管賢根， 管 杰

（1. 巢湖市農(nóng)委，安徽 巢湖 238000；2. 北京邦天信息技術(shù)有限公司，北京 100086）

家禽的卵（蛋）是人們喜愛的食物，它的縱截面形狀，習(xí)慣上稱為卵圓。盡管人們對(duì)卵圓的直觀認(rèn)識(shí)由來已久，至今未能對(duì)卵圓有一個(gè)明確的描述和定義，對(duì)圓形的認(rèn)識(shí)，仍然停留在圓[1]和橢圓[2]階段。

圓是一個(gè)焦點(diǎn)，稱做圓心，橢圓是兩個(gè)焦點(diǎn)。從焦點(diǎn)數(shù)目和圖形的角度分析，增加一個(gè)焦點(diǎn)，使圓變扁形成了橢圓。卵圓與橢圓類似，若能通過增加焦點(diǎn)數(shù)目使橢圓變形，完全有可能得到卵圓。由此聯(lián)想提出多焦點(diǎn)圓概念，應(yīng)用多焦點(diǎn)圓的原理和方法，探討對(duì)橢圓和卵圓的圖形特征與性質(zhì)的基本認(rèn)識(shí)。為圖形設(shè)計(jì)和相關(guān)學(xué)科研究提供新的方法。

1 多焦點(diǎn)圓概念

與圓和橢圓的焦點(diǎn)數(shù)目相比較，多焦點(diǎn)圓是泛指兩個(gè)及其以上焦點(diǎn)數(shù)目圓的總稱，是圓和橢圓概念的擴(kuò)展。相同參數(shù)不同焦點(diǎn)數(shù)和焦點(diǎn)形狀多焦點(diǎn)圓的圖形特征，見圖1。

圖1 多焦點(diǎn)圓示意圖

1.1 多焦點(diǎn)圓定義

為便于對(duì)多焦點(diǎn)圓、橢圓和圓的統(tǒng)一描述，引用相關(guān)術(shù)語。

1） 定點(diǎn)：平面內(nèi)的已知點(diǎn)或固定點(diǎn)。

2） 焦點(diǎn)環(huán)線：環(huán)繞定點(diǎn)一周最短的環(huán)形線，用L0表示。

3） 焦點(diǎn)多邊形：焦點(diǎn)環(huán)線形成的幾何圖形。

4） 焦點(diǎn)：焦點(diǎn)多邊形頂點(diǎn)的定點(diǎn)。

5） 環(huán)線：動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)多邊形所形成的環(huán)形線，用L表示。

有了圖1和術(shù)語，可以對(duì)多焦點(diǎn)圓作初步的描述，把多焦點(diǎn)圓看作是以焦點(diǎn)多邊形為“圓心”，環(huán)線為“半徑”的“圓”。

多焦點(diǎn)圓定義：平面內(nèi)，與n個(gè)定點(diǎn)間形成的環(huán)線長為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱做多焦點(diǎn)圓。定點(diǎn)間的環(huán)線形狀稱做焦點(diǎn)多邊形，頂點(diǎn)稱做焦點(diǎn)，焦點(diǎn)多邊形是多焦點(diǎn)圓的基本屬性。

1.2 多焦點(diǎn)圓的特征特性

1.2.1 環(huán)線比值(k)

環(huán)線長和焦點(diǎn)環(huán)線長的比值k為無單位量，是多焦點(diǎn)圓的形狀特征和屬性的參數(shù)。表達(dá)式為：

環(huán)線比值(k)在對(duì)稱多焦點(diǎn)圓的圖形與參數(shù)和特征參數(shù)分析中，起到重要作用。

1.2.2 多焦點(diǎn)圓的曲線

圓周曲線是由環(huán)線和焦點(diǎn)所確定的多條不同的橢圓曲線，通過相切連接形成的凸閉合光滑曲線。選擇適合的坐標(biāo)系，各段橢圓曲線根據(jù)參數(shù)均可建立對(duì)應(yīng)的橢圓方程，能夠?qū)D形作具體分析。

1.2.3 多焦點(diǎn)圓的圖形

多焦點(diǎn)圓是有規(guī)則的凸閉合曲線圖形。環(huán)線、焦點(diǎn)數(shù)目和形狀是多焦點(diǎn)圓的基本參數(shù)，確定多焦點(diǎn)圓的圖形特征如：圖形的大、小；形狀的長、扁和對(duì)稱性等。焦點(diǎn)多邊形具有形和量的變化特征，參數(shù)的任何一項(xiàng)變化，都會(huì)引起圖形的相應(yīng)變化，屬于多參數(shù)圖形。

1.3 多焦點(diǎn)圓的類型

盡管多焦點(diǎn)圓有多種不同的形狀，根據(jù)圖形特征，分為對(duì)稱和非對(duì)稱兩類。

1.3.1 對(duì)稱多焦點(diǎn)圓

焦點(diǎn)多邊形為對(duì)稱幾何圖形的多焦點(diǎn)圓稱為對(duì)稱多焦點(diǎn)圓。對(duì)稱多焦點(diǎn)圓具有對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸數(shù)目進(jìn)一步分為3種類型：

1） 一條對(duì)稱軸多焦點(diǎn)圓——卵形曲線

焦點(diǎn)多邊形為等腰三角形、紡錘形（一條對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)稱邊相等的四邊形）、等腰梯形和其他具有一條對(duì)稱軸圖形的多焦點(diǎn)圓，圖形類似家禽和鳥類卵的形狀，稱為卵形曲線。規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的卵形曲線稱為普通卵圓；具有形成圖形內(nèi)在規(guī)律的卵圓稱為標(biāo)準(zhǔn)卵圓。根據(jù)焦點(diǎn)形狀和數(shù)目命名。

2） 兩條對(duì)稱軸多焦點(diǎn)圓——橢圓形曲線

焦點(diǎn)多邊形為線形、棱形、長方形、六邊形等具有兩條對(duì)稱軸圖形的多焦點(diǎn)圓稱為橢圓形曲線。規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形曲線稱為普通橢圓，具有形成圖形內(nèi)在規(guī)律的橢圓稱為標(biāo)準(zhǔn)橢圓，根據(jù)焦點(diǎn)形狀和數(shù)目命名。

3） 三條及其以上對(duì)稱軸多焦點(diǎn)圓——多軸圓

焦點(diǎn)為正多邊形的多焦點(diǎn)圓有多條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸數(shù)與焦點(diǎn)正多邊形的邊數(shù)相同；重心在中點(diǎn)，類似于圓的圓心，屬于規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)曲線圖形，故稱為多軸圓，根據(jù)正多邊形命名。

1.3.2 非對(duì)稱多焦點(diǎn)圓

焦點(diǎn)多邊形為非對(duì)稱幾何圖形的多焦點(diǎn)圓，稱為非對(duì)稱多焦點(diǎn)圓。如焦點(diǎn)為任意三角形、任意四邊形以及其他沒有對(duì)稱軸多邊形的多焦點(diǎn)圓。非對(duì)稱性多焦點(diǎn)圓圖形復(fù)雜，沒有確定的外部特征，大部分多焦點(diǎn)圓屬于這一類。

對(duì)稱多焦點(diǎn)圓具有獨(dú)特的外部特征——長、寬和半軸（寬與對(duì)稱軸交點(diǎn)將對(duì)稱軸分為上、下不相等的半軸，長的半軸簡稱為半軸下同），外部特征值稱為特征參數(shù)。為了方便敘述，把對(duì)稱多焦點(diǎn)圓簡稱為多焦點(diǎn)圓（下同）。

1.4 多焦點(diǎn)圓作圖

根據(jù)多焦點(diǎn)圓定義，介紹一種簡易的針線作圖方法：（1）自制能縮、放的環(huán)形線、大頭針、直尺和筆。（2）在作圖平面上作出已知點(diǎn)或多邊形。（3）將大頭針分別直立、固定在已知點(diǎn)或多邊形的頂點(diǎn)上；（4）將符合長度的環(huán)形線套在大頭針外，畫筆由內(nèi)向外拉直環(huán)線移動(dòng)一周。

針線作圖屬于連續(xù)移動(dòng)的基本作圖方法，適合圓和橢圓的作圖和施工放樣，作圖軟件有待開發(fā)。

1.5 分析方法

多焦點(diǎn)圓的環(huán)線（L）和焦點(diǎn)多邊形的參數(shù)稱為參數(shù)；反映圖形特征的長、寬和半軸稱為特征參數(shù)?？梢詮膮?shù)和特征參數(shù)兩方面，分析多焦點(diǎn)圓的圖形特征。

1.5.1 參數(shù)分析

根據(jù)已知參數(shù)值，建立參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系式，對(duì)多焦點(diǎn)圓作以下 5個(gè)方面分析：（1） 計(jì)算對(duì)稱多焦點(diǎn)圓的特征參數(shù)（長、寬、和半軸）。（2） 計(jì)算周長（近似值）、面積。（3） 建立各弧段的橢圓方程。（4） 多焦點(diǎn)圓作圖（只有參數(shù)方可作圖）。（5） 多焦點(diǎn)圓的圖形設(shè)計(jì)。

1.5.2 特征參數(shù)分析

根據(jù)對(duì)稱多焦點(diǎn)圓的特征參數(shù)求解參數(shù)，再由所求的參數(shù)對(duì)多焦點(diǎn)圓作參數(shù)分析。由于多焦點(diǎn)圓的參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系的復(fù)雜性，難以直接解出參數(shù)值。通過建立多焦點(diǎn)圓的參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系式，采用參數(shù)模擬計(jì)算方法，能夠?qū)?個(gè)焦點(diǎn)以內(nèi)的對(duì)稱多焦點(diǎn)圓的參數(shù)求解。

不同環(huán)線長、焦點(diǎn)數(shù)和焦點(diǎn)多邊形的多焦點(diǎn)圓，表現(xiàn)出獨(dú)特的圖形特征。橢圓、卵圓和多軸圓屬于不同對(duì)稱軸數(shù)的對(duì)稱多焦點(diǎn)圓，對(duì)于人們認(rèn)識(shí)自然和國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)具有重要意義。應(yīng)用多焦點(diǎn)圓的原理和方法進(jìn)行分析，使我們對(duì)各種對(duì)稱多焦點(diǎn)圓，有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)。

2 橢 圓

橢圓的圖形特征是：具有兩條對(duì)稱軸，兩個(gè)特征參數(shù)（長和寬），規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線。具有形成規(guī)律的橢圓稱為標(biāo)準(zhǔn)橢圓。根據(jù)對(duì)具有兩條對(duì)稱軸的多焦點(diǎn)圓圖形分析，線形兩焦點(diǎn)和棱形四焦點(diǎn)橢圓是兩種類型的標(biāo)準(zhǔn)橢圓，見圖2。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)橢圓示意圖

2.1 兩焦點(diǎn)橢圓

兩焦點(diǎn)橢圓是由圓錐曲線理論確立的內(nèi)在規(guī)律，定義是：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)間的距離和為常數(shù)（常數(shù)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。

以多焦點(diǎn)圓方法兩焦點(diǎn)橢圓的定義是：平面內(nèi)，與已知(AD)線段間形成的環(huán)線長為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為橢圓。線段的兩個(gè)端點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，線段是橢圓的基本屬性。

兩種定義的圖形完全一致，只是參數(shù)不同。環(huán)線長L=FD+FA+AD=2a+2c（a：長半軸、c：焦距），焦點(diǎn)環(huán)線長L0=2·AD=4c。兩種定義的參數(shù)關(guān)系式：多焦點(diǎn)圓定義中包含焦距，焦距為線段，是焦點(diǎn)環(huán)線的形狀，是橢圓的基本參數(shù)。焦點(diǎn)環(huán)線為線段和多邊形同樣具有兩種屬性：（1）計(jì)量屬性，線段可測量和計(jì)算，能夠?qū)E圓進(jìn)行具體分析；（2）圖形屬性，線段是幾何圖形，能夠利用焦點(diǎn)環(huán)線的變形，衍生出各種不同的圖形。標(biāo)準(zhǔn)橢圓能夠根據(jù)形成原理建立參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系，對(duì)圖形進(jìn)行具體分析。

2.1.1 橢圓曲線性質(zhì)

線形兩焦點(diǎn)橢圓是規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線圖形，曲線上的曲率呈現(xiàn)有規(guī)律的變化。不同橢圓的曲線弧段，通過相切連接形成獨(dú)特的組合曲線和圖形。把與橢圓曲線和圖形類似，不含有收縮和擴(kuò)張弧段的協(xié)調(diào)、勻稱的橢圓組合曲線和圖形，稱為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的曲線和圖形。其主要特征：

1） 兩條（或多條）橢圓曲線相切連接形成的組合曲線是光滑曲線，見圖3。

圖3 橢圓組合曲線示意圖

NT是以D、A為焦點(diǎn)的橢圓弧、TG是以C、B為焦點(diǎn)的橢圓弧，兩個(gè)橢圓內(nèi)切于T點(diǎn)，形成NTG組合曲線；橢圓曲線是連續(xù)可導(dǎo)的，切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等。因此NTG組合曲線是光滑曲線。

2） 兩條對(duì)稱相等的橢圓弧，對(duì)稱內(nèi)切于另一個(gè)橢圓形成的組合曲線，是對(duì)稱、規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的光滑曲線，見圖4。

圖4 橢圓組合曲線示意圖

TG、PN弧段是以B、V和C、U為焦點(diǎn)，對(duì)稱相等的兩個(gè)橢圓弧，對(duì)稱內(nèi)切于以D、A為焦點(diǎn)的橢圓，切點(diǎn)為T、P，形成的GTPN組合曲線是對(duì)稱、協(xié)調(diào)、規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的光滑曲線。（與右邊的以D、A、為焦點(diǎn)橢圓的TP弧相比，圖形的形狀不同，但曲線的圖形特征是相同的，即都是對(duì)稱、規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)光的滑曲線圖形。）

3） 兩個(gè)橢圓對(duì)稱內(nèi)切連接形成的組合曲線，是具有一條對(duì)稱軸規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合光滑曲線。圖形是由兩個(gè)橢圓的兩條對(duì)稱橢圓弧組成，且符合卵圓圖形特征，故稱為兩段弧卵圓，見圖5。

圖5 橢圓組合曲線示意圖

由B、C和D、A為焦點(diǎn)的兩個(gè)橢圓，對(duì)稱內(nèi)切于P、T兩點(diǎn)，形成的組合曲線是對(duì)稱、協(xié)調(diào)、規(guī)范光滑曲線圖形。當(dāng)切點(diǎn)為橢圓的對(duì)稱軸時(shí)，卵形曲線由兩個(gè)不同橢圓的各自半條對(duì)稱曲線組成，形成特定的兩段弧卵圓。

4） 橢圓組合曲線2）見圖4，對(duì)稱內(nèi)切于Y、Z為焦點(diǎn)的橢圓，形成具有一條對(duì)稱軸的規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線。圖形是由4個(gè)橢圓的4條弧組成的卵形曲線，且符合卵圓圖形特征，故稱為四段弧卵圓，見圖6。

以B、V和C、U為焦點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)稱相等的橢圓，分別對(duì)稱內(nèi)切于Y、Z和D、A為焦點(diǎn)的兩個(gè)橢圓，切點(diǎn)為G、P、M、N。形成的GPMN閉合曲線是對(duì)稱、協(xié)調(diào)、規(guī)范的光滑曲線。

圖6 橢圓組合曲線示意圖

5） 在四弧段卵圓圖6的PM弧段，對(duì)稱內(nèi)切以RQ為焦點(diǎn)的橢圓，形成具有一條對(duì)稱軸規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線。圖形是由5個(gè)橢圓的6條橢圓弧組成的卵形曲線，且符合卵圓圖形特征，故稱為6段弧卵圓，見圖7。

圖7 橢圓組合曲線示意圖

以RQ為焦點(diǎn)的橢圓，垂直、對(duì)稱內(nèi)切于四段弧卵圓的PM弧段，切點(diǎn)為F、J。形成的GPFJMN閉合曲線是對(duì)稱、協(xié)調(diào)、規(guī)范的光滑曲線。

6） 兩個(gè)相等的橢圓平行內(nèi)切于另一個(gè)橢圓，形成具有兩條對(duì)稱軸的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合光滑曲線。圖形有4條橢圓弧組成，且符合橢圓特征，故稱為四段弧橢圓見圖8。

圖8 橢圓組合曲線示意圖

以EG和MN為焦點(diǎn)的兩個(gè)相等橢圓，平行內(nèi)切于AB為焦點(diǎn)的橢圓，切點(diǎn)為F、J、R、P。形成的FJRP組合曲線是對(duì)稱、協(xié)調(diào)、規(guī)范的光滑曲線。

7） 4個(gè)相等橢圓，對(duì)稱內(nèi)切于兩個(gè)中點(diǎn)重合、長軸垂直的橢圓，形成的組合曲線是具有兩條對(duì)稱軸的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合光滑曲線。圖形有8條橢圓弧組成且符合橢圓特征，故稱為八段弧橢圓，見圖9。

圖9 橢圓組合曲線示意圖

4個(gè)相等橢圓，與AD為焦點(diǎn)橢圓相切的切點(diǎn)為P、E、Q、M和與BC為焦點(diǎn)橢圓相切的切點(diǎn)為G、F、J、N。形成的GPEFJQMN組合曲線是對(duì)稱、協(xié)調(diào)、規(guī)范的光滑曲線。

橢圓曲線的特性，為多焦點(diǎn)圓的圖形分析提供依據(jù)。兩段弧和四段弧卵圓為組合圖形，屬于普通卵圓；六段弧卵圓和八段弧橢圓具有形成圖形的內(nèi)在規(guī)律，由針線作圖方法直接作圖，屬于基本圖形。

2.1.2 參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系

1） 對(duì)稱軸（長軸）

2） 寬（短軸）

2.1.3 周長

橢圓周長沒有初等函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)橢圓積分理論，橢圓周長(C)的無窮級(jí)數(shù)計(jì)算公式[3]（或采用項(xiàng)名達(dá)公式以及其他近似公式，目的是尋求與參數(shù)關(guān)系。）：

則橢圓周長的無窮級(jí)數(shù)計(jì)算公式為：

式（4）表明周長與參數(shù)k(L)、L0相關(guān)，是多焦點(diǎn)圓定義下兩焦點(diǎn)橢圓周長無窮級(jí)數(shù)計(jì)算公式。

2.1.4 圖形特征參數(shù)(G)

橢圓的圖形特征參數(shù)是指周長與焦點(diǎn)環(huán)線長比值，表達(dá)式：

將式（4）代入式（5）得：

式（6）表明：G為無單位量；相同G值的橢圓是相似橢圓，其扁率、離心率相等；G與k相關(guān)也，當(dāng)k為定值，G也為定值。因此，式（5）、式（6）建立了k為定值時(shí)周長與焦點(diǎn)環(huán)線長之間的等式關(guān)系。橢圓的這一性質(zhì)，在多焦點(diǎn)圓的參數(shù)模擬計(jì)算中起到重要作用。

2.2 棱形四焦點(diǎn)橢圓

棱形四焦點(diǎn)橢圓是通過多焦點(diǎn)圓的方法獲得的一種新的標(biāo)準(zhǔn)橢圓類型。定義為：與棱形焦點(diǎn)四邊形形成的環(huán)線長為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，稱做棱形四焦點(diǎn)橢圓。棱形是棱形四焦點(diǎn)橢圓的基本屬性。

2.2.1 棱形四焦點(diǎn)橢圓曲線

根據(jù)定義作棱形四焦點(diǎn)橢圓曲線和各條邊的延長線與圓周曲線相交示意圖，見圖10。顯而易見棱形四焦點(diǎn)橢圓是由 6個(gè)橢圓的八段橢圓弧，通過對(duì)稱內(nèi)切連接，形成的組合曲線圖形，與八段弧橢圓一致。圖9中的A、a1、a23點(diǎn)重合為A；B、b1、b23點(diǎn)重合為B；C、c1、c23點(diǎn)重合為C；D、d1、d2重合為D，形成棱形焦點(diǎn)四邊形ABDC。因此，棱形四焦點(diǎn)圓，具有橢圓基本特征，符合多焦點(diǎn)圓形成原理，是標(biāo)準(zhǔn)橢圓的一種新的類型。棱形四焦點(diǎn)橢圓屬于分段函數(shù)，根據(jù)參數(shù)各段均可建立橢圓方程。（長方形和六邊形的焦點(diǎn)多邊形的橢圓曲線，不是規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)曲線）

圖10 棱形四焦點(diǎn)橢圓曲線示意圖

2.2.2 棱形四焦點(diǎn)橢圓的參數(shù)關(guān)系

圖 11為棱形四焦點(diǎn)橢圓示意圖，已知ABDC為棱形四邊形、邊長設(shè)橢圓的長軸為長（H），短軸為寬（Φ），則：

圖11 棱形四焦點(diǎn)橢圓示意圖

根據(jù)上述關(guān)系式，即可進(jìn)行相關(guān)分析和參數(shù)計(jì)算。

2.2.3 棱形四焦點(diǎn)橢圓的圖形特征

表1 相同長和寬的橢圓參數(shù)

圖12 相同參數(shù)不同形狀棱形四焦點(diǎn)橢圓示意圖

圖12說明，棱形四焦點(diǎn)橢圓是長和寬相同、形狀有差異的標(biāo)準(zhǔn)橢圓圖形集合，是相同特征參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)橢圓的圖形庫，線形兩焦點(diǎn)橢圓是其中一員，為橢圓設(shè)計(jì)提供豐富圖源。

相同特征參數(shù)橢圓的圖形特征表現(xiàn)為，線形兩焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)環(huán)線為線形，沒有形狀變化，因此圖形是確定的；棱形四焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)圖形有形狀的變化，具體的圖形，則需要賦予焦點(diǎn)形狀參數(shù)的具體數(shù)值。

3 卵 圓

卵圓概念，來自于家禽、鳥類以及卵生動(dòng)物的卵。整個(gè)卵（蛋）稱為卵球體，縱截面形狀稱為卵圓。據(jù)觀察，盡管各種各樣的卵的形狀不同，但是，卵圓都具有相同的基本圖形特征：一條對(duì)稱軸、三個(gè)特征參數(shù)（長、寬和半軸），規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線圖形。符合卵圓基本特征的圖形稱為普通卵圓；具有形成內(nèi)在規(guī)律的圖形稱為標(biāo)準(zhǔn)卵圓。

3.1 卵圓定義

一種特定條件的四焦點(diǎn)圓，符合卵圓的基本圖形特征。即：4個(gè)焦點(diǎn)為紡錘形，以紡錘形邊的延長線的交點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，與紡錘形之間形成的環(huán)線長為常數(shù)的四焦點(diǎn)圓。

3.1.1 特定條件紡錘形四焦點(diǎn)圓的圖形特征

采用針線作圖方法，作特定條件四焦點(diǎn)圓和相關(guān)輔助圖見圖13。焦點(diǎn)紡錘形各條邊的延長線與卵圓周曲線相交，顯而易見特定條件紡錘形四焦點(diǎn)圓是由5個(gè)橢圓的六段橢圓弧，通過垂直和對(duì)稱內(nèi)切連接，形成的組合曲線圖形，與六段弧卵圓完全一致。圖7中的A、V、U3點(diǎn)重合為A；B、R、Y3點(diǎn)重合為B；C、Q、Z3點(diǎn)重合為C；D點(diǎn)不變，形成紡錘形焦點(diǎn)四邊形ABDC。因此，特定條件的紡錘形四焦點(diǎn)圓是具有卵圓基本特征的六段弧卵圓。（動(dòng)點(diǎn)在交點(diǎn)內(nèi)或交點(diǎn)外，形成的是8段弧卵形曲線。增加的兩條曲線是對(duì)稱的擴(kuò)張或收縮弧段，不是規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的卵形曲線圖形。等腰三角形和梯形焦點(diǎn)卵形曲線也不是規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的卵形曲線圖形。）

圖13 四焦點(diǎn)圓曲線示意圖

3.1.2 圖形形成原理

特定條件四焦點(diǎn)圓是受條件約束的四焦點(diǎn)圓，圖形的形成原理和分析方法與多焦點(diǎn)圓一致。

3.1.3 標(biāo)準(zhǔn)卵圓定義

由于特定條件四焦點(diǎn)圓符合卵圓圖形特征，具有形成圖形的內(nèi)在規(guī)律，因此，特定條件的四焦點(diǎn)圓屬于標(biāo)準(zhǔn)卵圓。

根據(jù)圖形特征和形成規(guī)律，四焦點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)卵圓的定義：平面內(nèi)，以任意紡錘形邊的延長線的交點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，與紡錘形之間形成的環(huán)線長為常數(shù)的軌跡稱做四焦點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)卵圓。紡錘形稱為焦點(diǎn)多邊形，是四焦點(diǎn)卵圓的基本屬性。

卵圓屬于多參數(shù)圖形，可能有多種形成方法，有待探討。為方便，在尚未出現(xiàn)新的標(biāo)準(zhǔn)卵圓時(shí)，暫將四焦點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)卵圓簡稱為卵圓（下同）。

3.2 曲線方程

卵圓是由5個(gè)橢圓（相關(guān)聯(lián)或約束）的六段橢圓曲線通過相切組合形成的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合光滑曲線圖形。建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)卵圓參數(shù)，各段橢圓曲線都能夠建立對(duì)應(yīng)的橢圓方程。卵圓圖形曲線屬于分段函數(shù)，可以根據(jù)分段函數(shù)方程，對(duì)曲線和圖形作具體分析。

3.3 參數(shù)關(guān)系

卵圓圖形由紡錘形確定。對(duì)于已知卵圓的紡錘形參數(shù)，可建立關(guān)系式求出特征參數(shù)和其他參數(shù)；對(duì)于已知卵圓的特征參數(shù)，難以根據(jù)關(guān)系式求出參數(shù)，需要引進(jìn)形狀參數(shù)k、β，采用參數(shù)模擬計(jì)算方法方求解參數(shù)。因此，需要建立適合參數(shù)模擬計(jì)算的特征參數(shù)與紡錘形參數(shù)之間的關(guān)系式。

根據(jù)寬的極大點(diǎn)位置，分為三角形和橢圓形兩種參數(shù)關(guān)系模式。寬的極大點(diǎn)位于BD延長線的內(nèi)則為三角形模式；位于BD延長線的外則為橢圓形模式，見圖14。兩種模式分析方法類似，只是寬的計(jì)算關(guān)系式不同，限于篇幅以三角形模式為例作詳細(xì)介紹。

圖14 卵圓參數(shù)分析示意圖

設(shè)：紡錘形的長邊為AB、AC，短邊為BD、DC，對(duì)稱軸為AD（AD=AS+DS），對(duì)角線為BC。形狀參數(shù)：則：2AB=L0-β·BC。

3.3.1 寬的關(guān)系式

與對(duì)稱軸垂直線段的極大值稱為卵圓的寬，用Φ表示。三角形模式寬的極大點(diǎn)位于以A、B和A、C為焦點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)稱橢圓弧上，由于對(duì)稱性，分析一個(gè)極大點(diǎn)就可以了。設(shè)：T為卵圓在A、B為焦點(diǎn)的橢圓弧上的極大點(diǎn)，橢圓方程參數(shù)：

以對(duì)稱軸為橫軸，過AB中點(diǎn)為縱軸建立坐標(biāo)系，通過旋轉(zhuǎn)、平移得極大點(diǎn)對(duì)應(yīng)橢圓方程：

由式（11），求得（導(dǎo)數(shù)或一元二次方程求極值的方法）極大點(diǎn)T的坐標(biāo)：

3.3.2 對(duì)稱軸關(guān)系式

對(duì)稱軸又稱為卵圓的長，用H表示。紡錘形的對(duì)角線BC，將對(duì)稱軸分為兩部分。（BC上長）

則對(duì)稱軸：

3.3.3BC關(guān)系式

BC為紡錘形的對(duì)角線，是卵圓的重要參數(shù)。解出式（12）中的BC得：

3.3.4 極大值X的關(guān)系式

X是反映寬偏離中點(diǎn)的參數(shù)。極大點(diǎn)坐標(biāo)X的絕對(duì)值為：

3.3.5 半軸關(guān)系式

寬與對(duì)稱軸的垂足，將對(duì)稱軸分為上、下兩個(gè)不相等的半軸，上、下半軸的數(shù)值大小，因參數(shù)不同而相互轉(zhuǎn)換，數(shù)值大的稱為半軸，用R表示。

上半軸（長邊）：

下半軸（短邊）：

X值是應(yīng)用模式的判別標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)時(shí)，適用三角形模式；當(dāng)適用橢圓形模式。建立卵圓的特征參數(shù)和參數(shù)之間的關(guān)系式，可以根據(jù)已知條件，在電腦上進(jìn)行相關(guān)計(jì)算與分析。計(jì)算特征參數(shù)時(shí)，消除關(guān)系式中的形狀參數(shù)計(jì)算較為方便。

3.4 焦點(diǎn)多邊形邊的延長線段的長度

焦點(diǎn)紡錘形的各條邊的延長線與卵圓周相交參閱圖14。通過建立邊的線性方程，求得交點(diǎn)F(J)的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)坐標(biāo)和三角計(jì)算，建立各線段長度參數(shù)關(guān)系式：

1）BD（CD）的延長線段長度：

2）AB（AC）的延長線段長度：

根據(jù)延長線段關(guān)系式和已知參數(shù)，即可求出各條延長線與卵圓周的交點(diǎn)坐標(biāo)，方便對(duì)圖形分析。

3.5 焦點(diǎn)紡錘形的特征值

紡錘形圖形的參數(shù)，分為邊長參數(shù)（L0、AB、BD）和對(duì)角線參數(shù)（AD、AS、DS和BC）。要確定一個(gè)紡錘形，需要含有邊長和對(duì)角線三個(gè)不同的參數(shù)或參數(shù)比值。卵圓的圖形特征是焦點(diǎn)紡錘形邊的延長線交于卵圓周，由圖14可知：

將式（18）、式（20）代入上式得：

整理得：

k是卵圓的形狀參數(shù)，是紡錘形上、下半軸的比值，屬于焦點(diǎn)紡錘形的形狀參數(shù)。式（22）表明，卵圓的形狀參數(shù)與焦點(diǎn)紡錘形的形狀參數(shù)值相等為k。根據(jù)這一特征，任意一個(gè)紡錘形對(duì)應(yīng)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)卵圓。

3.6 圖形形狀

為了解不同參數(shù)的卵圓形狀，以長 12cm、寬9cm、半軸7cm的卵圓為例，以參數(shù)模擬計(jì)算方法計(jì)算出參數(shù)，作出相同長和寬不同半軸的卵圓圖組和相同長和半軸不同寬的卵圓圖組。使我們對(duì)卵圓圖形更有直觀的認(rèn)識(shí)。

3.6.1 相同長和寬不同半軸的卵圓圖組

卵圓的長12 cm、寬9 cm為定值，半軸分別為：6cm、6.5cm、7cm、7.5cm、8cm、8.5cm、9cm，見圖15。圖組特征是：半軸最小值為6cm時(shí)，對(duì)稱軸的兩頭差異不明顯，與橢圓近似相同。隨著半軸長度增加，卵圓的兩頭差異變大，圖形差異明顯。

圖15 相同長和寬不同半軸的卵圓圖組

3.6.2 相同長和半軸不同寬的卵圓圖組

卵圓長的 12cm 、半軸 7cm 為定值，寬分別為6cm、7cm、8cm、9cm、10cm、12cm、14cm、16cm，見圖 16。圖組特征：當(dāng)寬小于長時(shí)為長型卵圓，隨著寬減小卵圓變得細(xì)長；當(dāng)寬大于長時(shí)為扁型卵圓，隨著寬增大卵圓越扁。

圖16 相同長和半軸不同寬的卵圓圖組

通過上述兩組圖形，可以推理出各種不同長、寬和半軸參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)卵圓圖形特征。

4 多軸圓

多軸圓的圖形特征是：焦點(diǎn)多邊形為正多邊形，對(duì)稱軸和寬的數(shù)目與焦點(diǎn)正多邊形的邊數(shù)相同，對(duì)稱軸和寬數(shù)目各自相等；圖形由橢圓組合曲線特性予以證明，均為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的組合曲線圖形，不在贅述。

焦點(diǎn)為正三角形和正方形多軸圓的參數(shù)和特征參數(shù)分析方法與卵圓相同，焦點(diǎn)為正五邊形及其以上的多軸圓需要結(jié)合三角函數(shù)分析，求出一條對(duì)稱軸和寬即可。多軸圓的對(duì)稱軸與寬的差距小，圖形與圓類似，利用圓的公式以對(duì)稱軸和寬的均值為直徑，計(jì)算多軸圓的周長和面積，是計(jì)算卵圓周長近似值的校正系數(shù)的主要參數(shù)。

5 參數(shù)模擬計(jì)算

橢圓的參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系，可以相互計(jì)算。卵圓的參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系，只能由參數(shù)計(jì)算特征參數(shù)，而特征參數(shù)則不能直接計(jì)算出參數(shù)，這是由于兩者間復(fù)雜關(guān)系決定的。采用參數(shù)模擬計(jì)算方法有效地解決計(jì)算問題。

5.1 計(jì)算原理

1） 模擬設(shè)計(jì)一個(gè)卵圓，選擇一組合適的參數(shù)（k、L0和β）值，以選擇的參數(shù)值和已知寬(Φ)，根據(jù)參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系式（寬與參數(shù)關(guān)系式較為簡單），計(jì)算出模擬設(shè)計(jì)卵圓的各項(xiàng)參數(shù)和特征參數(shù)值。

2） 設(shè)立對(duì)稱軸、半軸和紡錘形對(duì)稱軸比值為對(duì)照參數(shù)，以模擬計(jì)算值與對(duì)照參數(shù)的絕對(duì)誤差為比較參量。即：He（長誤差）=計(jì)算H—已知H；Re（半軸誤差）=計(jì)算上（下）R—已知R；ke（形狀參數(shù)誤差）參量值可根據(jù)精度要求設(shè)定，一般可設(shè)定三項(xiàng)的絕對(duì)誤差＜10-4。

3） 每選擇一組參數(shù)模擬值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的參數(shù)和特征參數(shù)值與對(duì)照參數(shù)比較，得到一組對(duì)應(yīng)的比較參量。經(jīng)過有限次調(diào)整k、L0、β值，使得三項(xiàng)比較參量在允許誤差內(nèi)或趨向于0。

模擬計(jì)算的實(shí)質(zhì)是以L0、k、β的模擬參數(shù)值和已知寬，計(jì)算出的對(duì)稱軸和半軸長與已知值近似相等；形狀參數(shù)與紡錘形形狀參數(shù)近似相等?？梢哉J(rèn)為L0、k、β模擬參數(shù)值，就是已知長、寬和半軸三個(gè)特征參數(shù)卵圓的參數(shù)近似值。

5.2 計(jì)算步驟

5.2.1 初值確定

初值選擇的合適與否直接關(guān)系到計(jì)算效果。初值取值范圍是相對(duì)的，k值一般為 1.05~1.15左右；L0初值是通過間接方法確定，根據(jù)相同參數(shù)（L、L0）多焦點(diǎn)圓的周長近似的特性，以卵圓的近似周長C=（長+寬）÷2×3.14 ，作為相同參數(shù)橢圓周長的近似值，利用橢圓周長與焦點(diǎn)環(huán)線長的比值關(guān)系，以調(diào)整橢圓周長，實(shí)現(xiàn)對(duì)L0調(diào)整，使L0初值接近真值；β值一般為1.01~1.1左右。

5.2.2 制定計(jì)算表

表格首行列出特征參數(shù)、模擬參數(shù)（k、L0、β）和其它各項(xiàng)參數(shù)以及與計(jì)算和比較參量相關(guān)項(xiàng)。在第2行的特征參數(shù)項(xiàng)下，輸入已知的特征參數(shù)值；在k、L0、β項(xiàng)下，輸入各參數(shù)的初始值。其他各項(xiàng)是利用模擬參數(shù)初始值和寬，輸入計(jì)算式（參閱前節(jié)參數(shù)、特征參數(shù)和焦點(diǎn)多邊形關(guān)系式）得到對(duì)應(yīng)值。利用公式復(fù)制功能，將第2行復(fù)制若干行，即可進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。

5.2.3k、C(L0)、β的調(diào)整

1）k值調(diào)整

k值調(diào)整只與對(duì)稱軸作比較參數(shù)，比較參量是He。以L0、β初值為定值，調(diào)整k值大小，通過有限次調(diào)整，使 He在允許范圍內(nèi)或趨于 0。說明模擬設(shè)計(jì)卵圓的長和寬與已知卵圓的長和寬近似相等。

2）C(L0))值調(diào)整

L0值是通過調(diào)整相同參數(shù)的橢圓C（周長）而間接進(jìn)行調(diào)整的。以β初值為定值，半軸為比較參數(shù)，Re為比較參量。每調(diào)整一次C(L0)值，需要重復(fù)調(diào)整k值，通過有限次調(diào)整，使得He、Re在允許范圍內(nèi)或趨于0，說明模擬設(shè)計(jì)卵圓的長、寬和半軸3個(gè)特征參數(shù)與已知卵圓的3個(gè)特征參數(shù)近似相等。

3）β值調(diào)整，

β值調(diào)整是使模擬設(shè)計(jì)卵圓的圖形特征符合定義。以紡錘形的對(duì)稱軸比值為比較參數(shù)，ke為參量值。每調(diào)整一次β值，需要重復(fù)調(diào)整k和C(L0)值，通過有限次調(diào)整，使得 He、Re、ke 3項(xiàng)比較參量在允許誤差范圍內(nèi)或趨于0，說明模擬設(shè)計(jì)卵圓的長、寬和半軸3個(gè)特征參數(shù)與已知卵圓近似相等、圖形符合卵圓特征。

5.3 模型選擇

標(biāo)準(zhǔn)卵圓模擬參數(shù)計(jì)算模型分為三角形型和橢圓型兩種，兩者間的特征參數(shù)與參數(shù)關(guān)系式不同，計(jì)算方法有所不同。已知卵圓的特征參數(shù)時(shí)，首先選用三角形模型，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，若極大值X的絕對(duì)值≥0.5DS模型選擇正確，否則選用橢圓型模型。四焦點(diǎn)圓形成的卵圓是唯一的，根據(jù)計(jì)算的參數(shù)值，作出圖形與已知卵圓的圖形比較，若有明顯差異，說明已知特征參數(shù)的卵圓，不屬于標(biāo)準(zhǔn)卵圓。

5.4 模擬計(jì)算實(shí)例

設(shè)卵圓的3個(gè)特征參數(shù)：長=12cm、寬=8cm、半軸=7cm。試求其參數(shù)。根據(jù)卵圓的3個(gè)特征參數(shù)值，介紹在普通微機(jī)上參數(shù)模擬計(jì)算方法的詳細(xì)過程，見表2。

1） 在Excel首行，例出特征參數(shù)、選擇參數(shù)、參數(shù)、計(jì)算中間量和比較參量計(jì)26項(xiàng)。k、C(L0)、β為模擬參數(shù)，He、Re、ke為比較參量，設(shè)定誤差參量值＜10-4。

2） 輸入對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)值和模擬參數(shù)初值。模擬初值選擇：C(L0)=（12+8）÷2×3.14=31.4、β=1.01、k=1.15。后面各項(xiàng)是根據(jù)參數(shù)與特征參數(shù)的關(guān)系式計(jì)算得到的對(duì)應(yīng)值，且復(fù)制若干行。

3）k值調(diào)整：以β和 C(L0)初值為定值，He為比較參量。調(diào)整k時(shí)主要觀察He的變化，通過有限次調(diào)整k值，當(dāng)k=1.1463時(shí)，He=1.07E-05＜10-4，符合設(shè)定要求。

4） C(L0)值調(diào)整：以β初值為定值，Re為比較參量，Re有上、下半軸兩個(gè)值，有一個(gè)符合設(shè)定即可。根據(jù)k值調(diào)整結(jié)果，當(dāng)k=1.1463、He=1.07E-05＜10-4時(shí)，Re=-0.92049，需要調(diào)整C(L0)值，使得Re達(dá)到設(shè)定要求。每調(diào)整一次C(L0)值，需重新調(diào)整k值。如：當(dāng)C(L0)為31.2時(shí)，k=1.11278、He=-1.9E-06、Re=-0.68604。繼續(xù)調(diào)整 C(L0)、重復(fù)調(diào)整k。通過有限次的調(diào)整，當(dāng)C(L0)=31.1718、k=1.0662時(shí)，He=-6.3E-06、Re=-7.1E-05。符合設(shè)定要求。

5）β值調(diào)整：以ke為比較參量，當(dāng)He和Re兩個(gè)參量符合設(shè)定要求時(shí)，通過調(diào)整β值，使得 ke達(dá)到符合設(shè)定要求。根據(jù)上一步調(diào)整結(jié)果，當(dāng) C(L0)=31.1718、k=1.0662、β=1.01時(shí)He=-6.3E-06、Re=-7.1E-05，ke=-0.034。增加β值，重新調(diào)整C(L0)和k值，使He、Re符合設(shè)定要求。再根據(jù)ke值調(diào)整β，重復(fù)調(diào)整C(L0)和k。通過有限次調(diào)整，當(dāng)C(L0)=31.1552、k=1.06449、β=1.0349時(shí)，3個(gè)比較參量分別為He=1.37E-05、Re=7.34E-05、ke=2.1E-05。符合設(shè)定要求，模擬計(jì)算結(jié)束。

表格最下行是已知特征參數(shù)卵圓的各項(xiàng)參數(shù)和特征參數(shù)的模擬計(jì)算結(jié)果。模擬參數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵是模擬參數(shù)初值的選擇，若選擇不當(dāng)導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)異常。調(diào)整過程中技巧，需要通過實(shí)例練習(xí)掌握規(guī)律。

5.5 應(yīng)用實(shí)例（卵圓作圖）

從市場上收集不同類型的雞、鴨和鵝的卵（蛋），隨機(jī)挑選卵（蛋）形不同的個(gè)體，用0.02mm的卡尺分別測量其長、寬和半軸3個(gè)特征參數(shù)。選用卵圓的三角形模式，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，進(jìn)行參數(shù)模擬計(jì)算，求得相關(guān)參數(shù)，見表3。根據(jù)模擬計(jì)算得出各個(gè)體卵（蛋）的參數(shù)，采用針線作圖方法，進(jìn)行手工作圖并與實(shí)體比較，見圖17。

表2 卵圓參數(shù)計(jì)算示例

表3 家禽卵（蛋）參數(shù)分析

OD AO BC上長 BC下長 上半軸 下半軸 H He Re ke 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0.359 3.8908 4.4168 1.2032 3.0601 2.56 5.6201 6.3E-05 5.65E-05 -2E-06 0.4451 3.8461 4.5333 1.4607 3.147 2.847 5.994 -7E-06 -2.4E-06 -8E-05 0.4486 4.3715 5.0232 1.4148 3.419 3.019 6.438 -6E-06 -1.9E-06 8.3E-05 0.5321 6.1618 6.8841 1.608 4.5699 3.9221 8.492 4.8E-05 -5.7E-05 5.1E-05

圖17 家禽卵參數(shù)作圖與實(shí)物比較圖

家禽卵（蛋）的單一個(gè)體，屬于和標(biāo)準(zhǔn)卵圓近似的普通卵圓。雖然測量和手工作圖誤差較大，圖形與實(shí)物基本吻合，說明分析方法的可行性。若能找出與橢圓類似的卵圓族，分析結(jié)果將更加逼真。

實(shí)例說明，任意一組特征參數(shù)，能夠計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)卵圓的參數(shù)和作圖，為圖形設(shè)計(jì)提供有效方法。

6 多焦點(diǎn)圓及其橢圓和卵圓的應(yīng)用前景

多焦點(diǎn)圓及其橢圓和卵圓的圖形，具有穩(wěn)固性、對(duì)稱性、方向性、多樣性。適用于廣泛的圖形設(shè)計(jì)：（1）均勻介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)物體的外形設(shè)計(jì)。（2）水中漂浮物的外形設(shè)計(jì)。（3）薄殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。（4）機(jī)械、日常用品、玩具、廣告、工藝品等方面的圖形設(shè)計(jì)。

在相關(guān)學(xué)科中涉及到橢圓和卵圓圖形分析，為指導(dǎo)科學(xué)研究和生產(chǎn)管理服務(wù)：（1）通過對(duì)動(dòng)物和家禽卵（蛋）的形狀分析，研究動(dòng)物和家禽的遺傳與進(jìn)化。（2）通過對(duì)植物類圓形果實(shí)的形狀分析，根據(jù)形狀的變化，研究品種的遺傳和生產(chǎn)管理措施。（3）可能在自然和天文學(xué)上得到應(yīng)用。

7 總 結(jié)

橢圓是具有兩條對(duì)稱軸、兩個(gè)特征參數(shù)，規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線。有線形兩焦點(diǎn)和棱形四焦點(diǎn)兩種類型。棱形有形和量的變化，形成特征參數(shù)（長和寬）相同，圖形不同的多種棱形焦點(diǎn)橢圓。把具有相同特征參數(shù)的橢圓稱為橢圓族，線形兩焦點(diǎn)橢圓是其中的一種。

卵圓是具有一條對(duì)稱軸、三個(gè)特征參數(shù)，規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的卵形閉合曲線；標(biāo)準(zhǔn)卵圓是特定條件的紡錘形四焦點(diǎn)圓，紡錘形確定卵圓的圖形特征；參數(shù)和特征參數(shù)能夠確定同一個(gè)卵圓。

圓、橢圓、卵圓和多軸圓的共同特征是：具有相同的形成原理、同屬于規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的閉合曲線；不同的是焦點(diǎn)的數(shù)目和焦點(diǎn)環(huán)線的形狀。多焦點(diǎn)圓的原理和方法，對(duì)四種圓的形成和圖形特征有了整體上的基本認(rèn)識(shí)，深度認(rèn)識(shí)有待進(jìn)一步研究。

[1]劉紹學(xué). 數(shù)學(xué)2圓與方程[M]. 北京: 人民教育出版社, 2007: 118-122.

[2]劉紹學(xué). 數(shù)學(xué)選修2—1橢圓[M]. 北京: 人民教育出版社, 2007: 38-40.

[3]百度百科. 橢圓周長[EB/OL]. http://baike.baidu.com/view/1284699.htm, 2007-11-30／2012-10-26