●
(六合區(qū)程橋高中 江蘇南京 211504)
乾坤挪移二合一弦長化減理相通論定特方破難關(guān)
——2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題簡解
●王安寓
(六合區(qū)程橋高中 江蘇南京 211504)
2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題,網(wǎng)上評論很多,褒貶不一.面對這道計算繁雜的題目,如何化難為簡、化陌生為熟悉?如何突破命題人設(shè)置的關(guān)卡,找到問題的本質(zhì)快速解題?
圖1
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的2個點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.
②求證:PF1+PF2是定值.
本題主要考查直線與橢圓的相關(guān)知識,考查運算能力和推理能力.本題構(gòu)思新穎,設(shè)問獨特(在合理處設(shè)置不合理的問法),考查學(xué)生活用數(shù)學(xué)知識的能力,體現(xiàn)重思維的命題理念.合理運用橢圓的對稱性轉(zhuǎn)化題設(shè)條件,將2條平行線轉(zhuǎn)移到一條上,必有利于解題.本文就此作一點探討.
由此可以看出,該題實際上是常見題目的逆向命題.我們常見的題目是:給定橢圓和過焦點的直線,求弦長CF2+BF2或CF2-BF2,即直線斜率k為定值,則弦長CF2+BF2或CF2-BF2也為定值(常規(guī)思路是聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理和弦長公式).反之,CF2-BF2為定值,則直線斜率k為定值;弦長CF2+BF2為定值,則求直線的斜率k可能有正、負(fù)2個值.這恰好是常見題目的逆向.如何解決呢?還是需要常規(guī)思路.設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,利用弦長公式構(gòu)造關(guān)于k的方程求解即可.
當(dāng)BC斜率不存在時,顯然不合題意.當(dāng)BC的斜率存在時,設(shè)BC的方程為
y=k(x-1),
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),聯(lián)立并消去y,用韋達(dá)定理得
解得
圖2
過點B,C分別作橢圓右準(zhǔn)線l:x=2的垂線,垂足分別為M,N,過點B作BS⊥CN于點S,則
欲求斜率k,只需求BC(在△BCS中,k=tan∠BCS).已知結(jié)論
即
又
即
從而
解得
因此
即
評注數(shù)與形完美結(jié)合,讓人賞心悅目.該題的幾何解釋很美,解法2用漂亮的圖解決該問題:給定斜率k,求CF2-BF2.
為敘述方便,設(shè)CF2=n,BF2=m,則
(證明略.)
(2)②證法1延長BF2,交橢圓于另一點C.因為AF1∥BF2,所以由橢圓的對稱性,知AF1=CF2,則
即
因為AF1∥BF2,所以
即
同理可得
因此
即PF1+PF2是定值.
由待證結(jié)論聯(lián)想到橢圓的定義,即證明點P在某橢圓上.為尋求該橢圓方程(目標(biāo)意識),可先從特例入手,求出橢圓的方程,再證明點P適合橢圓方程,即證得PF1+PF2是定值.
即
下面證明動點P適合上述橢圓方程.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則A(-x2,-y2),
聯(lián)立得點P的坐標(biāo)滿足
設(shè)BC:x=my+1,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理得
從而
此時
消去m,得
因此點P在橢圓上,即
評注證法2與常規(guī)的圓錐曲線題目相仿:設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理,代入計算,有一種熟悉感.另外,證法2采用“先猜后證”的解題方法,有的放矢,目標(biāo)明確,但運算量稍大.
經(jīng)過上述研究,我們得到如下結(jié)論.
(1)若直線AF1的斜率不存在,則
BF2-AF1=0;
若直線AF1的斜率存在(為k),則
(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;
結(jié)論3同結(jié)論2的條件,設(shè)直線AF2,BF1交于點P,則點P的軌跡方程為
即
對于雙曲線有類似結(jié)論.
(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;
若直線AF1的斜率存在(為k),則
(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;
結(jié)論5同結(jié)論4的條件,設(shè)直線AF2,BF1交于點P,則點P的軌跡方程為
即
對于拋物線,也有類似結(jié)論.
結(jié)論6拋物線y2=±2px(p>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過焦點F1,F2分別作相互平行的直線AF1,BF2,與拋物線的x軸同側(cè)部分交于點A,B,則
(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;
若直線AF1的斜率存在(為k),則
(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;
結(jié)論7F1,F2是圓錐曲線(拋物線取2個)的左、右焦點,過F1,F2分別作相互平行的直線AF1,BF2,與曲線x軸同側(cè)部分交于點A,B,e為離心率,則
(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;
若直線AF1的斜率存在(為k),則
(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;