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(寧波市第二中學(xué) 浙江寧波 315000)

利用曲線系巧解幾何題

●羅樹鋒

(寧波市第二中學(xué) 浙江寧波 315000)

雙直線、雙切線方程雖在高中課本里沒有出現(xiàn)過(guò)，但是與它們相關(guān)的題目卻層出不窮，一般在解決這類問題時(shí)習(xí)慣用韋達(dá)定理“設(shè)而不求”的方法.毋庸置疑，韋達(dá)定理在解決直線與二次曲線的問題時(shí)有著強(qiáng)大的作用，但繁雜的運(yùn)算卻使我們望而卻步.下面介紹利用雙直線、雙切線方程(2個(gè)在曲線系里具有舉足輕重的方程)巧解解析幾何中的一類問題.

首先給出雙直線方程、相交曲線系方程、雙切線方程的概念：

雙直線方程如果有2條直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0,則方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0稱作這2條直線的雙直線方程，它將2條直線統(tǒng)一為一個(gè)二次曲線.

相交曲線系方程如果有2條相交曲線F(x,y)=0,G(x,y)=0，則F(x,y)+λG(x,y)=0表示過(guò)2條曲線F(x,y)=0,G(x,y)=0交點(diǎn)的曲線方程(不包括G(x,y)=0這條曲線).

由雙直線方程和相交曲線系方程進(jìn)一步可以得出雙直線方程的另一種表示形式：設(shè)二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，P(x0,y0)是曲線上的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為

設(shè)曲線上異于點(diǎn)P的2個(gè)點(diǎn)A,B的直線方程為A′x+B′y+C′=0，則直線PA,PB的雙直線方程為

雙切線方程從二次曲線外一點(diǎn)引曲線的2條切線，稱為該點(diǎn)關(guān)于該曲線的雙切線，把切點(diǎn)弦看成是2條重合直線，則雙切線就是過(guò)該雙重合直線與二次曲線公共點(diǎn)的相交雙直線，可表示為

將P(x0,y0)代入可得雙切線方程.

下面舉例說(shuō)明上述方程的應(yīng)用：

例1直線x-2y-1=0與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)C在拋物線上，∠ACB=90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題)

比較式(1)，式(2)的系數(shù)：由于x2項(xiàng)的系數(shù)相等，則各項(xiàng)系數(shù)相等；由y2項(xiàng)的系數(shù)相等得

(5)

由式(3)～式(5)得t=-1或t=-3，因此點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,-2)，(9,-6).

例2如圖1,已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M.

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離.

(2)已知P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作圓的2條切線交拋物線C1于點(diǎn)A,B.若過(guò)點(diǎn)M,P的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

解(1)略.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2)，則過(guò)點(diǎn)P的拋物線的切線方程為

y-2tx+t2=0.

又圓關(guān)于點(diǎn)P的切點(diǎn)弦方程為xt+(y-4)(t2-4)-1=0，從而圓的雙切線方程為

又點(diǎn)P滿足式(7),代入得

從而圓的雙直線方程為

比較式(6)與式(8)y2項(xiàng)的系數(shù)與xy項(xiàng)的系數(shù)，得

圖2

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；

(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離；

(3)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)(2)略.

(3)設(shè)P(x0,y0)，則由圖形的對(duì)稱性和題意易知點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(-x0,-y0)和(x0,0).設(shè)直線PA斜率為k1，直線PB斜率為k2，則直線PA,PB的雙直線方程為

(y-k1x)[y-y0-k2(x-x0)]=0,

即 (y-k1x)(y-k2x+k2x0-y0)=0.

(9)

比較式(9)，式(10)中的常數(shù)項(xiàng)得λ=-y0，再比較x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的系數(shù)得k1k2=-1，即PA⊥PB.

上述例題給出的參考答案更多地是利用韋達(dá)定理，但運(yùn)算中分式較多且較為復(fù)雜，容易出錯(cuò).利用雙直線和雙切線方程，問題就集中到了同一個(gè)曲線的2種不同表達(dá)形式的系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，而系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系有著直觀簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，里面的參數(shù)λ,μ可以利用已知條件求解，也可以“設(shè)而不求”，降低了運(yùn)算的難度，能夠更快、更好地解決問題.

[1] 胡圣團(tuán).二次曲線中點(diǎn)弦、切線、切點(diǎn)弦及雙切線方程[J].中等數(shù)學(xué),2008(9):7-11.