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        利用三角形中一個平面向量定理解題

        2013-10-27 01:20:03
        關(guān)鍵詞:預(yù)賽高級中學(xué)聯(lián)賽

        ●高 召

        (三門峽市第一高級中學(xué) 河南三門峽 472000)

        利用三角形中一個平面向量定理解題

        ●高 召

        (三門峽市第一高級中學(xué) 河南三門峽 472000)

        定理若P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),SB,SC,S分別表示△APC,△APB,△ABC的面積,則

        1 定理的證明

        證明如圖1,當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB,AC上時,過點(diǎn)P分別作AC和AB的平行線,交AB和AC于點(diǎn)D,E,則

        當(dāng)點(diǎn)P在直線AB或AC上時,容易驗證結(jié)論也成立.

        圖1 圖2

        2 定理的應(yīng)用

        例1

        ( )

        (2006年陜西省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題)

        ( )

        (2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

        分析記△ABC,△BOC,△COA,△AOB的面積分別為S,SA,SB,SC,由定理得

        (2005年中國奧林匹克選拔賽試題)

        證明記△ABC的面積為S,由定理得

        于是

        圖3 圖4

        (2006年吉林省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題)

        分析借助例3的結(jié)論可得

        SA∶SB∶SC=3∶4∶5,

        于是

        S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=5∶3∶4.

        3 定理的推論

        當(dāng)點(diǎn)P分別為△ABC的重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心時,能導(dǎo)出一組結(jié)構(gòu)優(yōu)美的結(jié)論.

        推論在△ABC中,設(shè)∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則

        (1)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的重心G時,

        (2)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心I時,

        (3)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的外心O時,

        (4)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的垂心H時,

        (5)當(dāng)點(diǎn)P分別為∠A,∠B,∠C內(nèi)的旁心Ia,Ib,Ic時,

        證明(1)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的重心G時,

        代入定理可知推論(1)成立.

        (2)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心I時,

        代入定理可知推論(2)成立.

        (3)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的外心O時,

        代入定理可知推論(3)成立.

        (4)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的垂心H時,

        同理可得

        代入定理可知推論(4)成立.

        (5)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的∠A內(nèi)的旁心Ia時,設(shè)其旁切圓半徑為ra,因為

        所以

        代入定理可得

        當(dāng)點(diǎn)P分別為△ABC的內(nèi)的∠B,∠C旁心Ib,Ic時,同理可證其他兩式成立.

        從而

        從而

        因此

        由推論(3)得

        分析在等腰△ABC中,由AB=AC=5,BC=8,得

        從而

        由推論(4)得

        綜上可知,對于涉及到三角形面積的向量問題,靈活合理地使用上述定理或推論,可以使問題的解決更簡單流暢.

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