嚴(yán) 琴,李開(kāi)燦 (湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

含位置參數(shù)伽瑪分布的特征函數(shù)和參數(shù)估計(jì)

嚴(yán) 琴,李開(kāi)燦 (湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

研究了含位置參數(shù)的伽瑪分布的特征函數(shù)和參數(shù)估計(jì)，其中參數(shù)估計(jì)包括3個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)以及當(dāng)形狀參數(shù)和位置參數(shù)為已知時(shí)求得尺度參數(shù)的極大似然估計(jì)具有無(wú)偏性和有效性，同時(shí)還研究了兩伽瑪分布之間的Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離。

伽瑪分布；Kullback-Leibler距離；Pearson-χ2距離；參數(shù)估計(jì)

1 含位置參數(shù)的伽瑪分布及其性質(zhì)

(ert)(n-m)=rn-mert[(1-βt)-α](m)=βmα(α+1)…(α+m-1)(1-βt)-α-m

故：

推論1該伽瑪分布的期望和方差分別為EX=αβ+r,DX=αβ2。

證明對(duì)定理1中的結(jié)論，令n=1,n=2可得E(X)=αβ+r,DX=E(X2)-E2(X)=αβ2。

定理2若隨機(jī)變量ξ～G(α1，β，r),η～G(α2,β,r)均為伽瑪分布，則隨機(jī)變量ζ=ξ+η同樣服從伽瑪分布，且ζ～G(α1+α2,β,2r)。

證明設(shè)ξ,η和ζ的概率密度函數(shù)分別為pξ(x)，pη(y),pζ(z),當(dāng)z≤2r時(shí)，pζ(z)=0，當(dāng)z>2r時(shí)：

故ζ～G(α1+α2,β,2r)。

注：可加性是對(duì)于形狀參數(shù)的可加，對(duì)于位置參數(shù)只是近似的可加，而對(duì)于它是否也具有可加性有待于進(jìn)一步的驗(yàn)證。

2 特征函數(shù)和參數(shù)估計(jì)

定理3若ξ～G(α，β，r)，則ξ的特征函數(shù)為φ(t)=eitr(1-itβ)-α。

推論2若隨機(jī)變量ξ～G(α1,β,r1),η～G(α2,β,r2)均為伽瑪分布，則隨機(jī)變量ζ=ξ+η同樣服從伽瑪分布，且ζ～G(α1+α2,β,r1+r2)。

證明通過(guò)定理3可以得到ξ和η的特征函數(shù)分別為：

φξ(t)=eitr1(1-itβ)-α1φη(t)=eitr2(1-itβ)-α2

故ζ的特征函數(shù)為φζ(t)=φξ(t)·φη(t)=eit(r1+r2)(1-itβ)-α1+α2。由于隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定，故可以得到結(jié)論。

注：通過(guò)研究該伽瑪分布的特征函數(shù)，可以得到該伽瑪分布在尺度參數(shù)不變的條件下，對(duì)于形狀參數(shù)和位置參數(shù)都具有可加性。

定理4設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是總體G(α,β,r)的樣本，則參數(shù)α,β,r的矩估計(jì)為：

由定理4發(fā)現(xiàn)，含3個(gè)參數(shù)的伽瑪分布的矩估計(jì)比較復(fù)雜，對(duì)于其矩估計(jì)的性質(zhì)有待于進(jìn)一步研究。尺度參數(shù)在伽瑪分布中具有特殊重要的意義，因此重點(diǎn)分析尺度參數(shù)的極大似然估計(jì)。

證明設(shè)子樣ξ1,ξ2,…,ξn的聯(lián)合概率函數(shù)在ξi取已知觀測(cè)值xi,i=1,…,n時(shí)f(x1;β)f(x2;β)…f(xn;β)是β的函數(shù)，用L(β)=L(β;x1,x2,…,xn)表示子樣的似然函數(shù)：

3 伽瑪分布的Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離

通常為了比較2個(gè)密度函數(shù)的差異性，利用Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離等距離概念來(lái)刻畫(huà)，而文獻(xiàn)[1]研究了Pearson-χ2距離的一些性質(zhì)，文獻(xiàn)[2]研究了幾個(gè)重要分布的Pearson-χ2距離，文獻(xiàn)[3]則研究了一些分布的Kullback-Leibler距離。在此筆者研究伽瑪分布的這2個(gè)距離。

定理6設(shè)f(x)是伽瑪分布G(α1,β1,r)的密度函數(shù)，g(x)是伽瑪分布G(α2,β2，r)的密度函數(shù)，且0<α1<2α2，2β1≠β2，則：

證明由距離公式的定義得：

其中:

定義3設(shè)隨機(jī)變量ξ,η分別具有密度函數(shù)f(x)，g(x)并設(shè)g(x)>0，則f(x),g(x)之間的Kullback-Leibler距離定義為:

定理7設(shè)f(x)是伽瑪分布G(α1,β1,0)的密度函數(shù)，g(x)是伽瑪分布G(α2,β2,0)的密度函數(shù)，且α1,α2>1，則f(x)到g(x)的Kullback-Leibler距離為：

證明由Kullback-Leibler距離定義得：

所以:

當(dāng)α1,α2>1時(shí)，由引理1,可得:

[1]李開(kāi)燦. Pearson-χ2距離的若干性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2003,33(1):49-53.

[2] 陳光曙,朱成蓮.幾個(gè)重要分布的Pearson-χ2最大距離及其漸進(jìn)性[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,29(5):417-419.

[3] 陳曉東.幾種常見(jiàn)分布的Kullback-Leibler距離[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009, 8(4):279-283.

[4]Robert G O, Shau S K. Updating Schemes.Correlation St ructure, Blocking and Parameterization for the Gibbs Sampler [J]. J R Statist Soc B, 1997, 59:2912317.

[5]Liu S J,Wong W H, Kong A. Correlation St ructure and Convergence Rate of the Gibbs Sampler with Var i2 ous Scans [J]. J R Statist Soc B, 1995, 57:1572169.

[6] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2008.

2012-11-26

湖北教育廳科技重點(diǎn)項(xiàng)目(D20112503)。

嚴(yán)琴(1989-)，女，碩士，現(xiàn)主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

O212

A

1673-1409(2013)04-0007-03

[編輯] 洪云飛