高松云, 劉名生

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

高松云, 劉名生*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

利用算子δ,,lp,α,βf(z)的性質(zhì)研究了多葉解析函數(shù)子類δ,,l,ξ,Ap,α,β,γ,B的一些性質(zhì)，得到子類δ,,l,ξ,Ap,α,β,γ,B的充分條件、從屬關(guān)系、包含關(guān)系、卷積性質(zhì)和不等式性質(zhì).

多葉解析函數(shù); 微分從屬; Hadamard乘積或者卷積

(1)

的函數(shù)f所成的函數(shù)類. 如果f由式(1)定義,g定義如下

(2)

那么f和g的卷積定義為：

令f(z)和g(z)在單位圓盤U內(nèi)解析.稱f(z)從屬于g(z),記作在U上f(z)g(z)或f(z)g(z) (zU),如果存在解析函數(shù)w(z)且滿足在zU上有以及f(z)=g(w(z))成立.

2007年,SRIVASTAVA和ATTIYA[1]提出算子:

(,

2010年,CHO等[2]推廣了Srivastava-Attiya算子:

(,

2007年，CATAS[3]提出算子:

其中的冪函數(shù)取主值，下面應(yīng)用這一約定.

顯然，當α=β=1,δ,,l≥0時，δ,v,lp,α,βf(z)退化為Catas算子；當p=α=β==1時，δ,,lp,α,βf(z)退化為Srivastava-Attiya算子；當α=β==1時，δ,,lp,α,βf(z)退化為CHO等[2]推廣的Srivastava-Attiya算子.

(3)

先給出證明本文的主要結(jié)果需用到的引理.

引理1[6]設(shè)函數(shù)h(z)在單位圓盤U內(nèi)單葉解析且h(0)=1,k(z)在單位圓盤解析且有如下的定義方式

k(z)=1+cnzn+cn+1zn+1+…

如果

(4)

那么

k(z)h(z),

引理2[7]設(shè)函數(shù)φ(z)是U內(nèi)的凸函數(shù)，且h(0)=1,(βφ(z)+γ)>0.如果函數(shù)p(z),q(z)滿足以下的微分從屬關(guān)系：

q(z)φ(z),

那么p(z)φ(z)(zU).

f(z)+(1-)g(z)F(z) (0≤≤1).

p(z)=1+anzn+an+1zn+1+…

和

p(z),

這里

如果q(z)在U內(nèi)解析,且與p(z)具有同樣形式的Taylor展開式,并滿足

p(z)[1-δ+δ((1-ρ)q(z)+ρ)]1+Mz,

下面給出本文的主要結(jié)果及其證明.

(5)

證明定義函數(shù)P(z)如下：

(6)

則P(z)在單位圓盤U內(nèi)解析且P(0)=1. 對式(6)兩邊求對數(shù)導(dǎo)數(shù)得

(7)

根據(jù)引理1,得

注1 當α+βl==p=1時,由定理1可得到文獻[10]中的定理1.

(8)

證明由式(8),可設(shè)

(9)

這里h(z)是U內(nèi)的正實部函數(shù). 對式(9)兩邊求對數(shù)導(dǎo)數(shù)，得到

(1-ρ)

(1-ρ),

(10)

應(yīng)用幾何函數(shù)論中的基本定理得

由式(10)可以得到

(11)

□

(12)

(13)

其中w(z)在U內(nèi)解析,且w(0)=0,|w(z)|<1. 由上式和定義1易得

(14)

所以得到式(12),證畢.

□

定理4 設(shè)ξ2≥ξ1≥0,-1≤B1≤B2

δ,,l,ξ2,A2p,α,β,γ,B2?δ,,l,ξ1,A1p,α,β,γ,B1.

(15)

因為-1≤B1≤B2

(16)

由定理1和式(16)，可得

(17)

同時

(18)

□

注2 當α+βl==p=1時，由定理4 可得到文獻[10]中的定理3.

最后導(dǎo)出一個不等式性質(zhì)和星像函數(shù)的一個充分條件.

那么

.

(19)

函數(shù)P(z)定義如式(6),由定理1，得

P(z)

令

則式(19)可以化簡為

P(z){(1-ξ)+ξ[(1-ρ)q(z)+ρ]}1+Az(zU).

(20)

(21)

由

(22)

得到

.

□

δ,,lp,α,βf(z)S*.

證明因為δ+1,,lp,α,βf(z)S*，可得

.

由式(22)得

其中

.

□

[1] SRIVASTAVA H M,ATTIYA A A. An intergral operator associated with the Hurwitz-lerch zeta function and differential subordination[J]. Intergral Transforms Spec Funct, 2007, 18:207-216.

[2] CHO N E, KIM I C, SRIVASTAVA H M. Sandwich-type theorems for multivalent functions associated with the Srivatava-Attiya Operator[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 217: 918-928.

[3] CATAS A. On certain classes of p-valent functions defined by multiplier transfor[C]∥International Symposium on Gemetry Function Theory and Applications, Istanbul, 2007.

[4] CATAS A,OROS G I,OROS G. Differential subordinations associated with multiplier transformation[J]. Abst Appl Anal, 2008: Art 845724, 11pp.

[5] CATAS A.Neighborhoods of certain class of analytic functions with negative coefficients[J]. Banach J Math Anal, 2009(3):111-121.

[6] MILLER S S,MOCANU P T. Differential subordination:Theory and applications[M]. New York, Basel: Marcel Dekker Incorporated, 2000.

[7] PADMANABHAN K S,PARVATHAM R. Some applications of differential subordination[J]. Bull Austral Math Soc, 1985, 32: 321-330.

[8] 劉名生. 關(guān)于某類解析函數(shù)[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2002(4):15-20.

[9] LIU Mingsheng. On the starlikeness for certain subclass of analytic functions and a problem of Ruscheweyh[J].數(shù)學(xué)進展, 2005, 34(4): 416-424.

[10] LIU Mingsheng. On certain subclass of analytic functions defined by differential subordination[J]. Acta Math Scientia:Ser B, 2002, 22(3):388-392.

Keywords：multivalentanalyticfunction;differentialsubordination;Hadamardproduct(orconvolution)

PropertiesofSubclassofMultivalentAnalyticFunctionsDefinedbytheOperatorδ,,lp,α,β

GAOSongyun,LIUMingsheng*

(SchoolofMathematicalSciences,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

Some properties for a certain subclassδ,,l,ξ,Ap,α,β,γ,Bofmultivalentfunctionsdefinedbythecertainoperatorδ,,lp,α,βf(z)areinvestigated.Suchresultsassufficientconditions,subordinationrelations,inclusionrelationships,convoltionpropertiesandinequalitypropertiesareproved.

2012-04-24

教育部博士點基金項目(20050574002)

*通訊作者:劉名生，教授，Email: liumsh@scnu.edu.cn.

1000-5463(2013)05-0019-04

O174.51

A

10.6054/j.jscnun.2013.07.004

【中文責編：莊曉瓊 英文責編：肖菁】