(xué)院創(chuàng)新團隊項目(zy201207);寧夏師范學(xué)院本科教學(xué)工程項目(JXGC2012B01)

楊紀華(1983-)，男，河南周口人，講師，碩士，主要從事微分方程的穩(wěn)定性與分支理論研究(E-mail: jihua1113@163.com).