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(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”課堂實(shí)錄及反思

●孫軍波徐芳芳

(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

“上好一節(jié)課好難，上好一節(jié)公開課更難”，這是很多一線教師的心聲.筆者有幸參加了2012年第6屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動(dòng)，深有體會(huì).大會(huì)指定給筆者的課題是“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”，以下為筆者在備課和上課過(guò)程中的一些想法，敬請(qǐng)大家批評(píng)指正！

1 備課困惑

“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”即人教版《數(shù)學(xué)(必修3)》第3章“概率”中“(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”一節(jié).主要內(nèi)容是借助計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)頻率穩(wěn)定趨于概率的客觀規(guī)律.這是易被忽視但卻極具數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一節(jié)課.學(xué)生通過(guò)前期學(xué)習(xí)，已掌握隨機(jī)事件的概率、古典概型，并且在第2章統(tǒng)計(jì)中接觸過(guò)隨機(jī)數(shù)表.有些學(xué)生在計(jì)算器中學(xué)習(xí)過(guò)隨機(jī)函數(shù)，因此對(duì)學(xué)生而言，隨機(jī)數(shù)有點(diǎn)熟悉卻還是陌生.根據(jù)內(nèi)容解析和教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

(1)通過(guò)對(duì)計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣問(wèn)題的解決，運(yùn)用計(jì)算器(機(jī))等信息技術(shù)手段，獲得計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，比較模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果和科學(xué)家物理試驗(yàn)的結(jié)果，認(rèn)識(shí)到它們之間的區(qū)別和共同之處，體會(huì)偽隨機(jī)數(shù)模擬隨機(jī)數(shù)的過(guò)程，認(rèn)識(shí)到計(jì)算機(jī)模擬實(shí)際問(wèn)題的可行性，了解隨機(jī)模擬的方法：建模——模擬——分析.

(2)通過(guò)合理地介紹隨機(jī)模擬的歷史、用途，表達(dá)實(shí)際問(wèn)題中引進(jìn)隨機(jī)模擬方法的必要性，認(rèn)識(shí)到隨機(jī)模擬方法的實(shí)用性.

(3)經(jīng)歷建立和運(yùn)用隨機(jī)模擬方法的過(guò)程，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用與價(jià)值，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

這部分內(nèi)容的教學(xué)處理，以隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用這一內(nèi)容為主線，讓解決模擬投擲硬幣為先導(dǎo)，引入隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，以天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題為實(shí)際應(yīng)用，將前面已學(xué)過(guò)的內(nèi)容及處理問(wèn)題的思想方法緊密結(jié)合起來(lái)，使之成為一個(gè)整體．因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意貫徹教材的設(shè)計(jì)意圖，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算機(jī)模擬硬幣的全過(guò)程，能在這一過(guò)程中認(rèn)識(shí)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，認(rèn)識(shí)計(jì)算機(jī)模擬的作用，體會(huì)隨機(jī)模擬的思想方法.

結(jié)合以上分析,本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的過(guò)程中，體會(huì)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的必要性及隨機(jī)數(shù)的實(shí)用價(jià)值．其中教學(xué)最大的難點(diǎn)確定為：如何讓學(xué)生體會(huì)到一個(gè)事件的概率與隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生有關(guān)，以及數(shù)學(xué)模型的建立.

根據(jù)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn),本節(jié)課的教學(xué)流程主要分為4個(gè)環(huán)節(jié):群策群力建模型、計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣、追溯歷史知用途、親身試驗(yàn)深感受.

2 課堂實(shí)錄

2.1 課堂教學(xué)片斷1：群策群力建模型

師：在“隨機(jī)事件的概率”一節(jié)課中，同學(xué)們做了大量重復(fù)試驗(yàn)，這樣做試驗(yàn)很費(fèi)時(shí)間，有沒(méi)有其他方法可以代替試驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生：用計(jì)算機(jī)模擬.

師：如何用計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣呢？計(jì)算機(jī)不能像人一樣用手去拋硬幣，也不能用肉眼來(lái)觀看結(jié)果，那如何用計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣呢？

生1：可以規(guī)定硬幣正面向上為1,反面向上為0,再用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生0,1，就可以代替拋硬幣.

師(追問(wèn)):為什么要規(guī)定硬幣正面為1,反面為0?

生1:因?yàn)橛?jì)算機(jī)能處理數(shù)字、函數(shù).

師:這是一個(gè)劃時(shí)代的想法,當(dāng)我們給予試驗(yàn)結(jié)果以數(shù)字特征后,便實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)模擬的可行性.

師：其實(shí)在大家身邊的計(jì)算器中就存在一個(gè)可以隨機(jī)產(chǎn)生0,1的函數(shù)，有沒(méi)有同學(xué)知道？

生2：是ranint函數(shù).

(該生上臺(tái)操作演示給其他學(xué)生看.)

師：隨機(jī)函數(shù)就在大家身邊，這樣做速度是比手工拋硬幣快，但是記錄結(jié)果還是要依賴手工.其實(shí)在Excel中也存在一個(gè)函數(shù)，叫randbetween(a,b),它可以等可能地返回[a,b]內(nèi)的任意一個(gè)整數(shù).接下來(lái)我們一起來(lái)用計(jì)算機(jī)模擬一下.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)討論“如何用計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣”，讓學(xué)生自己給予試驗(yàn)結(jié)果以數(shù)字特征.因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)只有給予試驗(yàn)結(jié)果以數(shù)字特征，計(jì)算機(jī)才好處理，數(shù)學(xué)建模的思想才能很好地滲透進(jìn)去.

2.2 課堂教學(xué)片斷2：追溯歷史知用途

通過(guò)用Excel模擬拋硬幣，獲得了一張?jiān)囼?yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果與數(shù)學(xué)家的試驗(yàn)結(jié)果基本吻合.在這一環(huán)節(jié)中，通過(guò)眾所周知的拋硬幣問(wèn)題肯定了隨機(jī)模擬方法是可行的、可信的.那隨機(jī)模擬方法有什么用？是誰(shuí)發(fā)明的？什么才是真的隨機(jī)數(shù)？

其實(shí)用計(jì)算機(jī)隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生的并不是真正的隨機(jī)數(shù).例如要產(chǎn)生0，1之間的隨機(jī)整數(shù)，我們把2個(gè)大小形狀相同的小球分別標(biāo)上0，1放入一個(gè)袋中，把它們充分?jǐn)嚢?，然后從中摸出一個(gè)，這個(gè)球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù).計(jì)算機(jī)或計(jì)算器上產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)并不是真正的隨機(jī)數(shù)，它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)，我們稱為偽隨機(jī)數(shù).上面用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬了擲硬幣的試驗(yàn)，我們稱用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅方法.

蒙特卡羅方法由在20世紀(jì)40年代美國(guó)第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈“曼哈頓計(jì)劃”的成員烏拉姆和馮·諾伊曼首先提出.數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城——摩納哥來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩.在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在.1777年，法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐提出用投針實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率π.這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的起源.

借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)了2大優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)單:省去了反復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算過(guò)程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速.簡(jiǎn)單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項(xiàng)目管理中獲得應(yīng)用的技術(shù)基礎(chǔ).

2.3 課堂教學(xué)片斷3：親身試驗(yàn)深感受

通過(guò)歷史的介紹，一下子點(diǎn)燃了學(xué)生的求知欲望.在應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者主要解決書上的例題：

天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的3天中，每一天下雨的概率均為40%,這3天中恰有2天下雨的概率是多少？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)用隨機(jī)數(shù)模擬的方案.

一下子從拋硬幣問(wèn)題到這個(gè)問(wèn)題難度有點(diǎn)大.硬幣只有2個(gè)面，學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知水平，容易建立數(shù)學(xué)模型.但是3天中恰好有2天下雨的問(wèn)題，它涉及3個(gè)隨機(jī)數(shù)，并且概率還是40%，跳躍幅度大.這是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，為此在這個(gè)環(huán)節(jié)中筆者設(shè)置了這樣一個(gè)鋪墊：

(1)已知袋中有大小相同的7個(gè)黃球和3個(gè)紅球，假設(shè)每個(gè)球被摸到都是等可能的，利用隨機(jī)模擬的方法，估計(jì)任取一球得到紅球的概率.

生3：將紅球標(biāo)為1，2，3，黃球標(biāo)為4，5，6，7，8，9，10.用隨機(jī)函數(shù)randbetween(1,10)統(tǒng)計(jì)其中1，2，3出現(xiàn)的頻率，計(jì)算不同次數(shù)下的頻率，觀察紅球出現(xiàn)的頻率是不是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加越來(lái)越穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近.

師：非常好!我們不僅可以解決概率為0.5的數(shù)學(xué)概率模型，還可以模擬其他概率模型，不過(guò)這個(gè)問(wèn)題大家用所學(xué)過(guò)的古典概型即可解決，接下來(lái)我們一起來(lái)挑戰(zhàn)一下.

(2)書本上關(guān)于“天氣預(yù)報(bào)”的例題.

經(jīng)過(guò)充分的討論后，請(qǐng)學(xué)生講解其方案，其他學(xué)生進(jìn)行討論.

生4:能不能用古典概型來(lái)算?排除3天都不下雨、3天都下雨、恰好1天下雨的事件.

生5:不可以,顯然由于每天下雨的概率是40%,3天連著下雨和3天都不下雨這2個(gè)基本事件不是等可能的,不能用古典概型.

(大家對(duì)這位學(xué)生的想法表示肯定.)

生6：首先取1～10這10個(gè)數(shù)字，規(guī)定1,2,3,4為下雨，5～10為不下雨，3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生數(shù)字以后，統(tǒng)計(jì)3個(gè)數(shù)字中恰好有2個(gè)小于5的數(shù)的組數(shù)，根據(jù)這個(gè)組數(shù)除以總數(shù)，計(jì)算頻率，用頻率來(lái)估計(jì)它的概率.

師：好，就按這位同學(xué)說(shuō)的，大家試試看.

(教師強(qiáng)調(diào)試驗(yàn)的各項(xiàng)條件，試驗(yàn)后匯總數(shù)據(jù),如圖1所示.)

圖1

師：就目前的結(jié)果而言，頻率有沒(méi)有出現(xiàn)穩(wěn)定，那我們應(yīng)該怎么辦？

(有學(xué)生點(diǎn)頭，有學(xué)生搖頭.)

生(眾)：增加試驗(yàn)次數(shù).

借助Excel繪制得到如圖2的統(tǒng)計(jì)圖：

圖2

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率大約穩(wěn)定在0.29.至此學(xué)生發(fā)現(xiàn)蒙特卡羅方法還可以解決一些更為復(fù)雜的概率問(wèn)題.

3 專家點(diǎn)評(píng)

本課例是筆者參加第6屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動(dòng)，為大會(huì)指定的課題.組委會(huì)聘請(qǐng)了全國(guó)知名的教授作為評(píng)委，因此本課有幸得到了幾位專家的點(diǎn)評(píng)和意見.他們提出的許多寶貴且具有深遠(yuǎn)意義的意見和建議，也引發(fā)了筆者更多、更深的思考.整理如下：

3.1 活用教材

備好一節(jié)課，首先應(yīng)該要用好教材，教材理解深刻、到位，才能出好課.情境創(chuàng)設(shè)要接近生活，不可脫離實(shí)際，不要為了創(chuàng)設(shè)而有情景，合理的情景創(chuàng)設(shè)可以更好地激發(fā)學(xué)生的興趣；問(wèn)題設(shè)置必須清晰合理，好的問(wèn)題可以引領(lǐng)著學(xué)生去思考，幫助學(xué)生理解概念；信息技術(shù)的有機(jī)融合，就像本課對(duì)信息技術(shù)的處理非常好，隨機(jī)數(shù)要用Excel來(lái)產(chǎn)生.教師如果把握不好，極易把數(shù)學(xué)課變成信息課，使得學(xué)生的興奮點(diǎn)停留在計(jì)算機(jī)上，更會(huì)淡化數(shù)學(xué)味道，因此對(duì)教材一定要理解到位；數(shù)學(xué)應(yīng)該提供思想，提供建模的思想，信息技術(shù)是輔助我們實(shí)現(xiàn)想法的工具；數(shù)學(xué)文化的滲透非常必要，在了解蒙特卡羅方法歷史的環(huán)節(jié)中，學(xué)生興奮的表情表達(dá)了他們極大的求知欲望，這也是教材把歷史背景放在其中的重要原因.

3.2 尊重學(xué)生

課堂教學(xué)一定要注重學(xué)生活動(dòng)與自主探究，學(xué)生有沒(méi)有動(dòng)起來(lái)是非常重要的.比如在隨機(jī)數(shù)應(yīng)用的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生討論，學(xué)生間的討論代替了傳統(tǒng)教師的評(píng)價(jià)，使得學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)以目前的古典概型知識(shí)較難解決天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題，在學(xué)生成功提出方案后，讓所有的學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，更加體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和真實(shí)性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了模型的建立，數(shù)據(jù)的產(chǎn)生與處理，試驗(yàn)結(jié)果的分析，成功滲透了數(shù)學(xué)建模思想.很多時(shí)候，教師擔(dān)心學(xué)生講不好，著急地越俎代庖，這樣做的效果并不是真正的有效教學(xué)，學(xué)生親歷的往往是他印象最深的，因此個(gè)別環(huán)節(jié)教師甚至可以更大膽地放手.

4 自我反思

在聽完教授的分析點(diǎn)評(píng)后，筆者思考良久，多次的磨課經(jīng)歷涌上心頭，有2點(diǎn)感悟特別深刻：

(1)備一節(jié)課好難，但是好課就在身邊.剛開始備這節(jié)課時(shí)，感覺不知從何挖掘.因?yàn)檫@是一節(jié)對(duì)信息技術(shù)依賴比較大的課，所以易被大家所忽視.通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的磨課后，筆者發(fā)現(xiàn)這是一節(jié)非常具有數(shù)學(xué)內(nèi)涵的課，它的核心內(nèi)容是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，幫助解決更復(fù)雜的概率問(wèn)題.首先通過(guò)硬幣試驗(yàn)需要耗時(shí)耗力提出問(wèn)題，在借助計(jì)算機(jī)解決模擬拋硬幣問(wèn)題的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果與科學(xué)家手工試驗(yàn)的結(jié)果基本吻合，肯定了蒙特卡羅方法是可行的、可信的.其次利用隨機(jī)數(shù)解決目前古典概型相對(duì)難解決的天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題，使學(xué)生再次回顧了利用頻率來(lái)估計(jì)概率的大數(shù)定律.而整個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程不就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程嗎？這節(jié)課不就是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題嗎？教材需要我們好好去思考和挖掘，好課的發(fā)現(xiàn)需要我們好好再去思考一下.

(2)“尊重學(xué)生，以人為本”不能只停留在口號(hào)上.當(dāng)課堂變得無(wú)趣，學(xué)生變得不配合時(shí)，也許可以考慮一下，我們是不是真的盡力了.筆者在磨課過(guò)程中，就曾經(jīng)遇到學(xué)生冷場(chǎng)的情況.回頭想想，其實(shí)是當(dāng)時(shí)的問(wèn)題設(shè)計(jì)得不夠到位，不能真正地引發(fā)學(xué)生的思考，有些時(shí)候是自己拼命地講，學(xué)生只好乖乖地等著、瞪著.尊重學(xué)生，尊重學(xué)情，好的課堂才會(huì)自然而來(lái).